Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Tam giác đồng dạng và các ứng dụng45411

BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Nguyễn Văn Anh Định lí Ta – lét Chuyên đề: Tam giác đồng dạng ứng dụng  -A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN I/ Định lí Thalès:  ABC có: M  AB, N  AC: AM AN MN// BC   MB NC Hệ quả:  ABC có: M  đt AB, N  ñt AC: AM AN MN MN// BC    AB AC BC  Mở rộng: Với d//d’ vaø A, B, C  d; A’, B’ ,C’  d’ Khi đó: AB BC AA’, BB’, CC’ đồng qui   A' B' B' C '  Löu ý:  Chú ý thứ tự A.B,C d A’, B’, C’ d’  Tính chất sử dụng để chứng minh đường thẳng đồng qui ngược lại xác định cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chùm đường thẳng đồng qui II/ Tính chất đường phân giác:  ABC có: AD, AE phân giác đỉnh A (D, E  DB AB  DC  AC  BC) thì:   EB  AB  AB  AC   EC AC A B E C D Hệ quả: * Với: DB EB n   m  0; n   DC EC m * Ta nói: D E điểm chia điểm chia đoạn thẳng BC theo tỉ số n   D,E nằm bên phải trung điểm O BC m n + Neáu m  n     D,E nằm bên trái trung điểm O BC m + Nếu n  m   DeThiMau.vn n m BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI n + Neáu n  m     D  E trùng với trung điểm O BC m (Tính chất sử dụng xác định điểm chia điểm tỉ lệ đoạn thẳng) Nguyễn Văn Anh III/ Tam giác đồng dạng: A ABC A’B’C’theo tỉ số k  A  A' ; B  B' ; C  C '   AB BC CA    k  A' B' B' C ' C ' A' A’ C B C’ B’ * Dấu hiệu:   A  A' ; B  B'  AB AC  ; A  A' A’B’C’    A' B' A' C '  AB BC CA     A' B' B' C ' C ' A' * ABC  B  B' * Với A  A' 1v thì:* ABC A’B’C’   AB BC    A' B' B' C ' * ABC có: M  đt AB, N  đt AC:MN// BC  ABC AMN * Tính chất: *ABC = A’B’C’  ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng 1 k * ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng m A’B’C’ A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng n  ABC A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng m.n + AH, AM, AD, P, S đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích ABC A’H’, A’M’, A’D’, P’, S’ đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích ABC Khi đó: * ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng k  A’B’C’ *ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng k AM AD P  AH    k   A' H ' A' M ' A' D ' P'   S  k2 S'  IV/ Hệ thức lượng tam giác vuoâng: A b c b' c' B H a C ABC theo tỉ số đồng dạng   AB  BH BC ; AC  CH BC   AH  BH CH A  1v( AH  BC )   AB AC  AH BC   BC  AB  AC      AH AB AC DeThiMau.vn Nguyễn Văn Anh BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI * Tỉ số lượng giác góc nhọn: AC AB  sin B  cos C  BC ; cos B  sin C  BC + A  1v( AH  BC )   tgB  cot gC  AC ; tgC  cot gC  AB  AB AC 2 sin   cos   1; tg cot g   0 +    90   1 ;1  cot g 2  1  tg   cos  sin   B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: n * Dạng: Chia đoạn thẳng AB tỉ lệ theo tỉ số cho trước m + Phương pháp: * Sử dụng định lý Thalès - Kẻ tia Ax dựng Ax m đoạn thẳng với độ dài đơn vị đo tuỳ ý, ta đoạn thẳng AM có độ dài m - Kẻ đường thẳng MB, từ mút đoạn thẳng có độ dài m đoạn Ax ta kẻ đường thẳng song song với MB Khi ta có m đoạn thẳng AB * Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác CA n  - Dựng AB tam giác ABC có (CA + CB > AB) CB m - Dựng phân giác góc ACB cắt AB D, E Khi D; E điểm chia * Dạng : Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng + Phương pháp: - Từ đẳng thức sử dụng tính chất tỉ lệ thức đưa đẳng thức hai tỉ số đoạn thẳng - Chứng minh đẳng thức tỉ số vừa tìm bằng: định lí Thalès, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác, hệ thức lượng tam giác vuông, … * Ngoài dạng toán bản, ta sử dụng kiến thức vào số dạng loại tập chứng minh hình học khác như: chứng minh song song, đồng qui, thẳng hàng, … CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH + Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M kà điểm cạnh AD cho MD  Qua M keû MA đường thẳng song song với đáy cắt BC N a) Tính MN theo AB CD? MD n b) Khái quát hoá toán với  m  0; n   MA m c) Đặc biết hoá toán M trung điểm AD HD: - Kẻ đường chéo BD sử dụng hệ Thalès - p dụng định lí đường trung bình hình thang + Bài 2: ABCD tứ giác có góc B, D vuông Từ M AC keû MN  BC; MP  AD (N  BC; P  AD) MN MP a) Chứng minh:  1 AB CD DeThiMau.vn Nguyễn Văn Anh BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI b) Tương tự hoá toán với ABCD tứ giác bất kì? HD: - Sử dụng hệ Thalès + Bài 3: Cho tam giác ABC với trung tuyến AD Từ điểm P thuộc cạnh BC kể đường thẳng song song với AD cắt AB AC M; N a) Chứng minh rằng: Tổng PM + PN không đổi P di chuyển cạnh BC b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: ADPI hình bình hành, từ suy quỹ tích điểm I HD: - Sử dụng hệ Thalès chứng minh: PM + PN = 2AD - Chứng minh: PI//=AD + Bài 4: Cho tam giác ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC D; phân giác góc ADB cắt cạnh AB F; phân giác góc ADC cắt cạnh AC E Chứng minh: AF.BD.CE = BF.CD.AE AF BD.CE 1 HD: - Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác chứng minh: BF CD AE + Bài 5: Cho tứ giác ABCD Kẻ hai đường thẳng song song với hai đường chéo AC cắt cạnh BA, BC, DA, DC G, H, E, F Chứng minh rằng: GE, HF, BD song song, đồng qui HD: - Nếu G, H, E, F trung điểm cạnh áp dụng tính chất đường trung bình syu GE, HF, BD song song - Nếu G, H, E, F trung điểm cạnh áp dụng định lí Thalès mở rộng suy GE, HF, BD song song + Bài 5: Cho tam giác ABC (Không tam giác đều) Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) ABH MNO b) AHG MOG GO c) H, G, O thẳng hàng  GH HD: - Câu a sử dụng tính chất : Hai góc có cạnh tương ứng song bù - Câu b sử dụng tính chất trọng tâm kết câu a chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp c g c + Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD; CD>AB) Kẻ MN//AB (M  AD, N  BC) vaø MN chia hình thang thành hai phần có diện tích Chứng minh hệ thức: AB  CD  2.MN HD: - p dụng tỉ số diện tích tam giác đồng dạng + Bài 7: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) M trung điểm cạnh BC Một điểm D thay đổi MB cạnh AB Lấy điểm E cạnh AC cho: CE  Chứng minh rằng: BD a) DBM MCE DME b) DM phân giác góc BDE; EM phân giác góc CED c) Khoảng cách từ M đến ED không đổi D thay đổi treân AB MB CE MB    DBM MCE; DBM DME (c.g.c) HD: - Từ CE  BD MB BD - p dụng tính chất: Mọi điểm thuộc tia phân giác cách hai cạnh góc + Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy, cắt BC I, cắt AD J Chứng minh rằng: DeThiMau.vn Nguyễn Văn Anh BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI 1 a)   OI AB CD 1 b)   (IJ gọi đoạn thẳng trung bình điều hoà AB CD) IJ AB CD + Bài 9: Cho tam giác ABC Vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB D AC E Qua C kẻ Cx//AB cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG Kẻ HI//AB (I  BC) Chứng minh rằng: a) DA.EG = DB DE b) HC2 = HE.HA 1 c)   IH AB CG + Bài 10: Cho hình vuông ABCD Gọi I điểm cạnh AB Tia DI tia CB cắt K Tia Dx  DK cắt đường thẳng BC L a) Chứng minh rằng: DIL cân 1 b) Chứng minh: không đổi I di động đoạn thẳng AB  DI DK c) Gọi J điểm cạnh BC Chứng minh rằng: DI  AJ  DI  AJ HD: - Câu b sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông + Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A Một đường thẳng cắt hai cạnh AB AC theo thứ tự D E a) Chứng minh: CD  CB  ED  EB b) Tìm tập hợp điểm M cho S ABC  S BMC HD: - Sử dụng định lí Pi – ta – go + Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AA’ Gọi EF hình chiếu A’ lên AC AB CE AC  a) Chứng minh: BF AB b) Gọi D điểm cạnh huyền BC, M; N hình chiếu D lên canh AB, AC Chứng minh: DB.DC = MA.MB +NA.NC HD: - Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông tam giác đồng dạng + Bài 13: M điểm nằm tam giác ABC Các tia AM; BM; CM cắt cạnh BC; CA; AB A1; B1; C1 Chứng minh rằng: AM BM CM a)   6 A1M B1M C1M AM BM CM b) 8 A1M B1M C1M Tìm điều kiện M để dấu “=” xảy ra? HD: - Sử dụng tính chất diện tích tam giác tam giác đồng dạng chứng minh được: AM S S  MCA  MAb A1M S MBC S MBC + Bài 14: Trên cạnh AB; BC, CA tam giác ABC, lấy điểm M; N; P cho: MA NB PC   k MB NC PA DeThiMau.vn BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI Nguyễn Văn Anh S k a) Chứng minh: AMP  S ABA k  12 b) Tính S MNP theo k S ABC S c) Tìm k để MNP  S ABA 16 HD: - Keû BB1  AC , MM  AC  S AMP AP AM  ; S ABA AC AB S AMP  S BMN  S CNP DeThiMau.vn tương tự chứng minh được: ... - Chứng minh đẳng thức tỉ số vừa tìm bằng: định lí Thalès, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác, hệ thức lượng tam giác vuông, … * Ngoài dạng toán bản, ta sử dụng kiến thức vào số dạng. .. số đồng dạng 1 k * ABC A’B’C’theo tỉ số đồng dạng m A’B’C’ A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng n  ABC A’’B’’C’’theo tỉ số đồng dạng m.n + AH, AM, AD, P, S đường cao, trung tuyến, phân giác, ...  AD) MN MP a) Chứng minh:  1 AB CD DeThiMau.vn Nguyễn Văn Anh BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI b) Tương tự hoá toán với ABCD tứ giác bất kì? HD: - Sử dụng hệ Thalès + Bài 3: Cho tam giác ABC với trung