Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học 2005 2006 đề thi môn: Toán44235

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005-2006 ĐỀ THI MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Cho phương trình sin x  m  sin x  2m cos x SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC  3  Tìm m để phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn 0;    Câu  x  x2  1) Tìm lim x 1 x2  2) Tìm m để phương trình x3  x  (m  2) x  m   có ba nghiệm phân biệt, có nghiệm âm nghiệm dương x  y  sin x  m Câu Tìm m để hệ phương trình  có nghiệm (x;y) thỏa mãn  y  sin y  m  x điều kiện  x  2 ;0  y  2 Câu Cho tứ diện SABC M điểm nằm bên tam giác ABC (không nằm cạnh) Qua M kẻ đường thẳng song song với SA, SB, SC tương ứng cắt mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) điểm A’, B’, C’ 1) Tùy theo vị trí M trình bày cách dựng điểm A’, B’, C’ 2) Xác định vị trí điểm M để đại lượng MA ' MB ' MC ' đạt GTLN SA SB SC Câu Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (b  c  a ) (c  a  b ) (a  b  c)    (b  c)  a (c  a )  b (a  b)  c - Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm! Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:……………………… Họ tên thí sinh:………………………………………… SBD:………………… DeThiMau.vn SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐỀ THI MÔN: TỐN Dành cho học sinh THPT khơng chun Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu Cho hai phương trình sau 2sin x ฀ 1  sin  a  sin x  a.sin x  a  1 1  cos x   2sin x ฀ 2sin x   a  1 (1) (2) a Giải phương trình với a b Tìm a để hai phương trình tương đương  3 sin x  sin y  sin z ฀ Câu Giải hệ phương trình  cos x  cos y  cos z ฀  Câu Tìm lim  1       n  1 3 2n   2n   Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A1B1C1D1 Một mặt phẳng  P  thay đổi song song với hai đáy lăng trụ cắt đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 điểm M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mặt phẳng  P  cho diện tích tứ giác MNPQ đạt GTLN Câu Tìm tất số nguyên dương a  b  c cho     1  1  1   ฀  a  b  c  - Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm! Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:……………………… Họ tên thí sinh:………………………………………… SBD:………………… DeThiMau.vn SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3 điểm)Tìm tất giá trị x   0;2  cho: 2cos x   sin x   sin x  Câu (2 điểm)Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn abc1 Cmr:   1   a    b    c     b  c  a  Câu (2 điểm)Cho dãy số un ฀ n   n  1, n ฀ 1,2,3, ;  ฀ a Với  ฀ 1, tìm lim un b Tìm  để dãy số có giới hạn Câu (3 điểm) Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua A, B, C, D vẽ đường thẳng d A  OA, d B  OB, dC  OC , d D  OD Các sậưp đường thẳng d A d B , d B dC , dC d D , d D d A tương ứng cắt K, L, M, N a Cmr KM, LN cắt O b Gọi p, q, r độ dài đoạn thẳng OK, OL, OM Tính độ dài đoạn ON - Hết - Cán coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2008-2009 DeThiMau.vn ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Tìm giá trị a để phương trình dau có nghiệm: 1  2a  11  a  5a  ฀ x  a  x  a  x  3a  1 Câu Tìm số tự nhiên a bé để phương trình sau có nghiệm: cos   a  x   2cos   a  x   cos 3 x x   cos   2฀ 2a  2a  Câu Cho ABC có tan A  tan C ฀ tan B Cmr cos A  cos C  Câu Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E giao điểm AC BD Cmr ba trung điểm ba đoạn thẳng AD, BC, OE thẳng hàng AB ฀ CD ฀ AEB ฀ 900 Câu Cho x, y, z số dương, t/m: x+y+z=3 Tìm GTNN biểu thức: P฀ x y z   xy  yz  zx  - Hết - Cán coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 DeThiMau.vn ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT khơng chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2, điểm) Giải hệ phương trình:  x3 y (1  y )  x y (2  y )  xy  30   2  x y  x(1  y  y )  y  11  x  (2  3)cos x  2sin       Câu (2, điểm) Giải phương trình: 2cos x  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho đa giác 2n đỉnh A1 A2 A2 n ( với n số nguyên lớn 1) Hỏi có tất hình chữ nhật với đỉnh đỉnh đa giác cho Câu (2, điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a 2, BC  a, SA  SB  SC  SD  2a K hình chiếu vng góc B AC, H hình chiếu vng góc K SA a Tính HK b M, N trung điểm đoạn thẳng AK, CD Cmr BM  MN Câu (1, điểm) Cho x, y, z số dương, t/m x+y+z=1 Cmr : 1 27     xy  yz  xz - Hết - Cán coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (2 điểm) Giải phương trình: 3tan x  Câu II (2,5 điểm) Cho khai triển: 1  x  x  x3   x 2010  cotx 2  cos x  cos x  cotx  2011  a0  a1 x  a2 x  a3 x3   a4042110 x 4042110 a Tính tổng a0  a2  a4   a4042110 b Chứng minh đẳng thức sau: 2010 2011 C2011 a2011  C2011 a2010  C2011 a2009  C2011 a2008   C2011 a1  C2011 a0  2011 Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số chia hết cho Câu III (2,5 điểm) Cho dãy số  un  xác định sau u1  2011; un 1  n  un 1  un  , với n  ฀ * , n  Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn Tính giới hạn: x x   3x   x 1 x2 1 A  lim Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất mặt hình vng cạnh a Chứng minh AC ' vng góc với mặt phẳng  A ' BD  đường thẳng AC ' qua trọng tâm tam giác A ' BD Hãy xác định điểm M, N nằm cạnh A’D, CD’ cho MN vng góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a -Hết Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (1,5 điểm) tan x  tan x    sin  x   Giải phương trình: tan x  4  Câu (3,0 điểm) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Chứng minh đẳng thức sau: C   C   C   C  2012 2012 2 2012 2012 2011 2012 1006    C2012    C2012   C2012 2 Câu (2,5 điểm) Chứng minh phương trình x3  x   có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm nghiệm Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  sin1; un  un 1  sin n , với n  ฀ , n  n2 Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên 3a ( a  ) Hãy xác định điểm O cho O cách tất đỉnh hình chóp S.ABCD tính độ dài SO theo a Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh đường thẳng SB vng góc với đường thẳng SC, biết 1 1  2 2 SH SA SB SC Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD điểm X thay đổi khơng gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA  XB  XC  XD đạt giá trị nhỏ —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câ Ý u 1,5 điểm Điể m Nội dung trình bày Điều kiện: cos x   x    k (*) Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x  tan x)  sin x  cos x  2sin x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x  (sin x  cos x)(2sin x  1)   + Với sin x  cos x   tan x  1  x    k + Với 2sin x    sin x   x   0,25 0,5 0,25 5  k 2 0,25 5  k 2 (k  ฀ ) 0,25  k 2 ; x  Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là: x   k ; x    k 2 ; x  1,5 điểm Số số tự nhiên có chữ số 99999  10000   90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1  10.abcd   3.abcd  7.abcd  chia hết cho 3.abcd  chia hết cho Đặt 3.abcd   h  abcd  2h  h  3t  Khi ta được: abcd  7t   1000  7t   9999 h 1 số nguyên 998 9997 t   t  143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho số 7 abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 1286 Vậy xác suất cần tìm là:  0, 015 90000 0,5 0,5  1,5 điểm DeThiMau.vn 0,5 Xét đẳng thức 1  x  +) Ta có 1  x  2012 2012 1  x  2012  1  x  k   C2012   x2  2012 k 2012 0,5 suy hệ số số hạng chứa x 2012 k 0 0,5 1006 C2012 2012  2012 k  k  k x xk     C2012       C2012  k 0   k 0  2012 suy hệ số số hạng chứa x o 2012 2011 2010 2009 2012 2012 C2012 C2012  C2012 C2012  C2012 C2012  C2012 C2012   C2012 C2012 +) Ta có 1  x  2012 1  x  2012 0,5 2011 2012   C2012    C2012    C2012    C2012     C2012    C2012  2 2 Từ suy đẳng thức cần chứng minh 1,5 điểm Đặt f  x   x3  x  ; tập xác định D  ฀ suy hàm số liên tục ฀ Ta 0,25 có  1 f  1  3, f     1, f    1, f 1  suy  2  1  1 f  1 f     0, f    f    0, f   f 1  Từ bất đẳng thức  2  2 tính liên tục hàm số suy pt f  x   có ba nghiệm phân biệt thuộc 0,5 0,25  1; 1 Đặt x  cos t , t   0;   thay vào pt ta được:  cos3 t  3cos t    cos 3t  cos  5 7  t   ;  t  k 2 , kết hợp với t   0;   ta  Do phương trình cho có nghiệm: 9 9   5 7 x  cos , x  cos , x  cos 9 ; 0,5 1,0 điểm 1 1      2 n 1 1 1 Thật vậy, ta có           n 1.2 2.3 n  n  1 Nhận xét Với số nguyên dương n ta có: 1 1 1            suy nhận xét chứng minh 2 n 1 n n sin1 sin sin n Trở lại tốn, từ cơng thức truy hồi ta được: un     2 n 1 Ta có un      với n (theo nhận xét trên) (1) n 1 Mặt khác un         2 với n (theo nhận xét trên) (2) Từ n  1 (1) (2) suy dãy số cho bị chặn DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,25 1,0 điểm S M O D C 0,25 I A B Gọi I  AC  BD Do SA  SB  SC  SD nên tam giác SAC, SBD cân đỉnh S nên SI vng góc với AC, BD suy SI vng góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy điểm nằm đường thẳng SI cách đỉnh A, B, C, D Trong tam giác SIC, dựng trung trực cạnh SC cắt đường thẳng SI O 0,25 suy OS  OA  OB  OC  OD Ta có SM SC  SO.SI  SO  SM SC 3a.3a 9a 2a    SI SA2  IA2 9a  a 2a Vậy SO  0,5 1,0 điểm A H C S 0,25 K B D Gọi K giao điểm đường thẳng AH BC; mặt phẳng (SBC) gọi D giao điểm đường thẳng qua S, vng góc với SC Ta có BC vng góc với SH SA nên BC vng góc với mặt phẳng (SAH) suy BC vng góc với SK Trong tam giác vng SAK ta có 1  2 , kết hợp với giả thiết ta SH SA SK 1  2 (1) SK SB SC Trong tam giác vuông SDC ta có 1   (2) 2 SK SD SC DeThiMau.vn 0,5 0,25 Từ (1) (2) ta SB  SD , từ suy B  D hay suy SB vuông góc với SC 1,0 điểm A Q M G D B 0,25 N P C Gọi G trọng tâm tứ diện; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AN  BN suy MN  AB , tương tự ta chứng minh MN  CD đường thẳng PQ vng góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD GA         XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD  GA      XG GA  GB  GC  GD  4.GA2   4GA Dấu xảy X GA trùng với điểm G Vậy XA  XB  XC  XD nhỏ X trọng Ta có XA  XB  XC  XD   0,5  tâm tứ diện ABCD DeThiMau.vn 0,25 ... & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006- 2007 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT khơng chun Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ... Cán coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2008-2009 DeThiMau.vn ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không... coi thi không giải thích thêm - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010 DeThiMau.vn ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh