Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán43693

Trường thcs tây đô đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 Môn: Toán ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng – Ngµy kiĨm tra / / 2008 ) Bài ( điểm ): Cho đa thức: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 1/ Ph©n tích f(x) thành nhân tử 2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) + có giá trị số phương Bài ( 1,5 điểm ): Cho phương trình ẩn x: 4x  a b ;   x  3x  x  x  2 víi x 1; x Tìm a b để phương trình có nghiệm số thực khác Bài ( điểm ): Tìm giá trị lớn nhỏ biÓu thøc B = x + y + z; biÕt x; y; z số thực thoả mÃn ®iỊu kiƯn y2 + yz + z2 3x =1 Bài ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M điểm cạnh BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD K Gọi I trung điểm đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI N 1/ Tứ giác MNKE hình ? Chứng minh 2/ Chứng minh: AK2 = KC KE 3/ Chøng minh r»ng ®iĨm M di chuyển cạnh BC tam giác CME có chu vi không đổi 4/ Tia AM cắt ®­êng th¼ng CD ë G Chøng minh r»ng 1 không phụ AM AG thuộc vào vị trí điểm M Bài ( điểm ): Cho a; b; c số thực thoả mÃn ®iỊu kiƯn: abc = 2008 Chøng minh r»ng: 2008a b c   1 ab  2008a  2008 bc  b  2008 ca  c  - Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: - Họ tên, chữ ký người coi thi: Chú ý: Người coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn Trường thcs tây đô đáp án, biểu điểm môn toán kỳ kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng Ngày kiểm tra / / 2008 ) Bài 1: điểm; Mỗi câu điểm Câu 1: Lần lượt phân tích để cã kÕt qu¶ f(x) = x ( x + )( x + )( x + ) C©u 2: Từ kết câu ta có: + A = f(x) + = x( x + )( x + )( x + ) + = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + ) + ( 0,25 ®iĨm ) + §Ỉt x2 + 3x = t; ta cã A = t( t + ) = + Do x  Z nên t = phương x2 t2 + 2t + = ( t + + 3x x  Z; ®ã ( t + )2 )2  Z ( t + ( 0,25 điểm ) )2 số ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 2: 1,5 điểm + Với x  1; x  ta cã: a b ax  2a  bx  b (a  b) x  (2a  b)    x 1 x  ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) + Do ®ã 4x  a b   víi mäi x  1; x  x  3x  x  x  4x  ( a  b) x  ( 2a  b)   víi mäi x  1; x  ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( 0,25 ®iĨm )  4x – = ( a + b )x – ( 2a + b ) víi mäi x  1; x  a  b   2 a  b  ( 0,75 ®iĨm ) + Tõ ®ã tÝnh ®­ỵc a = 3; b = ( 0,25 điểm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Bài 3: ®iĨm + Ta cã y2 + yz + z2 =     3x 2 2y2 + 2yz + 2z2 = – 3x2 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = ( ) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = ( x + y + z ) + ( x – y )2 + ( x – z ) = ( 1,0 ®iĨm ) DeThiMau.vn + Do ( x – y )2  0; ( x – z )2  nªn tõ ( * ) suy ( x + y + z )2  Hay -  x  y  z  ( 0,5 ®iĨm ) + DÊu “ = ” x¶y x – y = vµ x – z = hay x = y = z Thay vµo ( ) 9x2 = 2; x = 2 ;x=3 ( 0,25 điểm ) B = - Víi x = y = z = th× max B = + KL: Víi x = y = z = - ( 0,25 ®iĨm ) Bài 4: 3,5 điểm A B M N I K D E C G Câu 1: 0, 75 điểm + Tõ MN // AB // CD vµ MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE ( 0,25 ®iĨm ) ( 0,25 ®iĨm ) + Chỉ tam giác AMK vuông cân A để có AE KM + Tứ giác MNKE hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nên MNKE hình thoi ( 0,25 điểm ) Câu 2: 0, 75 điểm + Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 ( 0,25 điểm ) + Chứng minh hai tam giác AKE CKA đồng dạng, suy ĐPCM ( 0,5 điểm ) Câu 3: 1, điểm + Từ hai tam giác ABM ADK ta có MB = DK nên EK = MB + ED ( 0,25 ®iĨm ) + Tam giác AMK vuông cân A có MI = IK nên AI trung trực MK ME = EK ( 0,25 ®iĨm ) + Tõ ®ã ME = MB + ED, suy ME + CM + CE = 2a ( 0,25 ®iĨm ) + KL: ( 0,25 điểm ) Câu 4: 1, điểm + Tam giác AMK vuông cân A nên AM = AK; ®ã 1 1   = 2 AM AG AK AG DeThiMau.vn ( 0,25 điểm ) AK2 + Tam giác AKG vuông A nên AK AG = KG AD = dt AKG, ®ã AG2 = KG2 AD2 ( 0,25 điểm ) + Mặt khác lại cã KG2 = AK2 + AG2 vµ AD = a nªn ta cã AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay + KL: AK  AG 1 1  , suy =  2 2 AK AG a AK AG a ( 0,25 ®iĨm ) ( 0,25 ®iĨm ) Bài 5: điểm + Đặt vế trái đẳng thức cần chứng minh A + Từ abc = 2008 suy a; b; c kh¸c ( 0,25 điểm ) + phân thức thứ ta thay 2008 tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân tử mẫu phân thức thứ ba víi b ta cã: A= 2008 b bc bc  b  2008    1 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 ( 0,75 điểm ) Chú ý: Học sinh làm cách khác hợp lý cho điểm tối đa theo thang điểm quy định DeThiMau.vn ... thcs tây đô đáp án, biểu điểm môn toán kú kiĨm tra ®éi tun häc sinh giái líp năm học 2008 - 20 09 ( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng Ngày kiểm tra / / 2008 ) Bài 1: điểm; Mỗi câu điểm Câu 1:...  2008    1 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 ( 0,75 ®iĨm ) Chú ý: Học sinh làm cách khác hợp lý cho điểm tối ®a theo thang ®iĨm quy ®Þnh DeThiMau.vn ... -  x  y  z  ( 0,5 ®iĨm ) + DÊu “ = ” x¶y x – y = vµ x – z = hay x = y = z Thay vµo ( ) ®­ỵc 9x2 = 2; x = 2 ;x=3 ( 0,25 điểm ) B = - Víi x = y = z = th× max B = + KL: Víi x = y = z = - ( 0,25