Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 THPT năm học 2013 2014 môn: Toán26027

TRƯỜNG THPT B KIM BẢNG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT Năm học 2013-2014 Mơn: Tốn Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Họ tên: Trần Việt Hà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị : Trường THPT B Kim Bảng Câu 1: (4 điểm) Tính tổng nghiệm phương trình sau 0;1004  8sin x.cos x  s inx  cos x 0 3 7 sin( x  )  3cos( x  ) 2 Câu 2: (5 điểm) a) Tính tổng 2011 2012 k C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 S        1.2 2.3 3.4 ( k  1).( k  2) 2012.2013 2013.2014 (k  N ,  k  2012) b) Xếp 10 người gồm nam nữ vào hai hàng ghế kê đối diện nhau, bên Hỏi có cách xếp để nam nữ ngồi đối diện ? Câu 3: (3 điểm) Cho dãy số thực (an ) xác định a1  an  n ann11  2n 1  2.3n 1 với n  Tìm số hạng tổng quát dãy số (an ) ? Câu 4: (3 điểm) Cho dãy ngũ giác lồi An BnCn Dn En , xác định sau: a) Ngũ giác A1 B1C1 D1 E1 có diện tích S1  2014 b) Với n  N * ngũ giác An 1 Bn 1Cn 1 Dn 1 En 1 tạo thành cách: Từ trung điểm cạnh ngũ giác An BnCn Dn En ta nối với trung điểm cạnh khơng kề Ngũ giác An 1 Bn 1Cn 1 Dn 1 En 1 có đỉnh trung điểm cạnh thẳng nhận theo cách nối Gọi Si diện tích ngũ giác Ai Bi Ci Di Ei Tìm S2013 ? Câu 5: (5 điểm) Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ có đáy tam giác vng cân, OA=OB=a, AA'=a Gọi M, P trung điểm OA, AA’ a) Tính diện tích thiết diện lăng trụ cắt mp(  ) qua M vng góc với A’B b) Gọi  góc tạo hai mp (OAB) (MPB’) Tính cos ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Câu1 (4đ) Nội dung Điều kiện xác định: 3 7 sin( x  )  3cos( x  )   s inx  cosx  2    tan x   tan x  tan  x   k , k  Z 6 Điểm 0.5 PT  4sin x sin x  s inx  cosx   2(cosx  cos3x)  s inx  cosx    cos3x  cosx  s inx  cos3x  cos(x  ) 2      x x k    x   k   (k  Z )      3x  ( x  )  k 2 x    k   12 1.0 Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm phương trình cho x  12 k  (k  Z ) Vì x  0;1004     1.0  12 k   1004 1   k   2008 1  k  2008  6  k  Z k  Z 0.5 Suy nghiệm phương trình cho 0;1004 là xk    12 k có x1    12  1  k  2008 với  gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng k  Z    5 12 công sai d   ThuVienDeThi.com nên tổng nghiệm n   2008  5   3025052 x ( n 1) (2008 1)          12  S Câu (5đ) 1.0 a) (3 điểm) Ta có k C2012 2012!   (k  1).(k  2) (k  1).(k  2) k !(2012  k )! k 2 C2014 2014!   2013.2014 (k  2)!2014  (k  2) ! 2013.2014 1.0 Do S 2014  C2014  C2014   C2014 2013.2014 1.0 Mặt khác ta có 2014 C2014  C2014  C2014  C2014   C2014  22014 2014  C2014  C2014   C2014  22014  2015 0.5 Vậy 22014  2015 S 2013.2014 0.5 b) (2 điểm) Khơng tính tổng qt để dễ hình dung ta đánh số ghế sau: 10 Có 10 cách chọn 10 người để xếp vào ghế số Sau chọn người để xếp vào ghế số có cách chọn người khác giới để xếp vào ghế số 10 Tương tự có cách chọn người cịn lại để xếp vào ghế số Khi ThuVienDeThi.com 1.0 có cách chọn người khác giới để xếp vào ghế số Cứ tiếp tục trình vậy, ta có 10.5.8.4.6.3.4.2.2 = 460 800 cách xếp thỏa mãn đề Câu (3 đ) 1.0 n n 1 n 1 n 1 Từ công thức truy hồi ta suy an  an 1   2.3 0.5 n 1 n2 n2 n2 Thay n n-1, n-2, , ta an 1  an    2.3 a22  a11  21  2.31 0.5 Cộng vế với vế đẳng thức giản ước số hạng hai vế, n ta a  a   (2k 1  2.3k 1 )   (2n  2)  (3n  3)  2n  3n n n 1 k 2 1.0 Từ suy an  n 2n  3n 1.0 Câu (3 đ) An K Dn+1 Cn+1 En Bn En+1 Bn+1 N An+1 M Dn Cn Gọi G trọng tâm ngũ giác An Bn Cn Dn En với kí hiệu thứ tự đỉnh ngũ giác An 1 Bn 1Cn 1 Dn 1 En 1 hình vẽ ta có  1        GAn 1  (GM  GN )  (GB n  GC n  GD n  GE n )  GAn 4       ( Vì GAn  GB n  GC n  GD n  GE n  ) Tương tự ta có ThuVienDeThi.com 0.5  1   1  GB n 1  GB n ; GC n 1  GC n 4     1 1  GD n 1  GD n ; GE n 1  GE n 4 Vậy ngũ giác An 1 Bn 1Cn 1 Dn 1 En 1 ảnh ngũ giác An Bn Cn Dn En qua phép vị tự tâm G tỉ số k  0.5 1 S n (n  N * ) 16 * Như diện tích ngũ giác An Bn Cn Dn En ( n  N ) lập thành cấp số nhân Do S n 1  k S n  1 với công bội q  Do S n  S1   16  16  0.5 n 1 Vậy 1.0 S 2013 1  S1    16  20131  2014 162012 0.5 ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... 2 C2014 2014!   2013. 2014 (k  2)!? ?2014  (k  2) ! 2013. 2014 1.0 Do S 2014  C2014  C2014   C2014 2013. 2014 1.0 Mặt khác ta có 2014 C2014  C2014  C2014  C2014   C2014  22014. .. C2014  22014 2014  C2014  C2014   C2014  22014  2015 0.5 Vậy 22014  2015 S 2013. 2014 0.5 b) (2 điểm) Không tính tổng qt để dễ hình dung ta đánh số ghế sau: 10 Có 10 cách chọn 10 người... vào ghế số Sau chọn người để xếp vào ghế số có cách chọn người khác giới để xếp vào ghế số 10 Tương tự có cách chọn người lại để xếp vào ghế số Khi ThuVienDeThi.com 1.0 có cách chọn người khác