Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A ( Thời gian 180 phút , không kể giao đề) Bài 1( 4,0 điểm) Cho hàm số : y = x mx m x 1 (C m ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (Cm) m = 2) Tìm m để cực đại , cực tiểu (Cm) nằm hai phía đường thẳng 9x 7y = Bài 2( 4,0 điểm) 1)Tìm p q để giá trị lớn hàm số y = x px q trªn 1;1 lµ bÐ nhÊt 3) Gäi ( x ; y ) nghiệm bất phương trình log x y (2 x y ) T×m ( 2 x; y) cho 2x + y lớn Bài ( 4,0 điểm) Cho cos3x – cos2x + mcosx – = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều ;2 Bài 4(4,0 ®iĨm) x sin x dx cos x 1) TÝnh I 2) Cho x2 +y2 =1 Chøng minh : 16( x y ) 20( x y ) 5( x y ) Bµi 5( 4,0 điểm) 1) Cho tứ diện ABCD Các mỈt cđa tø diƯn cã diƯn tÝch b»ng Chứng minh tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tø diƯn trïng 2) Cho tø diƯn ABCD vµ mặt phẳng (P) Tìm mf (P) điểm M cho MA MB MC MD nhỏ DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm thang điểm thi học sinh giỏi 12 môn toán bảng a Bài Hướng dÉn chÊm 1) Khi m = y x x7 x 1 (C1 ) *) TËp x¸c định : x *) Sự biến thiên : y ' §iĨm 0,25 x 2x ; ( x 1) 2 y ' x 2 & x 0,5 Ta có bảng biến thiên x - y -2 + C§ + + + + y - - 0,5 CT *)Hàm số đạt cực đại x = -2 yCĐ = -3 đạt cùc tiĨu t¹i x = yCT = *)x = tiệm cận đứng Lim f(x) = - vµ lim f(x) = + x1x1+ *) y = x + tiệm cận xiên lim(f(x) x ) = lim x Đồ thị : dạng đồ thị 0,25 x 0,25 x y -2 O -3 -7 DeThiMau.vn x 0,25 2)Tập xác định x y ' x 2x ; y’ = x =-2 ; x = ( x 1) Vậy với m (Cm) có cực đại cực tiểu Theo câu 1) ta có yCĐ= m x = -2 ; ®Ỉt A ( -2 ; m – ) yCT = m + x = ; đặt B ( ; m + ) A ; B nằm hai phía đường thẳng 9x 7y – = (9xA – 7yA – )( 9xB – 7yB – ) < ( -7m )( -21 – 7m) < -3 < m < 0,5 0,5 0,25 Vậy m 3; thoả mÃn toán 0,5 0,25 1) 1)Đặt y = f(x) = x2 + px + q ; h(x) = f (x) h(x) = h( ) ta cã f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ; Gäi max f (1) f (0) f (1) f (0) p f (1) f (0) f (1) f (0) p f (1) NÕu p > p h( ) f (0) f (1) NÕu p < p h( ) f (0) p Chó ý : Max h(x) = max f ( ) ; f (1) ; f (1) 1;1 p *) NÕu p = f(x) = x2 + q ; f(0) = f(- ) = q ; f(1) = + q Giá trị lớn h(x) giá trị q ; q 1 NÕu q < - q 2 NÕu q = - fx) 2 NÕu q q f (1) h( ) f (0) 1 h( ) 2 1 max h( x) x 0; x 1 cịng lµ giá 2 trị nhỏ h() VËy p = ; q = - tho¶ m·n toán x2 DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 x2 2y2 (I ) 2 2 x y x y 2) log x y (2 x y ) 1(*) x y ( II ) 2 0 x y x y 0,5 Trường hợp 1: Nếu (x;y) thoả mÃn (I) ta có x2 +2y2 xy ( x 1) ( y 2 )2 Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta cã 1 81 9 (2 x y ) ( x 1)2 ( 2y ) 2x y 2x y 16 4 2 2 0,5 với x ; y thoả mÃn (*) DÊu “=” x¶y 2x y x 2y y x 1 2 VËy x = ; y = th× 2x + y lín nhÊt 0,5 Trêng hỵp : ( x ; y ) tho¶ m·n (II) 2x + y không đạt giá trị lớn Vì từ (II) x y x y 2) cos3x – cos2x + mcosx – = (1) 0,5 cos x 4 cos x cos x m (2) cos x x k kZ 4) 1) Víi m = th× (1) cos x x 2k 0,5 3) cos x(4 cos x cos x m 3) 0,5 t cos x ; t 4t 2t m (3) Vẽ đồ thị hàm số y = cosx ;2 2) Xét phương trình (2) 0,25 Y y=t1 - DeThiMau.vn O y=t2 - 3 2 x 0,25 Sè nghiƯm cđa (2) lµ sè giao điểm y = t y = cosx trªn ;2 víi t nghiệm (3) Phương trình (1) có số nghiƯm nhiỊu nhÊt trªn ;2 phương trình (3) có hai nghiƯm t1 < t2 tho¶ m·n ' f (0) 13 < t1 < t2