Bài giảng môn toán lớp 12 Số phức42663

www.VNMATH.com S ph c S I TRƯ NG S Trư ng s PH C VÀ S PH C PH C ph c Trư ng s ph c ℂ = {( a, b ) a, b ∈ ℝ} t p h p ℝ × ℝ = ℝ mà xác l p quan h b ng phép tốn tương ng sau đây: i) Phép c ng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ii) Phép nhân: (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) iii) Quan h b ng nhau: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c b = d iv) Phép ñ ng nh t: (a, 0) ≡ a ; (0, 1) ≡ i S ph c Gi s z = ( a, b ) ∈ ℂ , v i a, b∈ S d ng phép c ng phép nhân ta có: z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + bi; i2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0) ≡ −1 z = a + b i d ng ñ i s c a s ph c, ñó i g i ñơn v Ph n th c ph n o c a s Gi s o ph c z = a + b i ∈ ℂ , a, b∈ , a g i ph n th c, b ph n o c a z Kí hi u: Re(z) = a ; Im(z) = b Tính ch t: N u z = a + b i ; z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2 i , a, b, a1, b1, a2, b2∈ +) z1 = z2 ⇔ a1 = a2 b1 = b2 ⇔ Re(z1) = Re(z2 ) Im(z1) = Im(z2) +) Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z 2) ; Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2) +) Re(λz) = λRe(z), ∀λ ∈ R ; Im(λz) = λIm(z), ∀λ∈ Các phép toán v! s ph c Cho z = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i , v i a1, b1, a2, b2∈ Khi ta có: z1 + z2 = (a1 + b1 i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i z1 − z2 = (a1 + b1 i) − (a2 + b2i) = (a1 − a2) + (b1 − b2)i z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1 a2 − b1 b2) + (a1b2 + a2 b1)i z1 ( a1 + b1 i )( a − b2 i ) a1 a + b1b2 a b1 − a1b2 = = + i , ∀z2 ≠ z ( a + b2 i )( a − b2 i ) a 22 + b22 a 22 + b22 287 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ChươngIII T h p, Xác su t S ph c − Tr n Phương S ph c liên h&p Cho z = a + b i , v i a,b∈ , z = a − b i g i s ph c liên h p v i z Tính ch t: +) z = z , ∀z ∈ ℂ ; z = z ⇔ z ∈ ℝ ; z = − z ⇔ z ∈ i ℝ +) z + z = Re ( z ) ; z − z = Im ( z ) i ; z ⋅ z = Re ( z ) + Im ( z ) z  z +) ∀z1 , z ∈ ℂ : z1 + z = z1 + z ; z1 ⋅ z = z1 ⋅ z ;   = , ∀z2 ≠  z2  z2 Mơđun c a s ph c ĐN: Cho z = a + b i ∈ ℂ , v i a, b∈ , mơđun c a z z = a + b Tính ch t: +) z = z ⋅ z ; z = z ; z ≥ ; z =0⇔ z =0 +) ∀z1 , z ∈ ℂ : z1 ⋅ z = z1 ⋅ z z1 z1 = , ∀z2 ≠ z2 z2 ; +) ∀z1 , z ∈ ℂ : z1 + z ≤ z1 + z ; z1 − z ≤ z1 − z D.ng lư&ng giác c a s ph c Ta th y t n t i phép tương ng 1−1 gi a y ph n t c a ℂ ñi m n m m t ph ng z b 2 ℝ nên có th ñ ng nh t ℂ v i ℝ Khi t t c s ph c z = a + bi ñư c tương ϕ O a x ng v i ñi m z = (a, b) m t ph ng t a ñ Đ Oxy V i z = a + bi ≠ (a, b ∈ ℝ ), kí hi u r = z = a + b Góc ϕ góc đ nh hư ng t o b i Oz v i chi u dương tr c Ox ñư c g i Argument c a z N u ϕ m t Argument c a z, t p h p t t c Arguments c a z Argz = {ϕ + k2π, k ∈ ℤ} N u ϕ m t Argument c a z tho mãn ≤ ϕ < π , ϕ đư c g i Argument c a z đư c kí hi u argz, ta có: Arg z = arg z + 2k π , k ∈ ℤ Vì a = r cosϕ ; b = r sinϕ, nên d ng lư ng giác c a z z = r(cosϕ + i sin ϕ) 288 DeThiMau.vn www.VNMATH.com S ph c Tính ch t: z = r(cosϕ + i sinϕ) ; z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) ; z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) z r z1 z2 = r1 r2 cos ( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin ( ϕ1 + ϕ2 )  ; = cos ( ϕ1 − ϕ2 ) + isin ( ϕ1 − ϕ2 )  ,z2 ≠0 z2 r2 z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) ; n  ϕ  ϕ  z = n r  cos  + k 2π  + i sin  + k 2π   , k = 0, n − n  n  n  n H qu (Công th c Moivre): ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ , ∀n ∈ ℕ Hàm s mũ ph c Đ nh nghĩa: ∀z = x + yi ∈ ℂ , (x, y∈ ), f ( z ) = e z = e x ( cos y + i sin y ) Tính ch t: e z ≠ 0, ∀z∈ ; e z1 + z = e z1 e z ; e z1 / e z = e z1 − z , ∀z1, z2∈ Hàm lư&ng giác ph c T! ñ nh nghĩa hàm s mũ ph c suy ra: Công th c Euler: e i x = cos x + i sin x ; e − i x = cos x − i sin x , ∀x∈ H qu : cos x = ( e i x + e − i x ) ; sin x = ( e i x − e − i x ) , ∀x ∈ ℝ ( *) 2i Do v ph i c a ñ ng th c (*) xác ñ nh thay th x∈ℝ b i z ∈ ℂ , nên ta có đ nh nghĩa tương ng c a hàm s ph c sin, cosin, tang, cotang: cos z = ( e i z + e − i z ) ; sin z = ( e i z − e − i z ) 2i iz iz −i z −i z tan z = sin z = ⋅ e i z − e − i z ; cot z = cos z = i⋅ e i z + e − i z sin z cos z i e + e e −e 10 Hàm Hypebolic ph c ch z = ( e z + e − z ) ; sh z = ( e z − e − z ) 2 z −z z −z th z = sh z = e z − e − z ; coth z = ch z = e z + e − z ch z e + e sh z e − e 289 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ChươngIII T h p, Xác su t S ph c − Tr n Phương II CÁC D NG BÀI T P V S D.ng Bi9u di;n m Bài m u Vi t s ph c sau dư i d ng lư ng giác (1 − i ) (1 + i ) − cos ϕ − i sin ϕ + cos ϕ + i sin ϕ 1−i 1+ i + 2i z = sin ϕ + i cos ϕ (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) Gi i ( ) ( ) Ta có: − i = cos − π + i sin − π  ; + i =  cos π + sin π  suy ra:   3  4  S d ng z1 z2 = (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1)i ta có: (1 − i ) (1 + i ) = 2 S d ng suy ( ) ( )  cos − π + i sin − π  12 12   z1 ( a1 + b1 i )( a − b2 i ) a1 a + b1b2 a b1 − a1b2 = = + i , ∀z2 ≠ z ( a + b2 i )( a − b2 i ) a 22 + b22 a 22 + b22 ( ) ( ) 2 cos π − i sin ( π )  =  ( )  1− i =  cos − π + i sin − π   1+ i 12 12  ( ) ( ) Bi n ñ#i z = sin ϕ + i cos ϕ thành d ng lư ng giác z = cos ( π − ϕ ) + i sin ( π − ϕ ) 2 Ta có = 1− i = + 2i − cos ϕ − i sin ϕ Xét z = = + cos ϕ + i sin ϕ  cos − π + i sin − π   4  ϕ ϕ ϕ  sin − i.cos  2 2  =  − tg ϕ  i   2 ϕ ϕ ϕ  cos  cos + i.sin  2 2 sin ( ) ( ) ϕ ϕ − N u tg < , d ng lư ng giác z = − tg ( cos π + i.sin π ) 2 2 − N u tg ϕ ϕ > , d ng lư ng giác z = tg  cos − π + i.sin − π  2  2  − N u tg ϕ = , s ph c z khơng có d ng lư ng giác xác ñ nh 290 DeThiMau.vn www.VNMATH.com S ph c Xét s ph c z = (1 − cos ϕ − i sin ϕ )(1 + cos ϕ + i sin ϕ ) z = sin ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ ϕ cos  sin − i cos   cos + i sin  2 2  2  ϕ ϕ ϕ ϕ  ϕ ϕ  = sin ϕ sin cos + sin cos − i  cos − sin   = sin ϕ ( sin ϕ − i cos ϕ ) 2  2   ) ( ) ( − N u sin ϕ > d ng lư ng giác z = sin ϕ cos ϕ − π + i.sin ϕ − π  2   ) ( ( ) − N u sin ϕ < d ng lư ng giác z = −2 sin ϕ cos ϕ + π + i.sin ϕ + π   2  − N u sin ϕ = , z = , nên khơng có d ng lư ng giác xác ñ nh D.ng Các t>p v! argument c a s ph c Bài m u Tìm m t argument c a m$i s ph c sau: z = −5 + i ( z = − sin ϕ + i cos ϕ ; < ϕ < π ) z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) + ( cos ϕ + i sin ϕ ) Gi i S ph c z = −5 + i bi u di%n m t ph ng t a ñ Oxy ñi m M ( −5; ) G i MOx = ϕ m t argument c a z tg ϕ = ( Xét s ph c z = − sin ϕ + i cos ϕ, < ϕ < π yM = = − ⇒ ϕ = 2π xM −5 ) ϕ ϕ ϕ    z = − cos π − ϕ + i sin π − ϕ = sin  π −  + i sin  π −  cos  π −  2 4 2 4 2 4 2 ( ) ( ) ϕ   ϕ ϕ  ϕ  ϕ ϕ      = 2sin  π −  sin  π −  + i cos  π −  = 2sin  π −  cos  π +  + i sin  π +   2  2         ( ) cos( π4 + ϕ2 ) + isin( π4 + ϕ2 ) ϕ ϕ  Do < ϕ < π nên sin  π −  > ⇒ z = 2sin π − 2 4 2 ϕ d ng lư ng giác c a s ph c z V y π + m t argument c a s ph c z 2 Xét s ph c z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) + ( cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos ϕ − sin ϕ) + 2sin ϕ cos ϕ + cos ϕ + i sin ϕ = ( cos 2ϕ + cos ϕ) + ( 2sin ϕ cos ϕ + sin ϕ) i = cos 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ  cos + sin cos i = cos  cos + i sin  (1) 2 2 2 2  291 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ChươngIII T h p, Xác su t S ph c − Tr n Phương i N u cos ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ  > z = cos  cos + i sin  d ng lư ng giác c a s 2 2  ph c z V y 3ϕ m t argument c a s ph c z ϕ ϕ   3ϕ   3ϕ  < , t! (1) ta có z = −2cos cos  + π  + i sin  + π  d ng 2     3ϕ lư ng giác c a s ph c z V y + π m t argument c a s ph c z ϕ i N u cos = ⇒ z = ⇒ argument c a s ph c z khơng xác đ nh i N u cos D.ng Tìm t>p h&p đi9m bi9u di;n s ph c m@t phAng tBa ñ< Bài Tìm t p h p m m t ph ng ph c bi u di%n s z th&a mãn: a z + z + = c ( − z ) ( i + z ) s th c tùy ý b z − z + − i = d ( − z ) ( i + z ) s o tùy ý f z − ( z ) = e z − i = z − z + 2i Gi i Đ t z = x + iy ⇒ z = x − iy a z + z + = ⇔ x + = ⇔ x = 1; x = − (hai ñư ng th ng x = 1; x = −4 ) b z − z + − i = ⇔ + i ( y − 1) = ⇔ + ( y − 1) = ⇔ y − = ±2 ⇔ y = ± 2 V y t p h p hai ñư ng th ng y = − 2 y = + 2 2 c z′ = ( − z ) ( i + z ) = ( − x − iy ) ( x + i (1 − y ) ) = ( − x) x + y (1 − y ) + i ( − x) (1 − y ) − xy z ′ ∈ ℝ ⇔ ( − x ) (1 − y ) − xy = ⇔ − x − y = ⇔ y = −1 x + ( d z ′ = ( − z ) ( i + z ) ∈ i ℝ ⇔ ( − x ) x + y (1 − y ) = ⇔ ( x − 1) + y − 2 ) =5 ( ) ⇒ T p h p ñi m ñư ng trịn tâm I 1; bán kính 2 e z − i = z − z + i ⇔ x + i ( y − 1) = 2i ( y + 1) ⇔ x + ( y − 1) = y + 2 ⇔ x = ( y + 1) − ( y − 1) = y ⇒ T p h p ñi m ñư ng parabol y = x f z − ( z ) = ⇔ ( x − y + 2ixy ) − ( x − y − 2ixy ) = ⇔ 4ixy = ⇔ xy = ⇒ T p h p ñi m hai ñư ng hypebol y = y = − x x 292 DeThiMau.vn www.VNMATH.com S ph c Bài Xác ñ nh t p h p ñi m m t ph ng bi u di%n s ph c z cho z − có m t argument b ng π z+2 Gi i Gi s z1 a1 a + b1b2 a b1 − a1b2 = + i suy ra: z2 a 22 + b22 a 22 + b22 z = x + yi S d ng công th c 2 4y z − = ( x − ) + yi = x + y − + i.Đ 2 z + ( x + ) + yi ( x − ) + y ( x − 2) + y z − có m t argument z+2 x2 + y − 4y i = r cos π + i sin π v i r > ϕ = π − 2 2 3 ( x − 2) + y ( x − 2) + y y ) (  x2 + y2 − = r cos π =  2 ( )  x−2 + y ⇒ 4y  = r sin π =  ( x − 2) + y  ⇒ x2 + y2 − = r  y > (1)  ⇒  4y = 3  2 r x y + −  2 4y ⇒ x +  y −  =   3   3 3 x (2) −2 T! (1) (2) suy t p h p m M ph n đư ng trịn tâm I  0;  bán 3  kính R = n m phía tr c th c (tr c Ox) Bài Xác ñ nh t p h p ñi m m t ph ng ph c bi u di%n s ph c z th&a mãn z = k , (k s th c dương cho trư c) z −i Gi i Gi s z = x + yi ( x, y ∈ ℝ) ⇒ x + yi x2 + y2 z = =k ⇔ = k (1) 2 z −i x + ( y − 1) i x + ( y − 1) N u k = (1) ⇔ y = t p h p ñi m ñư ng th ng y = 2 2   k2 N u k ≠ (1) ⇔ x + y − 2k y + 2k = ⇔ x +  y − 2k  = k −1 k −1 k −  ( k − 1)    T p h p c n tìm đư ng trịn có tâm I  0; 2k  bán kính b ng 2k k − k −1   293 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ChươngIII T h p, Xác su t S ph c − Tr n Phương Bài Trong m t ph ng ph c cho ñi m A, B, C, D bi u di%n s ph c + ( + ) i; + ( + ) i; + 3i; + i CMR: A, B, C, D ∈ m t đư ng trịn Gi i T! gi thi t ta suy A = ( 4; + ) ; B = ( 2; + ) ; C = (1; 3) D = ( 3; 1) Ta có CA = ( 3; ) bi u di%n s ph c + 3i , CB = (1; ) bi u di%n s ph c + 3i , ⇒ S đo góc ( CA, CB ) m t argument c a s ph c z1 = S d ng + 3i + 3i a1 + b1i a1 a + b1b2 a b1 − a1b2 3+i = + i ⇒ z1 = + i= 2 2 a + b2 i 12 12 a + b2 a + b2 V y s đo góc ( CA, CB ) m t argument c a s ph c 3+i M t khác DA = (1; + ) bi u di%n s ph c + ( + ) i , DB = ( −1; + ) bi u di%n s ph c −1 + ( + ) i ⇒ S ño góc ( DA, DB ) m t argument c a s ph c z2 = −1 + ( + 3) i + ( + 3) i V y s đo góc ( DA, DB ) m t argument c a s ph c = 3+i 3+i Vì argument c a m t s ph c sai khác k 2π, k ∈ ℤ nên ACB = ADB V y ABCD t giác n i ti p D.ng Ph n th c, ph n o c a m ∑x b ≤ k =1 n n k ⇒ a2 − b2 > k ∑ ⇔ Re ( n ∑x −∑y k k =1 k Đi u k =1 n x k2 − k =1 ∑x ∑y k =1 mâu thu)n v i a − b = V y a≤ n n k ∑y k k =1 n ) ∑ Re ( z z12 + z 22 + + z n2 ≤ k =1 k ) k =1 Bài Cho a, b, c, d∈ℂ v i ac ≠ Ch ng minh r ng: Max { ac ; ad + bc ; bd } Max { a ; b } ⋅ Max { c;d } ≥ −1 (1) Gi i Đ t x= −1 b d , y= , k= ⇒ k = − k , đó: a c (1) ⇔ Max {1; x + y ; xy } ≥ k Max {1; x} Max {1; y} (2) N u |x| ≥ 1, | y| ≥ (2) |xy| ≥ k.|x|.|y| (k Ta s* ch ng minh: Max {1; x + y ; xy Gi s Max{1; x + y ; x y } < k y ⇒ y > } ≥ k y (3) x + y < k y k Ta có: x + x + y ≥ y ⇒ x ≥ y − x + y > y − k y = (1 − k ) y = k y ⇒ x y ≥ k2 y > k y ⇒ Mâu thu)n Do (3) ñư c ch ng minh ⇒ (2) ñúng ⇒ (1) ñúng Ch ng minh tương t v i |x| > 1, |y| < Max {1; x + y ; xy } ≥ k x (4) Do (4) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ (1) ñúng Bài Cho z1, z2, z3, z4∈ℂ Ch ng minh: z1 + z + z + z ≤ ∑ zi + z j 1≤i ≤ j ≤ Gi i 299 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ChươngIII T h p, Xác su t S ph c − Tr n Phương S d ng b t ñ ng th c: |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b∈ ℂ Ta có: z1 − z + z ≤ z1 + z + z ≤ z1 + z + z1 + z T! suy ra: z1 ≤  z1 + z + z1 + z + z + z  Tương t ta có: z ≤  z + z + z + z + z + z  z ≤  z + z + z + z1 + z + z1  z ≤  z + z1 + z + z + z1 + z  ∑ C ng b t ñ ng th c ⇒ z1 + z + z + z ≤ zi + z j 1≤ i ≤ j ≤ Đ ng th c x y ⇔ (z1 , z2, z3, z4) m t hoán v c a (a, a, −a, −a) v i a∈ℂ a, b, c ≥ 1 Bài Cho  Ch ng minh: T = + 12 + + + + ≥ a b c a + b + c = abc Gi i T! gi thi t a + b + c = abc ⇒ = a + b + c ⇔ + + = abc ab bc ca Coi bi u th c ch a mơđun c a s ph c, ta có i 1  1 1  1 1  1 + ≥ +  + +  i = +  + +  ≥ + 3 + +  =2 T= a a b c a b c  ab bc ca  a ,b , c ∑ z z2 zn Bài Cho ña th c f ( z ) = + + + + n Ch ng minh r ng: 4 ∀z1 ≠ z2∈ℂ th&a mãn | z1|, | z2| ≤ f ( z1 ) − f ( z ) > Bài Gi s z1 − z z1, z2, , zn nghi m ph c c a ña th c P(z) = z n + a1 z n −1 + + a n −1 z + a n ∈ ℂ [ z ] a Ch ng minh r ng: z1 + z2 + + z n ≥ a2 b Ch ng minh r ng: N u t1, t2, , tn −1 nghi m ph c c a đa th c P′(z) ta có b t đ ng th c sau ln n−2 2 2 2 t1 + t + + t n −1 ≤ z1 + z + + z n n ( 300 DeThiMau.vn ) ... 49 49 cos + i sin π 6 294 DeThiMau.vn ( ) www.VNMATH.com S ph c V y Re ( z1 ) = 124 cos π = 125 , Im ( z1 ) = 124 sin π = 25 3 2 ) ( ) ( z = cos π i + sin π i (1 + 3i ) = − cos π + i sin π ... − i z1 z − z1 z + z1 z + i z1 z ) = z1 z Bài CMR: Re ( n ) ∑ Re ( z z12 + z 22 + + z n2 ≤ k ) , ∀z1, z2, , zn∈ℂ k =1 Gi i Đ t z k = x k + i y k ; z12 + z 22 + + z n2 = a + i b x k , y k ,... a 22 + b22 ( ) ( ) 2 cos π − i sin ( π )  =  ( )  1− i =  cos − π + i sin − π   1+ i 12 12  ( ) ( ) Bi n ñ#i z = sin ϕ + i cos ϕ thành d ng lư ng giác z = cos ( π − ϕ ) + i sin ( π