SỞ GD&ĐT HỊA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 LỚP THCS Mơn: Tốn (Thời gian làm 150 không kể thời gian giao ®Ị) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( điểm) 1 ).(1 ) 1 a 1 a a Cho biểu thức A ( a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu 2: ( điểm) a/ Cho x b/ Giải phương trình: 75 Tính giá trị biểu thức B x3 x x2 x x 1 c/ Cho m số cố định, x y số thay đổi Tìm giá trị nhỏ của: P ( x y 1) (2 x my 4) Câu 3: ( điểm) Có đội làm chung cơng việc Làm chung ngày đội III điều làm việc khác, đội lại làm thêm 12 ngày hồn thành cơng việc Biết suất đội I cao suất đội II, suất đội III trung bình cộng suất đội I đội II đội làm cơng việc phải tất 39 ngày Hỏi đội làm ngày xong công việc Câu 4: ( điểm) Cho điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm A C Vẽ đường trịn tâm O đường kính AB Gọi I điểm nằm O B (I O, I B), EF dây cung (O) qua I (E A) Vẽ đường thẳng d AC C, đường thẳng AE cắt d P, đường thẳng AF cắt d Q Đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ cắt AC M khác A a/ Chứng minh rằng: Tứ giác PEFQ tứ giác nội tiếp b/ Chứng minh rằng: AIF đồng dạng với AQM c/ Chứng minh rằng: AI AM AB AC Câu 5: ( điểm) 4 x 1 b/ Tìm số nguyên dương n cho 3n số phương a/ Giải phương trình: x x Hết -Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD:………………………… Giám thị số 1:……………………………… Giám thị số 2: ……………………………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT HÒA BÌNH Câu Câu điểm ý a Nội dung ĐK: a 0, a A b HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 LỚP THCS Mơn: Tốn Hướng dẫn chấm có 03 trang a (1 a ) a 2 1 a a a 1 Để A nguyên ( a 1) ước 2, mà ( a 1) nên a 1 a 0( Loai ) KL … a 1( Loai ) a Câu a Ta có: ( 1)3 Suy x điểm ( 1) 2 1 Vậy B 13 b 0.5đ 1đ 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ ĐK: x Ta có PT: x x (2 x 1) 3x x c Điểm 0.5đ 1đ x 2(TM ) KL… x 1 ( Loai ) Ta có: P x y 1 2 x y x y 1 Xét hệ 2 x my 2 x my (6 m) y y m + Nếu m 6 hệ có nghiêm x m 12 m6 y m Khi Pmin đạt x m 12 m6 + Nếu m 6 đặt x y t , ta có 12 36 36 Đẳng thức P t (2t 6) 5t 24t 36 5(t ) 5 12 xảy t 12 36 Khi Pmin đạt x y (có thể chọn 5 x ; y 0) DeThiMau.vn 1đ 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Câu 3 điểm Gọi số ngày để đội I làm xong công việc x (ngày, x 0) Gọi số ngày để đội II làm xong cơng việc y (ngày, y 0) 0.5đ công việc x Một ngày đội II làm công việc, x y y 1 Một ngày đội III làm ( ) công việc x y 0.5đ Một ngày đội I làm Số ngày để đội III làm xong công việc 1 1 1 0.5đ 2xy x y Theo đề ta có: ( ) 12( ) x y x y x y 1 18( ) xy 18( x y ) x y x y xy x y 39 Mặt khác ta có 12 39 x y 81 3 3( x y ) xy 1458 , tìm x 27, y 54 KL 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu P E điểm A O I B C M F Q a b c Câu điểm a E EFB 900 , APQ PAC Ta có AF 900 1đ PAC Mà EFB nên AFE APQ Vậy Tứ giác PEFQ nội tiếp 1đ Ta có AMQ APQ nên AMQ AFE 1đ Hai tam giác AIF AQM có góc A chung AMQ AFE nên đồng dạng với Do AMQ AFE nên tứ giác MIFQ nội tiếp Do AI.AM = AF.AQ Ta thấy tứ giác BCQF nội tiếp ( BCQ BFQ 900 ) Do AB.AC = AF.AQ, Vậy AI.AM = AB.AC 1đ ĐK: x , ta có PT: ( x 1) 5 x 1 Cách 1: Đánh giá theo bất đẳng thức Cosi có: 1 1 ( x 1) 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Đẳng thức xảy x KL… ( x 1) DeThiMau.vn 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Cách 2: Đặt b x t (t 0) ta phương trình t 5 t t 5t (t 1) (t 2t 3t 4) Từ tìm x KL … Giả sử 3n a , với a nguyên dương ( a ), ta có: 3n (a 2)(a 2) (*) Vì (a 2) (a 2) nên (a 2) (a 2) không chia hết với n khơng có a thỏa mãn (*) Với n 31 khơng số phương Vậy khơng có số ngun dương n để 3n số phương Hết DeThiMau.vn 0.5đ 0.5đ 0.5đ ...SỞ GD&ĐT HỊA BÌNH Câu Câu điểm ý a Nội dung ĐK: a 0, a A b HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 LỚP THCS Môn: Tốn Hướng dẫn chấm có 03 trang... 1 1 1 0.5đ 2xy x y Theo đề ta có: ( ) 12( ) x y x y x y 1 18( ) xy 18( x y ) x y x y xy x y 39 Mặt khác ta có 12 39 x y 81 3 3( x y ) ... 5t 24t 36 5(t ) 5 12 xảy t 12 36 Khi Pmin đạt x y (có thể chọn 5 x ; y 0) DeThiMau.vn 1đ 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Câu 3 điểm Gọi số ngày để đội I làm xong cơng việc x