SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: A = x 50 x + 50 x + x 50 với x 50 b) Cho x + = Tính giá trị biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Câu (2,0 điểm): 4x 3x a) Giải phương trình + =6 x 5x + x 7x + x + y + xy = 16 b) Giải hệ phương trình sau: x + y = 10 Câu (2,0 điểm): a) Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho a b chia hết cho b) Cho phương trình ax +bx+1 với a, b số hữu tỉ Tìm a, b biết x = 5 5+ nghiệm phương trình Câu (3,0 điểm): Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C (O không nằm đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (1,0 điểm): Cho A n = với n * (2n +1) 2n Chứng minh rằng: A1 + A + A + + A n < - HẾT -Họ tên thí sinh: ……………………………… … Số báo danh …………… Chữ kí giám thị ………………… Chữ kí giám thị ………………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐNLỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Lưu ý: Thí sinh làm theo khác cho điểm tối đa Điểm thi làm trịn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG Ta có : A2 = x + x - 50 - x + 50 = 2x - x - 50 x - 50 A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50 a) 1,0 điểm Câu 2,0 điểm A2 x - 50 x + A = x - x + 50 ĐIỂM 0,25 0,25 A = 100 Nhưng theo giả thiết ta thấy A = x - 50 - x + 50 0,25 x + x - 50 x ( x 2) b) 1,0 điểm Câu 2,0 điểm a) 1.0 điểm x2 x B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 Nhận xét x = không nghiệm phương trình Với x , phương trình cho tương đương với: + =6 6 x 5+ x7+ x x Đặt t = x + phương trình trở thành x + =6 1 t 0; t 2 t+2 t 1 4t 3t 6t 12t 6t 5t Giải phương trình ta t1 3 ; t ( thỏa mãn ) 3 3 ta có x x 11x 12 x Giải phương trình ta x1 ; x ( thỏa mãn ) 2 Với t ta có x x 23 x 18 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với t1 DeThiMau.vn 0,25 23 313 23 313 ; x4 (thỏa mãn) 6 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm : x1 ; x ; 23 313 23 313 x3 ; x4 6 Giải phương trình ta x x + y + xy = 16 x + y = 10 Đặt S= b) 1,0 ®iĨm (I) ( x; y ) xy ( S 0;P ) hệ (I) có dạng x y ;P= S + 4P = 16 S - 2P = 10 0,25 ( II) S = Giải hệ ( II) đối chiếu điều kiện ta P = Khi x; y nghiệm phương trình t2 – 4t + =0 Giải phương trình ta t1 = 3; t2 = 0,25 0,25 x = x = ; y = y = Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5 a) 1.0 điểm a b 5 a b5 ( Vì số nguyên tố) a b a b a b a b 5 5 x = 5 x b) 1,0 ®iĨm 0,25 0.25 a 2ab b 5 Câu 2,0 điểm 0,25 5 5 0,25 0,25 0,25 5 15 0,25 5 nghiệm phương trình nên ta có 5 a 31 15 b 15 1 a 15 b 15 1 15(8a b) 31a 4b Vì a, b Q nên (8a b), (31a 4b 1) Q Do 8a b 15 31a 4b Q (Vơ lí) 8a b DeThiMau.vn 0,25 0,25đ 8a b a 31a 4b b 8 0,25 Suy M Q P A O D H B K I E C d N I trung điểm BC ( dây BC khơng qua O ) a) 1,0 ®iĨm Câu 3,0 điểm b) 1,0 ®iĨm c) 1,0 ®iĨm 900 OI BC OIA Ta có AMO 900 ( AM hai tiếp tuyến (O) ) ANO 900 ( AN hai tiếp tuyến (O) ) Suy điểm O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính OA AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà ∆OMN cân O nên OA MN CAN ∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( ANB=ACN= sđ NB AB AN chung ) suy = AB.AC=AN AN AC ∆ANO vng N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 Suy AB.AC = AH.AO chung ) ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( AHK=AIO=90 OAI AH AK = AI.AK=AH.AO AI AO AI.AK=AB.AC AB.AC AK= AI Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy AK cố định mà A cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB suy K cố định Ta có PMQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) Xét ∆MHE ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với DMP ), ME MH EMH=MQD ( phụ với MPO ) MQ DQ ∆PMH đồng dạng với ∆MQH DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 MP MH MH MQ HQ DQ MP ME MQ MQ ME = MP P trung điểm ME 0,25 0,25 0,25 2n A n (2n 1) 2n (2n 1) 2n 1 2n 1 2n 1 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 Vì nên A n 2n 2n 2n 2n 2n 1 (n *) 2n 2n 1 1 1 Do đó: A1 A2 A3 An 3 2n 2n 1 A1 A2 A3 An 1 2n A n Câu 1,0 điểm Hết DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0,25 ... GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐNLỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Lưu ý: Thí sinh làm theo khác cho điểm tối đa Điểm thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI... – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 Nhận xét x = không nghiệm phương... theo giả thi? ??t ta thấy A = x - 50 - x + 50 0,25 x + x - 50 x ( x 2) b) 1,0 điểm Câu 2,0 điểm a) 1.0 điểm x2 x B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x +