B t ð ng Th c Karamata M t S ng D ng Cao Minh Quang THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long L i gi i thi u Jovan Karamata sinh ngày tháng năm 1902 t i Zagreb, Serbia B t ñ u h c khoa khí t năm 1920, đ n năm 1922, ơng chuy n đ n khoa tốn ñ h c T t nghi p năm 1925, l p t c Karamata ñư c nh n làm tr gi ng cho giáo sư Mihailo Petrovic Ông nh n ñư c h c v ti n sĩ năm 1926, tr thành giáo sư ð i h c Belgrade vào năm 1950 Năm 1951 Karamata r i Belgrade, ñ n gi ng d y t i ð i h c Geneva Ơng s ng làm vi c ñ n cu i ñ i Karamata m t ngày 14 tháng năm 1967 B t ñ ng th c Karamata m t d ng t ng quát c a b t ñ ng th c Jensen B t ñ ng th c Karamata Trư c h t, ta s ñ nh nghĩa b tr i 2.1 ð nh nghĩa N u x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn , x1 ≥ y1, x1 + x2 ≥ y1 + y2 , , x1 + x2 + + xn−1 ≥ y1 + y2 + + yn−1 x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn ta nói b ( x1 , x2 , , xn ) tr i b ( y1 , y2 , , yn ) ta kí hi u ( x1, x2 , , xn ) ≻( y1, y2 , , yn ) hay ( y1, y2 , , yn ) ≺( x1, x2 , , xn ) Hi n nhiên, n u x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ( x1 , x2 , , xn ) ≻ ( x, x, , x) , x = x1 + x2 + + xn n 2.2 B t ñ ng th c Karamata N u hàm s f ( x) hàm l i ño n I = [ a, b] ( x1, x2 , , xn ) ≻( y1, y2 , , yn ) v i m i xi , yi ∈ I f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + + f ( yn ) ð ng th c x y ch xi = yi , i = 1, 2, , n Ta có phát bi u tương t! ñ i v i hàm s lõm b"ng cách ñ i chi#u d u b t ñ ng th c Ch ng minh Vì f ( x) hàm l i nên f ( x) − f ( y) ≥ ( x − y) f '( y), ∀x, y ∈ I Th t v y: • N u x ≥ y • N u x ≤ y f ( x) − f ( y ) x− y = f '(α ) ≥ f '( y ), α ∈ ( y, x) f ( y ) − f ( x) = f '(β ) ≤ f '( y ), β ∈ ( x, y ) y−x T suy f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ( xi − yi ) f '( yi ), ∀xi , yi ∈ I , i = 1,2, , n Chú ý r"ng f '( yi ) ≥ f '( yi +1 ), x1 + x2 + + xi ≥ y1 + y2 + + yi , i = 1,2, , n −1 , s$ d%ng khai tri n Abel, ta có n n ∑ f ( xi ) − f ( yi ) ≥ ∑( xi − yi ) f '( yi ) = ( x1 − y1) f '( y1) +( x2 − y2 ) f '( y2 ) + +( xn − yn ) f '( yn ) i=1 i=1 = ( x1 − y1 ) f '( y1 ) − f '( y2 ) + ( x1 + x2 − y1 − y2 ) f '( y2 ) − f '( y3 ) + +( x1 + x2 + + xn − y1 − y2 − − yn ) f '( yn−1) − f '( yn ) +( x1 + x2 + + xn − y1 − y2 − − yn ) f '( yn ) ≥ DeThiMau.vn Do f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ f ( y1 ) + f ( y2 ) + + f ( yn ) 2.3 H qu (B t ñ ng th c Jensen) N u hàm s f ( x) hàm l i đo n I = [ a, b] , v i m i xi , ∈ I (i = 1, 2, , n) , ta có x + x2 + + xn f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ nf n Ch ng minh Do tính ch t đ i x ng, khơng m t tính t ng qt, ta có th gi s$ x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn x + x2 + + xn S$ d%ng b t đ ng th c Karamata Khi ta có ( x1 , x2 , , xn ) ≻ ( x, x, , x) , x = n ta có đi#u c n ch ng minh ð ng th c x y ch x1 = x2 = = xn Sau ta s nêu m t s ví d% ñ minh h a cho vi c ng d%ng c a b t ñ ng th c Karamata M t s ví d 4.1 Ví d Cho 2n s th!c dương , bi (i = 1,2, , n) th&a mãn ñi#u ki n sau a1 ≥ a2 ≥ ≥ an , b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn , a1 ≥ b1 , a1a2 ≥ b1b2 , , a1a2 an ≥ b1b2 bn Ch ng minh r"ng a1 + a2 + + an ≥ b1 + b2 + + bn L i gi i ð't xi = ln , yi = ln bi ( i = 1, 2, , n ) V i ñi#u ki n ñã cho, ta d( dàng ki m tra ñư c r"ng ( x1, x2 , , xn ) ≻( y1, y2 , , yn ) D( th y r"ng f ( x ) = e x hàm l i ( 0, +∞ ) , đó, áp d%ng b t đ ng th c Karamata, ta có e x1 + e x2 + + e xn ≥ e y1 + e y2 + + e yn hay a1 + a2 + + an ≥ b1 + b2 + + bn 4.2 Ví d Cho ABC tam giác nh n Ch ng minh r"ng ≤ cos A + cos B + cos C ≤ Xác ñ nh x y ñ ng th c? L i gi i Khơng m t tính t ng qt, gi s$ r"ng A ≥ B ≥ C Khi A ≥ π ≥ A + B = π − C ≥ π π π π , C ≤ Vì ≥ A ≥ 3 π π π π π 2π nên , ,0 ≻ ( A, B, C ) ≻ , , 2 3 π Xét hàm f ( x) = cos x , d( th y f ( x) hàm lõm th t s! ño n I = 0, , đó, theo b t đ ng th c Karamata, ta có π f + π π f + f (0) ≤ f ( A) + f ( B ) + f (C ) ≤ f hay ≤ cos A + cos B + cos C ≤ ) b t ñ ng th c th nh t, d u ñ ng th c khơng x y (vì hai góc c a tam giác khơng th vng) ) b t đ ng th c th hai, ñ ng th c x y ch tam giác ABC ñ#u 4.3 Ví d Cho ABC tam giác khơng nh n Ch ng minh r"ng tan A B C + tan + tan ≥ 2 − 2 L i gi i Không m t tính t ng quát, gi s$ A ≥ B ≥ C Khi đó, d( dàng ki m tra đư c DeThiMau.vn A B C π π π , , ≻ , , 2 8 Xét hàm s π π 2sin x , f ''( x ) = > v i m i x ∈ 0, f ( x ) = tan x, x ∈ 0, Ta có f '( x) = cos x cos x π T suy f ( x) hàm s l i 0, S$ d%ng b t ñ ng th c Karamata, ta nh n ñư c tan A B C π π π + tan + tan ≥ tan + tan + tan = 2 − 2 8 π π π ð ng th c x y ch ( A, B, C ) = , , hốn v 4 4.4 Ví d Cho a, b, c s th!c dương Ch ng minh r"ng 1 1 1 + + ≤ + + a + b b + c c + a 2a 2b 2c L i gi i Khơng m t tính t ng qt, gi s$ a ≥ b ≥ c Khi đó, d( dàng ki m tra ñư c (2a,2b,2c) ≻ (a + b, a + c, b + c) Vì f ( x) = hàm l i kho ng (0,+∞) , nên theo b t ñ ng th c Karamata, ta có x f (2a) + f (2b) + f ( 2c) ≥ f (a + b) + f (a + c ) + f (b + c ) hay 1 1 1 + + ≤ + + a + b b + c c + a 2a 2b 2c ð ng th c x y ch a = b = c 4.5 Ví d [IMO 2000/2] Cho a, b, c s th!c dương th&a ñi#u ki n abc = Ch ng minh r"ng a − + b − + c − + ≤ b c a L i gi i Vì abc = nên t n t i s dương x, y, z cho a = x y z , b = , c = B t ñ ng th c y z x c n ch ng minh tr thành ( x − y + z )( y − z + x)( z − x + y ) ≤ xyz Ta ñ ý r"ng, ( x − y + z ) + ( y − z + x ) = x > , đó, ba s x − y + z , y − z + x, z − x + y không th có trư ng h p hai s âm N u ba s có m t ho'c ba s âm, hi n nhi n ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh Trư ng h p c ba s ñ#u dương, b"ng cách l y logarit hai v , ta có ln ( x − y + z ) + ln ( y − z + x) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z Khơng m t tính t ng qt, gi s$ x ≥ y ≥ z Khi đó, ( y − z + x, x − y + z, z − x + y ) ≻ ( x, y, z ) Vì f ( x ) = ln x hàm lõm (0,+∞) , đó, s$ d%ng b t ñ ng th c Karamata, ta ñư c ln ( y − z + x ) + ln ( x − y + z ) + ln ( z − x + y ) ≤ ln x + ln y + ln z ð ng th c x y ch x = y = z hay a = b = c = 4.6 Ví d Cho a, b s th!c không âm Ch ng minh r"ng DeThiMau.vn 3 a+ a + b+ b ≤ a+ b + b+ a L i gi i Gi s$ b ≥ a ≥ Gi*a s x1 = b + b, x2 = b + a, x3 = a + b, x4 = a + a , x1 s l n nh t, x4 s nh& nh t Vì x1 + x4 = x2 + x3 nên ( x1 , x4 ) ≻ ( x2 , x3 ) ho'c ( x1 , x4 ) ≻ ( x3 , x2 ) D( th y f ( x) = x hàm lõm [0,+∞) , đó, theo b t đ ng th c Karamata, ta có f ( x ) + f ( x4 ) ≤ f ( x2 ) + f ( x3 ) hay a+ a + b+ b ≤ a+ b + b+ a ð ng th c x y ch a = b 4.7 Ví d Cho −1 ≤ a, b, c ≤ 1, a + b + c = − Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c F = a12 + b12 + c12 L i gi i Khơng m t tính t ng qt, gi s$ a ≥ b ≥ c Khi ≥ a , 1 = − ≥ −c − = a + b 2 Do 1, − , −1 ≻ (a, b, c) Vì hàm f ( x) = x12 l i [−1,1] , theo b t ñ ng th c Karamata, ta có 1 a12 + b12 + c12 = f (a ) + f (b) + f (c) ≤ f (1) + f − + f (−1) = + 12 1 ð ng th c x y ra, ch ng h n a = 1, b = − , c = −1 Do ñó giá tr l n nh t c a F + 12 2 4.8 Ví d [IMO 1999/2] Cho x1, x2, , xn s th!c không âm, n ≥ Hãy xác ñ nh h"ng s C nh& nh t cho ∑ xi x j xi2 ( 1≤i < j ≤n + x 2j n 4 ) ≤ C ∑ xi i =1 L i gi i N u x1 = x2 = = b t ñ ng th c ñúng v i m i C ≥ N u có nh t m t s xi > , suy x1 + x2 + + xn > Vì b t ñ ng th c d ng thu n nh t nên ta có th gi s$ r"ng x1 + x2 + + xn = Khi F ( x1 , x2 , , xn ) = ∑ 1≤i < j ≤n = xi x j ( xi2 + x 2j ) = i ∑ x ∑x 1≤i ≤ n j ≠i j = xi3 x j + ∑ 1≤i < j ≤ n ∑ xi x3j 1≤i < j ≤ n n i ∑ x (1− x ) = ∑ f ( x ) , v i 1≤i ≤n i i f ( x ) = x3 − x i =1 n Vì v y, ta c n xác đ nh h"ng s C nh& nh t cho ∑ f (x ) ≤ C , v i i x1 + x2 + + xn = , i =1 f ( x ) = x3 − x hàm l i [0,1 2] (vì f '( x) = 3x − x3 , f ''( x) = x (1 − x) ) Do tính đ i x ng, khơng m t tính t ng quát, gi s$ x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn Ta s xét trư ng h p sau 1 ≥ x1 Khi đó, d( dàng ki m tra đư c , ,0, ,0 ≻ ( x1 , x2 , , xn ) S$ d%ng b t 2 đ ng th c Karamata, ta có Trư ng h p 1 n 1 ∑ f ( x ) ≤ f + f + f (0) + + f (0) = i i =1 DeThiMau.vn Trư ng h p ≤ x1 Ta ki m tra ñư c (1 − x1 ,0, ,0) ≻ ( x2 , , xn ) S$ d%ng b t đ ng th c Karamata, ta có n n f ( xi ) = f ( x1 ) + ∑ f ( xi ) ≤ f ( x1 ) + f (1 − x1 ) + f (0) + + f (0) = f ( x1 ) + f (1 − x1 ) ∑ i =1 i=2 M't khác, b"ng cách ñ't y = x1 − ≥ , ta có f ( x1 ) + f (1 − x1 ) = ( x13 − x14 ) + (1 − x1 ) − (1 − x1 ) = x1 (1 − x1 ) x12 + (1 − x1 ) 2 1 1 1 1 = + y − y + y + − y = − y + y = 2 − y ≤ 2 4 16 n Do đó, ∑ f (x ) ≤ V i y h"ng s C nh& nh t c n xác ñ nh i =1 ð k t thúc vi t, m i b n gi i m t s t p t! luy n Cho tam giác ABC , ch ng minh r"ng a) sin α A B C + sin α + sin α ≥ α v i α < 2 2 b) < sin α A B C + sin α + sin α ≤ α v i ≥ α > 2 2 1+ c) cos α α A B C + cosα + cosα ≥ α v i α < 2 2 1+ α A B C d) < cosα + cosα + cosα ≤ α v i < α ≤ 2 2 Cho a1, a2 , , an s th!c dương Ch ng minh r"ng (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) ≤ 1 + 2 a12 1 + a2 1 + an a2 a3 a1 [APMO 1996] Cho tam giác ABC Ch ng minh r"ng a +b−c + b + c −a + c + a −b ≤ a + b + c π π Cho x1 , x2 , , xn ∈ − , Ch ng minh r"ng 6 cos (2 x1 − x2 ) + cos ( x2 − x3 ) + + cos ( xn − x1 ) ≤ cos x1 + cos x2 + + cos xn Tài li u tham kh o [1] Aleksandar Nikolic, Jovan Karamata (1902 – 1967) [2] Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007 [3] Kin Y Li, Majorization Inequality, Mathematical Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000 [4] Nguy n Văn Nho, Olympic Toán h c Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo D%c, 2003 [5] Nguy n H u ði n, Gi i toán b"ng phương pháp ð i Lư ng B t Bi n, NXB Giáo D%c, 2004 [6] Ph m Kim Hùng, Sáng t o B t ð ng Th c, NXB Tri Th c, 2006 DeThiMau.vn ... Excalibur, Vol.5, No.5, 11/2000 [4] Nguy n Văn Nho, Olympic Toán h c Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo D%c, 2003 [5] Nguy n H u ði n, Gi i toán b"ng phương pháp ð i Lư ng B t Bi n, NXB Giáo D%c, 2004... ch x1 = x2 = = xn Sau ñây ta s nêu m t s ví d% ñ minh h a cho vi c ng d%ng c a b t ñ ng th c Karamata M t s ví d 4.1 Ví d Cho 2n s th!c dương , bi (i = 1,2, , n) th&a mãn ñi#u ki n sau a1 ≥... ) ≻( y1, y2 , , yn ) D( th y r"ng f ( x ) = e x hàm l i ( 0, +∞ ) , đó, áp d%ng b t ñ ng th c Karamata, ta có e x1 + e x2 + + e xn ≥ e y1 + e y2 + + e yn hay a1 + a2 + + an ≥ b1 + b2 + +