Bài giảng môn toán lớp 12 Ứng dụng đạo hàm để giải toán45572

ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi sử dụng hàm số : Đó phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm số) chúng chuyển dạng - Nhẩm nghiệm x  x0 - Chứng minh có nghiệm phương pháp đạo hàm  VD : Giải phương trình : x  x   (1)  Giải : Rõ ràng x=0 x=1 nghiệm phương trình PT(1) thỏa ta chứng minh có hai nghiệm Xét hàm số y  x  x   y '  x ln    y '   x ln    x  log    ln  Hàm số có cực trị Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình y=0 có nhiều nghiệm Vậy x=0 x=1 nghiệm PT Xét phương trình dạng : f(x) = m (m tham số) Phương trình có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y=f(x) số nghiệm PT số giao điểm hàm số y=f(x) với đường thẳng y=m - Nếu f(x) đồng biến  a; b  miền giá trị f (a)  f ( x)  f (b) Phương trình : f(x) = m có nghiệm  f (a)  m  f (b) - Nếu f(x) nghịch biến  a; b  miền giá trị f (b)  f ( x)  f (a) Phương trình : f(x) = m có nghiệm  f (b)  m  f (a)  VD1: Tìm m để phương trình : x  3x   m coù nghiệm  Giải: Số nghiệm phương trình x  3x   m số giao điểm đồ thị hàm số y  x  3x  đường thẳng y=m phương với trục hoành DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK Xét hàm số y  x  3x  treân R y '  1 3x 3x   3x   3x 3x   y '   x   3 x x  x      1   x   3 x   x x  6  6 y  Với x   Bảng biến thiên: Phương trình có nghiệm m   VD2: Định m để phương trình sau có hai nghiệm : x4  x  m  x4  x  m   Giải : Đặt t  x  x  m   t  t  t    Thu phương trình :    t  3  t  t  t   Khi : x  x  m   x  x  m  16  x  x  16  m Xét hàm số : y  x  x  16  y '  x3  y '   x3    x  1 f (1)  19 Lập bảng biến thiên hàm số ta thấy : Hàm số đồng biến khoảng  1;   nghịch biến khoảng  ; 1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  19  m  19  VD3 : Định giá trị m để phương trình sau có ngiệm : DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT  4m   x    3m    x  m   ĐĂK LĂK (1)  Giải : Điều kieän : 3  x  (1)  m  x   1 x 1 x   1 x 1 Nhận thấy :  x3   1 x  2  x    1 x                Nên tồn góc   0;  cho :  2 x   2sin   2t 1 t2 vaø   x  cos  1 t2 1 t2  với t  tan ; t   0;1 m x   1 x 1 7t  12t  m 5t  16t  x   1 x 1 Xét hàm số : f (t )  f '(t )  7t  12t  ; t   0;1 5t  16t  52t  8t  60  5t  16t    0, t   0;1 Suy hàm số nghịch biến đoạn  0;1 f (0)  ; f (1)  Vậy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn  0;1 : m Xét bất phương trình dạng : f ( x)  m ( m tham số ) TH1 : Nếu f(x) đồng biến  a; b  miền giá trị f (a)  f ( x)  f (b) - Bất phương trình : f ( x)  m có nghiệm  f (a)  m - Bất phương trình : f ( x)  m có nghiệm x   a; b   f (b)  m TH2 : Nếu f(x) nghịch biến  a; b  miền giá trị f (b)  f ( x)  f (a) - Bất phương trình : f ( x)  m có nghiệm  f (b)  m - Bất phương trình : f ( x)  m có nghiệm x   a; b   f (a)  m  VD : Cho bất phương trình : x  x  24  x  x  m (m tham số) Tìm m để BPT thỏa x   4;6 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK  Giải : Đặt t  x  x  24 Tìm điều kiện t : x   4;6  t   0;5 Thu bất phương trình : t  t  24  m với t   0;5 Bài toán cho trở thành : Tìm m để t  t  24  m , t   0;5 Xét hàm số f (t )  t  t  24 treân ñoaïn  0;5 f '(t )  2t    t  đoạn  0;5 1 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến Bất phương trình có nghiệm đoạn  0;5 Max f (t )  m  f (5)  m   m  m   f ( x)  f ( y )  g ( x, y )  Khi gặp hệ phương trình có dạng :  Cách giải : - Xét hàm số y=f(t) chứng minh hàm số đơn điệu kết luận x=y Khi đưa toán giải biện luận PT : g(x,y) =0 theo ẩn - Nếu hàm số y = f(t) có cực trị t = a thay đổi chiều biến thiên lần qua a Từ phương trình đầu suy x = y x,y nằm hai phía a   x  x  y  y (1)  VD1: Giaûi hệ phương trình :   x3  y  1(2)  x  Giải : Từ PT : x   y  y (1) t Xét hàm số đại diện : f (t )  t  , (t  0)  f '(t )  0t  Suy hàm số đồng biến khoảng xác định PT (1) có dạng f(x) = f(y) x, y  , suy x = y Thế vào PT ( ) ta PT :  x  1 x  2x   x  2x 1    x    3 DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK 1 1  1 1  ;   Hệ có nghiệm là: (-1;-1);  ; ; 2  2     ln(1  x)  ln(1  y )  x  y  VD2 : Giải hệ phương trình :  2 2 x  xy  y   Giaûi : x > -1 ; y > -1 ln(1  x)  ln(1  y )  x  y  ln(1  x)  x  ln(1  y )  y Xét hàm số đại diện : f (t )  ln(1  t )  t ; t  1;    f '(t )  t 1 t Ta coù : f '(t )   t  Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) nghịch biến khoảng (0; ) ln(1  x)  x  ln(1  y )  y  f ( x)  f ( y )  x  y thay vaøo PT x  xy  y  ta có nghiệm x = y =0 BÀI TẬP Bài : Tìm m để phương trình có nghiệm m    x   x    x   x   x (ĐỀ THI ĐHKB-2004) Bài : CMR với giá trị m phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  x   m( x  2) (ĐỀ THI ĐHKB-2007) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x 1  m x   x2 1 (ĐỀ THI ĐHKA -2007) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 32;   log 22 x  log x   m  log x  3 (ÑH KTQS KA-2001) Bài : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn 1;3  (ĐH KA-2002 -TOÀN QUỐC) log 32 x  log 32 x   2m   Baøi : Tìm m để   0; 2 thoả bất phương trình sau (ĐH SPHN KA- 2001) log x  x  m  log ( x  x  m)  Bài 7: Giải phương trình : log   1 x  3x      5 x  x 1  (UD ÑH) DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ  VD1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hàm số y  4sin x  4cos 2 x  Giải: Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy: 4sin x  4cos x     Dấu đẳngthức xảy khi: 4sin x  4cos x  x   k 2 2   k  y  f   4 4  Mặt khác ta có: 4sin x    cos2 x 1 4 4sin x   2 2  4sin x  4sin x    4sin x  4cos x   cos2 x 1  4    Dấu đẳngthức xảy khi: sin x=0 cosx=0.Suy ra: max y  Cách 2: y  4sin x  4cos x  4sin x  41sin x  4sin x  Đặt t  4sin  f 't   x 2 t 1  t   xeùt hàm số f  t   2 sin x 4 t t  t2  0 t t  2  1; 4 Lập bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhỏ  VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hàm số sin x cos x  cos x sin x y sin x  cos x  Giải : Vì sin x  cos x  sin x  cos x  1, x neân DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK  sin x cos x  cos x sin x sin x cos x sin x  cos x y  sin x  cos x sin x  cos x 5   sin x cos x 1  sin x cos x  sin x cos x   1 1 sin x  sin x  sin x Đặt : t  sin x ;0  t  xét hàm số f (t )  1 t  t  t với  t  t  2 3 1 f '(t )  t  t     t  2  2 Ta coù f (0)  0; f    ; f (1)  Vậy ta kết luận :   27 1 k 2 Maxf (t )  f     sin x   cos x   cos   x       27 f (t )  f (0)   sin x   x  k  VD3 : Cho tam giác ABC thỏa : A > B > C x  sin A x  sin B   x  sin C x  sin C Tìm giá trị nhỏ hàm số : f ( x)   Giải: TXĐ D   ;sin C   sin A;   f '( x)  x  sin C sin A  sin C  x  sin A  x  sin C 2 x  sin C sin B  sin C  0x  D x  sin B  x  sin C 2  f  x   f  sin A   sin A  sin B 1 sin A  sin C III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Các bất đẳng thức thường sử dụng Bất đẳng thức Cauchy a  0, b   ab  ab ; Đẳng thức xảy a = b DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT ĐĂK LĂK BĐT miền giá trị hàm số sin cosin : sin f ( x)  1; cos f ( x)  1; Bất đẳng thức Bunhiacôpxki a, b, c, d  R   ac  bd    a  b  c  d  a b Đẳng thức xảy :  c d Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Với số thực a,b,ta coù: |a+b|  |a|+|b| (1) |a-b|  |a|+|b| (2) |a+b|=|a|+|b| ab  |a-b|=|a|+|b| ab  * Chứng minh bất đẳng thức - Dùng bất đẳng thức nêu - Dùng đạo hàm  VD2: Cho ba số dương bất kyø a,b,c cho : a  b  c  CMR : a b c 3  2  2 b c a c a b 2  Giaûi : Giả thiết a  b  c    x, y, z  a b c a b c  2    2 2 b  c a  c a  b  a  b  c2 a2 b2 c2    a 1  a  b 1  b  c 1  c  Xét hàm số f ( x)  x 1  x  đoạn  0;1 Đạo haøm f '( x)  3x    x    0;1      3 3 Ta coù : f (0)  0; f (1)  0; f    Maxf ( x)  f    3 3 0;1  a2 b2 c2 3    2 2 a 1  a  b 1  b  c 1  c  DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT Dấu đẳng thức xảy a  b  c      ĐĂK LĂK b     a VD2: Cho a  b  CMR :  2a  a    2b  b  (ÑH KD 2007) 2 b a ln 1  4a  ln 1  4b   a   b  a b b a    a     b   1    1       a b   Giải: Xét hàm số: f  x   f ' x  ln 1  x  x ,  x  0 x ln x  1  x  ln 1  x  x 1  x   0x   0;   Suy hàm số nghịch biến khoảng  0;   vaø a  b   f  a   f  b   ĐPCM BÀI TẬP Bài 1: Tìm k lớn để BPT sau thỏa với x thực : k ( sin x  cos x  1)  sin x  cos x  sin x  (UDĐH) Bài 2: Cho x , y , z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ x 2 biểu thức : P  x    y  z    y     z    yz   zx   xy  (ĐỀ THI ĐH KB 2007) Bài 3: Cho ba số không âm x; y; z cho x+y + z = CMR :  xy  yz  zx  xyz  27 ( UD ÑH ) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức : ln 1  x   x  x2 , x  Bài 5: Tìm số dương nhỏ  cho có số dương  mà x   0;1 thỏa mãn bất đẳng thức sau :  x   x   x  Với  tìm được, xác định giá trị nhỏ  thỏa điều kiện treân DeThiMau.vn ... LĂK II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ  VD1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hàm số... hệ phương trình có dạng :  Cách giải : - Xét hàm số y=f(t) chứng minh hàm số đơn điệu kết luận x=y Khi đưa toán giải biện luận PT : g(x,y) =0 theo ẩn - Nếu hàm số y = f(t) có cực trị t = a thay...  x   f  sin A   sin A  sin B 1 sin A  sin C III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Các bất đẳng thức thường sử dụng Bất đẳng thức Cauchy a  0, b   ab  ab ; Đẳng thức