Tài liệu Toán tài chính: Lãi đơn pdf

Lãi suất interest rate Lãi suất là tỷ lệ phần trăm giữa tiền lãi trên số vốn vay mà người vay phải trả cho người cho vay trong một thời gian nhất định.. Lãi suất ngang giá Lãi suất nga

CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN (simple interest)

1.1 Lợi tức và lãi suất

1.2 Khái niệm lãi đơn và công thức tính lãi đơn

1.3 Lãi suất ngang giá và lãi suất trung bình

1.4 Lãi suất thực trong lãi đơn

- Người vay: Ngân hàng thương mại X - Người cho vay : Ông A

- Số vốn vay : 100 triệu đồng - Lợi tức : 10 triệu đồng

- Thời gian : 12 tháng

1.1.2 Lãi suất (interest rate)

Lãi suất là tỷ lệ phần trăm giữa tiền lãi trên số vốn vay mà người vay phải trả cho người cho vay trong một thời gian nhất định

1.2 KHÁI NIỆM LÃI ĐƠN VÀ CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN

1.2.1 Khái niệm lãi đơn

Lãi đơn là tiền lãi chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt kỳ hạn vay Nói cách khác tiền lãi của kỳ hạn trước không được nhập vào vốn vay ban đầu để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp

Ví dụ 1.2: Ông A gửi gửi tiền tiết kiệm với số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng thương mại

X, thời hạn 2 năm với lãi đơn 10% năm

Năm thứ 1: Ông A nhận được tiền lãi: 100 triệu đồng * 10% = 10 triệu đồng

Năm thứ 2: Ông A nhận được tiền lãi: 100 triệu đồng * 10% = 10 triệu đồng

Như vậy Ông A nhận được 20 triệu đồng tiền lãi (mỗi năm 10 triệu đồng) và sau 2 năm Ông

A nhận lại 100 triệu đồng vốn gốc Tổng số tiền cuối cùng Ông A nhận được là 120 triệu đồng

Nếu gọi PV : Vốn gốc ban đầu FV : Tổng giá trị cuối tính đến thời điểm n

r : Lãi suất n : Số kỳ hạn

In : Lợi tức

1.2.2 Công thức tính lãi đơn

Ta có công thức tính lãi đơn:

1.3 LÃI SUẤT NGANG GIÁ VÀ LÃI SUẤT TRUNG BÌNH

1.3.1 Lãi suất ngang giá

Lãi suất ngang giá còn được gọi là lãi suất tương đương, là 2 lãi suất r và rk, có cùng một số vốn gốc và cùng một thời gian nhưng 2 chu kỳ khác nhau cho tiền lãi tương đương nhau

1.3.2 Lãi suất trung bình

Trong quá trình đầu tư có thể có nhiều mức lãi suất khác nhau theo thời gian khác nhau Do

đó, cần phải tính lãi suất trung bình

Công thức tính lãi suất trung bình như sau:

= ∑ ∑ nk

rk nk

rTB *

Ví dụ 1.4: Doanh nghiệp M vay của ngân hàng thương mại X số tiền 100 triệu đồng, lãi đơn

và thời gian tương ứng như sau: 6 tháng đầu với lãi suất 12%/năm, 5 tháng kế tiếp với lãi

suất 13,2%/năm và 7 tháng cuối với lãi suất 14,4%/năm Tính lãi suất trung bình và tổng số tiền doanh nghiệp M phải trả

% 1 , 1 18

% 9 , 19 18

% 4 , 8

% 5 , 5

% 6 7

5 6

) 12 /

% 4 , 14

* 7 ( ) 12 /

% 2 , 13

* 5 ( ) 12 /

+ +

1.4 LÃI SUẤT THỰC TRONG LÃI ĐƠN

Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sứ dụng vốn vay trong thời gian nhất định

Công thức tính lãi suất thực

PV

f I

rt = +

Ví dụ 1.5: Doanh nghiệp N vay của ngân hàng thương mại Y, số vốn 200 triệu đồng, lãi đơn 9,6%/năm Ngoài ra, còn có phí hồ sơ: 200.000$ và các khoản chi phí khác: 0,2% vốn gốc Tính lãi suất thực nếu thời gian vay 12 tháng và thời gian vay 4 tháng? Nếu trong hợp đồng, doanh nghiệp N phải trả lãi trước thì lãi suất thực là bao nhiêu?

CHƯƠNG 2: LÃI KÉP (Compound Interest)

2.1 Khái niệm lãi kép và công thức tính lãi kép

2.2 Lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương và lãi suất trung bình trong lãi kép

2.3 Lãi suất thực trong lãi kép

2.4 So sánh giữa lãi đơn và lãi kép

2.5 Ứng dụng lãi kép

2.1 KHÁI NIỆM LÃI KÉP VÀ CÔNG THỨC TÍNH LÃI KÉP

2.1.1 Khái niệm lãi kép

Lãi kép là phương pháp tính tiền lãi bằng cách cộng tiền lãi của kỳ hạn trước vào số vốn vay

để tính tiền lãi cho kỳ kế tiếp trong suốt thời gian vay Lãi kép còn được gọi là lãi nhập vốn hoặc lãi góp vốn

Ví dụ 2.1: Ông A gửi gửi tiền tiết kiệm với số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng thương mại

X, thời hạn 2 năm với lãi kép 10% năm

Năm thứ 1: Ông A nhận được tiền lãi: 100 triệu đồng * 10% = 10 triệu đồng

Cuối năm thứ 1: Ông A có lãi nhập vốn: 100 triệu đồng + 10 triệu đồng =110 triệu đồng Năm thứ 2: Ông A nhận được tiền lãi: 110 triệu đồng * 10% = 11 triệu đồng

Như vậy, sau 2 năm Ông A nhận được 21 triệu đồng tiền lãi và 100 triệu đồng vốn gốc Tổng số tiền cuối cùng Ông A nhận được là 121 triệu đồng

c Công thức tính n :

Từ công thức tính FV Tính log( 1 )

) log(

r PV

FV n

2.2 LÃI SUẤT TỶ LỆ, LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ LÃI SUẤT TRUNG BÌNH TRONG LÃI KÉP

2.2.2 Lãi suất tương đương

Hai lãi suất r và rk tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi với cùng một số vốn, cùng thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau

Nếu gọi: r là lãi suất năm, ta có: FV = PV(1+r)n

và rk là lãi suất quý FV = PV(1+rk)nk Như vậy FV = PV(1+r)n = PV(1+rk)nk Nên: (1+r)n = (1+rk)nk

) 1 ( ) 1

TB

r r

r n

Ví dụ 2.3: Ông C gửi số tiền 150 triệu đồng vào ngân hàng theo lãi kép với lãi suất biến đổi như sau: 2 năm đầu với lãi suất 8%/năm, 3 năm tiếp theo với lãi suất 9%/năm và 4 năm cuối với lãi suất 11%/năm Tính tiền lãi của Ông A sau 9 năm và lãi kép trung bình hằng năm là bao nhiêu?

000 962 343

= 2,29308

%66,9129308,2

FV n

rt

Ví dụ 2.4: Ông A vay của ngân hàng 400 triệu đồng, lãi kép 9%/năm, kỳ ghép lãi 6 tháng, vốn và lãi trả một lần khi đáo hạn Lệ phí vay 0,5% vốn gốc Tính lãi suất thực cho thời hạn vay 3 năm và kỳ hạn vay 1 năm?

000 904 509

1 +r t 6 = =

%22,41281166,

000.810.436

=

t

r kỳ 6 tháng hoặc 9,52%/năm

2.4 SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP

Ví dụ 2.5: Ông A đầu tư 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm Tính giá trị Ông A đạt được theo 2 phương pháp lãi đơn và lãi kép trong 3 trường hợp: (a) Thời gian đầu tư là 1 năm; (b) Thời gian đầu tư là 3 năm và (c) Thời gian đầu tư là 6 tháng?

Giá trị đạt được theo lãi kép

CHƯƠNG 3: CHUỖI TIỀN TỆ (Annuities)

3.1 Tổng quát về chuỗi tiền tệ

3.2 Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

3.3 Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

3.4 Chuỗi tiền tệ biến đổi

3.5 Kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ

- Số kỳ thanh toán (số lượng kỳ khoản) : n

- Số tiền thanh toán mỗi kỳ : d

- Lãi suất tính cho mỗi kỳ : r

- Độ dài của 1 kỳ : năm, quý, tháng

3.1.2 Phân loại chuỗi tiền tệ

- Chuỗi tiền tệ cố định (Constant Annuities): Số tiền thanh toán mỗi kỳ bằng nhau

- Chuỗi tiền tệ biến đổi (Variable Annuities): Số tiền thanh toán mỗi kỳ không bằng nhau

- Chuỗi tiền tệ có thời hạn: Số kỳ thanh toán hữu hạn

- Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: Số kỳ thanh toán vô hạn

- Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: Lần thanh toán đầu tiên thực hiện ở thời điểm gốc

- Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: Lần thanh toán đầu tiên thực hiện sau thời điểm gốc ít nhất

1 kỳ

3.2 GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ

3.2.1 Giá trị tương lai (Future Value: FV) của chuỗi tiền tệ cuối kỳ

Công thức:

n

FV = ∑dk (1 + r)n-k k=1

Ví dụ 3.1: Tính giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ cuối kỳ (3 năm) không ổn định: d1 = 1.000; d2 = 1.100 và d3 = 1.200 với lãi suất 10%/năm

FV = d1 (1+r)3-1 + d2 (1+r)3-2 + d3 (1+r)3-3

FV = 1.000(1+10%)3-1 + 1.100(1+10%)3-2 + 1.200(1+10%)3-3

FV = 1.000*1,21 + 1.100*1,1 + 1.200 = 1.210 + 1.210 + 1.200 = 3.620

3.2.2 Giá trị tương lai (Future Value: FV) của chuỗi tiền tệ đầu kỳ

a Chuỗi tiền tệ biến đổi

n

FV = ∑dk (1 + r)n-k+1 k=1

Ví dụ 3.2: Tính giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đầu kỳ (3 năm) biến đổi: d1 = 1.000; d2

= 1.100 và d3 = 1.200 với lãi suất 10%/năm

n 1)1

1

%)101(000

( 1 [

1 )]

( 1

m

n m

m r m

r d

3.3 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI (HIỆN GIÁ: Present Value: PV) CỦA CHUỖI TIỀN TỆ

Giá trị hiện tại của tiền được xem là sự chiết khấu dòng tiền, tương đương với phép nghịch đảo của quá trình xác định giá trị tương lai của tiền

3.3.1 Giá trị hiện tại của những khoản thu nhập đơn

a Giá trị hiện tại: Chiết khấu hằng năm

Từ: FV = PV (1 + r)n ta có: r n

FV PV

) 1 ( +

m

r FV

Ví dụ 3.6: Tính giá trị hiện tại của 1.000 sẽ nhận sau 3 năm, mỗi quý chiết khấu một lần với

tỷ suất chiết khấu 10%/năm?

PV = 1.000 (1 + 0,025)-12 = 743,56

3.3.2 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ

a Chuỗi tiền tệ biến đổi (phát sinh cuối kỳ)

n

PV = ∑dk (1+r)-k k=1

Ví dụ 3.6: Tính giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ 3 năm với d1 = 1.000; d2 = 1.100; d3 = 1.200 với tỷ suất chiết khấu 10%/năm

n

) 1 ( 1

Ví dụ 3.7: Tính giá trị hiện tại của một niên khoản 3 năm, d = 1.000 đều hằng năm với tỷ suất chiết khấu 10%/năm

%)101(1000.1

) ( 1

m

n m

m r m

r d

PV

Ví dụ 3.8: Tính giá trị hiện tại số tiền sẽ thu sau 3 năm là 3.3322,22, chiết khấu hằng quý, tỷ suất chiết khấu 10%/năm?

000.11

4

%101

4

%101122,322

3 4

−

=

−

3.4 CHUỖI TIỀN TỆ BIẾN ĐỔI ĐẶC BIỆT

3.4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng

a Giá trị tương lai: Nếu gọi công sai là p, ta có công thức

p

n r

r r

p d FV

n 1 * )

1 (

−

− +

r p

n r

p d PV

) 1 ( 1

528,682

%6

5

*10

%6

1

%)61(

%6

%6

5

*10

%6

%)61(15

*10

%6

520

3.4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân

a Giá trị tương lai: Nếu gọi q là công bội, ta có công thức

) 1 (

r q

r q

d FV

n n

) 1 (

) 1 ( )

1 (

r q

r q

r d PV

n n

n

Ví dụ 3.10: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 8 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là 300, các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 10%, lãi suất 12%/kỳ Tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ?

1

%)121(1

,

1

300

8 8

%)121(1,1

%)121(1,1

%)121

(

300

8 8

8

PV

606,013.212,11,1

12,11,112,1

*300

8 8

3.5 KỲ HẠN TRUNG BÌNH CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ

Nếu gọi: - Kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ : x

- Số kỳ khoản : n

Ta có công thức:

) 1 log(

) 1 ( 1

* log

r r

r n x

392118

1log

%)81

log(

%)81

(

1

%8

*8

=+

3.6.1 Thiết lập và thẩm định dự án đầu tư:

- Đưa các khoản chi đầu tư trong tương lai về giá trị hiện tại

- Đưa các khoản thu nhập trong tương lai về giá trị hiện tại

CHƯƠNG 4: TÀI KHOẢN VÃNG LAI (Current account)

4.1 Tổng quát về tài khoản vãng lai

4.2 Tài khoản vãng lai có lợi tức tính theo lãi suất qua lại và bất biến

4.3 Tài khoản vãng lai tính theo lãi suất không qua lại và có thay đổi

4.1.2 Các nghiệp vụ của tài khoản vãng lai

a Nghiệp vụ Có: Nghiệp vụ gửi tiền vào ngân hàng

b Nghiệp vụ Nợ: Nghiệp vụ rút tiền ở ngân hàng

4.1.3 Số dư của tài khoản vãng lai

Số dư của tài khoản vãng lai là hiệu số giữa tổng nghiệp vụ Có và tổng nghiệp vụ Nợ Tài khoản vãng lai có thể có số dư Có hoặc số dư Nợ:

- Số dư Có: tổng nghiệp vụ Có - tổng nghiệp vụ Nợ > 0

- Số dư Nợ: tổng nghiệp vụ Có - tổng nghiệp vụ Nợ < 0

4.1.4 Lợi tức của tài khoản vãng lai

Ngân hàng và khách hàng thỏa thuận với nhau về lợi tức của các nghiệp vụ theo các nội dung sau:

a Lãi suất

- Lãi suất áp dụng cho nghiệp vụ Nợ: Lãi suất Nợ

- Lãi suất áp dụng cho nghiệp vụ Có: Lãi suất Có

- Khi áp dụng cùng 1 mức lãi suất cho cả nghiệp vụ Nợ và nghiệp vụ Có: Lãi suất qua lại (Reciprocal Rate)

- Khi lãi suất không đổi trong suốt thời gian mở tài khoản: Lãi suất bất biến

b Ngày khóa sổ tài khoản: Ngày ghi vào bên Nợ hoặc bên Có tài khoản số lợi tức của khách hàng phải trả cho ngân hàng hoặc nhận được từ ngân hàng

c Ngày giá trị: Ngày được xem là thời điểm xuất phát để tính lợi tức

Các ngân hàng có tập quán đẩy sớm lên hay lùi lại 1 hoặc 2 ngày so với ngày nghiệp vụ phát sinh để xác định ngày giá trị:

- Đối với nghiệp vụ Nợ: Đẩy sớm lên 1 hoặc 2 ngày

- Đối với nghiệp vụ Có: Đẩy lùi lại 1 hoặc 2 ngày

4.2 TÀI KHOẢN VÃNG LAI CÓ LỢI TỨC TÍNH THEO LÃI SUẤT QUA LẠI VÀ

BẤT BIẾN

Ví dụ 4.1: Tài khoản vãng lai của Công ty M mở tại ngân hàng thương mại Z có thời kỳ từ

01/5 đến 31/7 với lãi suất 7,2%/năm có các nghiệp vụ phát sinh được phản ảnh như sau:

18/7 Hoàn lại thương phiếu không thu được 50 16/7

Việc tính lãi và số dư trên tài khoản vãng lai theo lãi suất bất biến và qua lại được thực hiện

bằng 1 trong 3 phương pháp

4.2.1 Phương pháp trực tiếp

Tính lãi từ ngày giá trị của nghiệp vụ phát sinh đến ngày khóa sổ tài khoản (31/7) theo

nguyên tắc:

- Số ngày n : Tính từ ngày giá trị đến ngày khóa sổ

- Ngày giá trị : Nghiệp vụ Có: Đẩy lùi lại 2 ngày

Nghiệp vụ Nợ: Đẩy sớm lên 2 ngày

- Lợi tức được tính theo lãi đơn

Ta có tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp trực tiếp

NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Z TÀI KHOẢN VÃNG LAI CỦA CÔNG TY M

30/6 Nhờ thu thương phiếu 100.000 02/7 29 2.900.000

07/7 Chiết khấu thương phiếu 280.000 09/7 22 6.160.000

18/7 Hoàn lại thương phiếu 50.000 02/7 29 1.450.000

4.2.2 Phương pháp gián tiếp

Theo phương pháp này, việc tính lãi theo 3 bước

Bước 1: Tính lãi từ ngày khóa sổ lần trước đến ngày giá trị (dấu âm)

Bước 2: Tính lãi từ ngày khóa sổ lần trước đến ngày khóa sổ lần này

Bước 3: Tính lãi thực tế = kết quả bước 2 - kết quả bước 1

Ta có tài khoản vãng lai được trình bày theo phương pháp gián tiếp

NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Z TÀI KHOẢN VÃNG LAI CỦA CÔNG TY M

30/6 Nhờ thu thương phiếu 100.000 02/7 63 -1.260 07/7 Chiết khấu thương phiếu 280.000 09/7 70 -3.920 18/7 Hoàn lại thương phiếu 50.000 02/7 63 -630

31/7 Lợi tức 30/4-31/7 31/7 -2.970 -6.060

Lợi tức tổng NV Nợ 350.000 31/7 6.440

Lợi tức tổng NV Có 630.000 31/7 11.592 31/7 Số dư lợi tức Có 2.062 3.470 5.532 31/7 Cân đối dư Có 282.062

632.062 632.062 01/8 Số dư Có 282.062 31/7

- Số ngày n tính từ ngày khóa sổ lần trước tới ngày giá trị của nghiệp vụ phát sinh

- Lợi tức mang dấu (-) là lợi tức tính theo bước 1

- Lợi tức tính theo bước 2, từ ngày khóa sổ lần trước đến ngày khóa sổ lần này là 92 ngày

+ Lợi tức theo tổng nghiệp vụ Nợ = 6 440

360

% 2 , 7

* 92

* 000

+ Lợi tức theo tổng nghiệp vụ Có =

360

% 2 , 7

* 92

* 000

NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Z TÀI KHOẢN VÃNG LAI CỦA CÔNG TY M

07/7 Chiết khấu thương

phiếu

- Số ngày n tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ trước đến ngày giá trị của nghiệp vụ kế tiếp

- Số ngày n của nghiệp vụ cuối cùng tính từ ngày giá trị của nghiệp vụ cuối cùng đến ngày

khóa sổ tài khoản

- Nếu ngày giá trị của nghiệp vụ sau ở trước ngày giá trị của nghiệp vụ trước thì số ngày n sẽ

là số (-) (*), nên lợi tức cũng sẽ số (-) và ghi số (+) vào cột lợi tức đối ứng:

+ Số (-) ở cột lợi tức Có sẽ ghi thành số (+) ở cột lợi tức Nợ (*)

+ Số (-) ở cột lợi tức Nợ sẽ ghi thành số (+) ở cột lợi tức Có

a Trình bày theo thứ tự thời gian ngày giá trị

NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Z TÀI KHOẢN VÃNG LAI CỦA CÔNG TY M

7/7 Chiết khấu thương phiếu 280.000 280.000 9/7 22 1.232

- Trình bày theo thứ tự thời gian của ngày giá trị nên không có số âm (-)

4.3 TÀI KHOẢN VÃNG LAI TÍNH THEO LÃI SUẤT KHÔNG QUA LẠI VÀ BIẾN

ĐỔI

Ví dụ 4.2: Công ty N mở tài khoản vãng lai tại Ngân hàng thương mại Y với các thông tin

như sau:

- Từ ngày 01/5 đến 30/6/200x: Lãi suất Nợ : 7,92%/năm

Lãi suất Có : 6,84%/năm

- Từ ngày 01/7 đến 31/7/200x: Lãi suất Nợ : 7,20%/năm

Lãi suất Có : 5,76%/năm

- Lệ phí bội chi: 0,1% số dư Nợ lớn nhất

- Lệ phí giữ sổ: 0,4% tổng nghiệp vụ Nợ phát sinh

Các nghiệp vụ phát sinh trong thời gian Công ty N mở tài khoản vãng lai như sau:

Các nghiệp vụ trên được phản ảnh vào tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg, trình

bày theo thứ tự ngày phát sinh như sau:

NGÂN HÀNG THƯƠNG MẠI Z TÀI KHOẢN VÃNG LAI CỦA CÔNG TY M

05/6 Trả nợ thương phiếu 100.000 170.000 03/6 18 673,2

19/6 Nhờ thu thương phiếu 300.000 130.000 21/6 10 247,0 01/7 Thay đổi lãi suất 130.000 01/7 7 145,6 06/7 Gửi tiền mặt 120.000 250.000 08/7 5 200,0 15/7 Thanh toán bằng séc 150.000 100.000 13/7 18 288,0

- Lợi tức được tính theo số dư với lãi suất Nợ hay Có tương ứng với từng thời kỳ

- Ngày 01/7 có sự thay đổi lãi suất

- Lệ phí bội chi : Căn cứ số dư Nợ lớn nhất = 170.000*0,1% = 170

- Lệ phí giữ số = (200.000 + 100.000 + 150.000)*0,4% = 1.800

4.4 CÁC ỨNG DỤNG

Bài tập ứng dụng

CHƯƠNG 5: VAY VỐN (Loans)

và người vay Người cho vay có thể giao tiền vay cho người vay 1 lần hoặc nhiều lần Trong hợp đồng vay vốn cần xác định rõ 4 yếu tố cơ bản sau:

- Tiền cho vay (vốn gốc) : V0

- Thời hạn cho vay (năm, quý, tháng…) : n

- Lãi suất cho vay (năm, quý, tháng…) : r

- Phương thức trả vốn và lãi vay

5.2 CÁC PHƯƠNG THỨC HOÀN TRẢ (Redemption)

5.2.1 Trả vốn vay và lãi vay 1 lần khi đáo hạn