Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2009 – 2010 môn: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin)44648

Sở giáo dục đào tạo hoá kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn năm học: 2009 2010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin) Đề thức Thời gian làm : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi:19 tháng năm 2009 Câu 1( 2,0 điểm) 2x2  1 Cho biÓu thøc: T    1 x 1 x 1 x T×m điều kiện x để T xác định Rút gọn T Tìm giá trị lớn T Câu ( 2,0 điểm) x xy 1 Giải hệ phương trình: 2 4 x  xy  y  Giải phương trình: x2 y 2009 z  2010  ( x  y  z ) Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên a để phương trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = có nghiệm nguyên HÃy tìm nghiệm nguyên a0 b0 Cho a, b, c số thoả mÃn điều kiện: 19a  6b  9c  12  Chøng minh r»ng hai phương trình sau có nghiệm x  2(a  1) x  a  6abc   x  2(b  1) x  b  19abc  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Gọi P Q điểm đối xứng E qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn Câu ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba gãc nhän Chøng minh r»ng x2 y z 2x2  y  2z víi mäi sè thùc x, y, z ta lu«n cã:    a2 b2 c2 a2  b2  c2 Hết Họ tên thí sinh: Họ tên chữ ký giám thị Sè b¸o danh: Họ tên chữ ký giám thÞ DeThiMau.vn Së giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009-2010 Đáp án đề thi thức Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Câu ý Nội dung §iĨm 1 §iỊu kiƯn: x  0; x  2,0 0,25 2x  2  2x    3 1 x 1 x 1 x x  x 1 T lín nhÊt x  x  nhá nhất, điều xẩy x Vậy T lín nhÊt b»ng 0,75 0,5 0,5 T 2 Giải hệ phương trình: 2x2 xy = (1) 2 4x +4xy – y = (2) Nhận thấy x = không thoả mÃn hệ nên từ (1) y = Thế vào (2) được: 4x2 + 4x 2x  (*) x 2x  2x  -( ) =7 x x  8x4 – 7x2 - = Đặt t = x2 với t ta ®­ỵc 8t2 - 7t - =  t=1 t=- 0,25 (lo¹i) 0,25 víi t =1 ta cã x2 =  x =  thay vào (*) tính y = Hệ phương trình đà cho có nghiệm: x = x = -1 y=1 y = -1 x  y  z  x   y  2009  z  2010 2  x    y  2009   z  2010    x  3; y  2008; z  2011      PT ®· cho cã biÖt sè  = 4a2 + 16a -151 PT có nghiệm nguyên = n2 với n  N Hay 4a2 + 16a - 151 = n2  (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167  (2a + 4)2 - n2 = 167  (2a + + n)(2a + - n) = 167 Vì 167 số nguyên tố 2a + + n > 2a + - n nên phải cã: DeThiMau.vn 0,25 0,25 §K: x  2; y  2009; z 2010 Phương trình đà cho tương đương víi:  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2a + + n 2a + - n 2a + + n 2a + - n = 167 = = -1 = -167 4a + = 168 a = 40 4a + = -168 a = -44 với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = cã nghiƯm nguyªn x = 0, x = 83 víi a = - 44 PT có nghiệm nguyên x= -1, x = - 84 Ta cã: 1'  a (2  6bc) ;  '  b(2  19ac) Suy 1'   '  a (2  6bc)  b(2  19ac) Tõ gi¶ thiÕt 19a  6b  9c  12 , ta cã tæng (2  6bc)  (2  19ac)   c(19a  6b)   c(12  9c) = 9c  12c    3c    Do ®ã Ýt nhÊt mét hai sè (2  6bc) ;(2  19ac) kh«ng âm Mặt khác, theo giả thiết ta có a ; b  Tõ ®ã suy Ýt nhÊt mét hai sè 1' ;  ' không âm, suy hai phương trình đà cho có nghiệm ( đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A P H B Q O C E D 0,25 0,25 DeThiMau.vn 0,25 0,25 Vì H trực tâm tam giác ABC nên BH AC (1) 0,25 Mặt khác AD đường kính đường tròn tâm O nên DC AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy BH // DC 0,25 Hoàn toàn tương tự, suy BD // HC Suy tứ giác BHCD hình bình hành ( Vì có cặp cạnh đối song song) 0,25 Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy AP=AE PAB  EAB  PAB  EAB ( c.g c )  APB  AEB L¹i cã AEB  ACB ( gãc néi tiÕp cïng chắn cung) 0,25 APB ACB Mặt kh¸c AHB  ACB  180  APB  AHB 180 tứ giác APHB tứ gi¸c néi tiÕp  PAB  PHB ( gãc néi tiếp chắn cung) 0,25 0,25 Mà PAB EAB PHB EAB Hoàn toàn tương tự, ta cã: CHQ  EAC Do ®ã: 0,25 PHQ  PHB  EHC  CHQ  BAE  EAC  BHC   BAC  BHC  180 Suy ba điểm P, H, Q thẳng hàng Vì P, Q điểm đối xứng E qua AB AC nên ta có AP = AE = AQ suy tam giác APQ tam giác cân đỉnh A Mặt khác, tính đối xứng ta có PAQ 2BAC ( không đổi) Do cạnh đáy PQ tam giác cân APQ lớn chØ AP, AQ lín nhÊt  AE lín nhÊt Điều xảy AE đường kính đường tròn tâm DeThiMau.vn 0,25 O ngoại tiÕp tam gi¸c ABC  E  D C H a B b c A V× a  b  c  ta cã:  x2 y2 z2  a  b  c      b c  a  a2  c2  b2 b2  c2  a2  2    x     y   b2 a2     2    a2  b2  c2    z    c2    2 2 2  b2  c2  a2  2 a  b  c 2 a  c  b         x  y  z  x  z y     c2 b2 a2      0,25    0,25 (*) Gi¶ sư a  b  c th× c  a  0; c  b  Víi cạnh c lớn ACB nhọn (gt) kẻ ®­êng cao BH ta cã c  BH  HA  BC  CA  a  b tõ ®ã suy biĨu thức (*) không âm suy điều phải chứng minh 0,5 DeThiMau.vn ...Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009- 2010 Đáp án đề thi thức Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Câu ý Néi dung §iĨm 1... ta cã x2 =  x =  thay vào (*) tính y = Hệ phương trình đà cho có nghiệm: x = vµ x = -1 y=1 y = -1 x  y  z  x   y  2009  z  2010 2  x    y  2009   z  2010    x  3; y  2008;... n) = 167 Vì 167 số nguyên tố 2a + + n > 2a + - n nªn phải có: DeThiMau.vn 0,25 0,25 ĐK: x 2; y 2009; z 2010 Phương trình đà cho tương ®­¬ng víi:  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2a + + n 2a