UBND TỉNH Thừa Thiên Huế Sở Giáo dục đào t¹o kú thi chän häc sinh giái tØnh líp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Đề thức Bài 1: (4,0 điểm) x x 4x x x x 14 x 28 x 16 T×m x ®Ĩ A cã nghÜa, tõ ®ã rót gän biĨu thøc A Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Cho biểu thức: A Bài 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x 2mx m m ( m lµ tham sè) Víi giá trị m phương trình đà cho cã hai nghiƯm x1 vµ x2 cho x1 x2 18 x2 x1 Víi gi¸ trị m phương trình đà cho có hai nghiƯm x1 vµ x2 cho x1 x2 Bài 3: (3,0 điểm) Cho bốn số thùc bÊt k× a, b, c, d Chøng minh: ab cd a c b d Dấu đẳng thức xảy ? Với giá trị gãc nhän th× biĨu thøc P 3sin cos có giá trị lớn ? Cho biết giá trị lớn Bài 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy ®iĨm D cho AD = AC Gäi M lµ trung điểm CD Hỏi M di chuyển đường ? Nêu cách dựng đường giới hạn Trong hình bên, cho biết M trung điểm AC đường thẳng AD, BM CE đồng qui K Hai tam giác AKE vµ BKE cã diƯn tÝch lµ 10 vµ 20 TÝnh diện tích tam giác ABC Bài 5: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Tớnh số ô nhỏ phải quét sơn bảng bảng chứa qt sơn vùng HÕt DeThiMau.vn UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán Đáp án thang điểm: Sở Giáo dục đào tạo Bi Nội dung Cõu Điểm (4 điểm) 1.1 Để A có nghĩa, trước hết x Đặt t x x (2 ®) t 1 t 4 t 1 t 1 t t 4t t A 2t 14t 28t 16 2t 2t 12t 28t 16 t 1 t t §Ĩ biĨu thøc A cã nghÜa th×: t 0, t 1, t 2, t x 0, x 1, x 4, x 16 (*) Khi ®ã, rót gọn ta được: t x A t 2 x 1.2 (2 ®) 1,0 0,5 0,5 t 2 t 1 t 2 t 2 2 t Để A số nguyên x nguyên t phải - NÕu t 1 t ( loại trái điều kiện (*)) - Nếu t 3 t 1 (lo¹i) - NÕu t t x vµ A - NÕu t t x 25 vµ A VËy: Để A nhận giá trị nguyên x vµ x 25 0,5 A 0,5 0,5 0,5 (4 điểm) 2.1 Để phương trình x 2mx m m cã hai nghiƯm th×: ' m m m m m 6 (1) 0,5 Víi ®iỊu kiƯn (1), x x x1 x2 18 vµ x x x1 x2 18 x x22 18 2 x2 x1 x1 x2 x1 x2 18 m2 m m 2; m 3 m2 m m2 m m 8m 48 m1 4; m2 12 (thỏa điều kiện (1) khác -2 khác 3) Với điều kiện (1), x1 x2 x12 x2 x1 x2 64 x1 x2 x1 x2 x1 x2 64 (2) 2.2 4m m m 0,5 0,5 0,5 0,5 m 6 + NÕu x1 vµ x2 cïng dÊu th× x1 x2 m m m m 3 6 m 2 hc m (3) 0,5 0,25 DeThiMau.vn Khi ®ã (2) x1 x2 64 4m 64 m 4 (thỏa điều kiện (3)) 0,25 + Nếu x1 x2 trái dấu x1 x2 m m m m 3 2 m (4) Khi ®ã (2) x1 x2 x1 x2 64 4m m m 64 m 16 m 10 (không thỏa điều kiện (4) + Vậy, để x1 x2 m 4 0,5 (3,0 ®iĨm) 3.1 Ta cã: ab cd a c b d ab cd a c b d a 2b c d 2abcd a 2b a d b c c d 2 2 ad bc ad bc ad bc : ®óng víi sè thùc a, b, c, d bÊt k× VËy: ab cd a áp dụng kết trªn, ta cã: P 3sin cos nªn P 3sin cos 32 c d a 0, b a b 0,5 sin cos Pmax 3cos sin 0,5 c b d , a, b, c, d R Dấu đẳng thức xảy ad bc hay 3.2 0,5 2 1,0 sin tg 600 cos 0,5 (6,0 ®iĨm) 4.1 + Ta có: Tam giác ACD cân A (gt) nên BAC ADC (Góc BAC góc tam giác ACD) + Gọi I trung ®iĨm cđa BC, ta cã MI //BD (®êng trung bình tam giác BCD), nên: 1 BDC IMC BAC BOC ( BOC 4 không đổi) +Do đó: M chạy cung tròn nhìn đoạn IC góc không đổi DeThiMau.vn 0,5 0,5 1,0 + Dựng tia OI cắt đường tròn (O) N, ta 1 BAC BDC IMC cã: NBC + Dùng tia In '// BN , dựng đường thẳng qua I vuông góc với In ' cắt trung trực đoạn IC O1 Đường tròn tâm O1 qua C đường cần dựng + Khi A chạy cung lớn BC tới trùng với A D trùng với D0 tiÕp tun Bt cđa (O) vµ BD0 = BC , M trùng với M0 trung điểm CD0 + VËy M chØ di chun trªn cung lín CM0 đường tròn (O1) 4.2 + Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có: S AKE AE h / AE AE S BKE BE h / BE BE S + Suy ra: ACE S BCE S ACE (1) S BCE S MA S AKM S CKM + T¬ng tù: AKM S CKM MB §Ỉt x S AKM S CKM , ta cã: S ABM SCBM 20 10 x x S BCK S BCK 30 15 (1) 20 S BCK 10 x 10 x 25 x Do ®ã: S ABC S AKB S BCK S AKC 10 20 30 x 75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (3,0 điểm) 5.1 Để n 18 n 41 hai số phương n 18 p vµ n 41 q p, q N p q n 18 n 41 59 p q p q 59 0,5 p q p 30 Nhng 59 số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 2 Tõ n 18 p 30 900 suy n 882 Thay vµo n 41 , ta 882 41 841 292 q VËy víi n 882 th× n 18 vµ n 41 lµ hai sè chÝnh ph¬ng 0,5 0,5 DeThiMau.vn 5.2 + Däc theo chiỊu ngang sát sát cạnh bảng có vùng ë vÞ trÝ A1 B1C1 D1 , A2 B2C2 D2 , A3 B3C3 D3 DÞch chun xng theo chiều dọc ô, ta có thêm vùng Dịch chuyển xuống theo chiều dọc ô nữa, ta có Do có vùng bảng , vùng thêm vùng chứa ô vuông 11 thuộc hình chữ thập đà tô màu + Nếu quét sơn hình vẽ bên vùng chứa ô 11 quét sơn Vậy: Để vùng bảng chứa ô 11 quét sơn, cần quét số ô nhỏ ô hình vẽ bên 0,75 DeThiMau.vn 0,75 ...UBND TØNH Thõa Thi? ?n HuÕ kú thi chän häc sinh giỏi tỉnh lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán Đáp án thang điểm: Sở Giáo dục đào tạo Bi Nội dung... 41 59 p q p q 59 0,5 p q p 30 Nhưng 59 số nguyên tè, nªn: p q 59 q 29 2 Tõ n 18 p 30 90 0 suy n 882 Thay vào n 41 , ta 882 41 841 292 ... IMC BAC BOC ( BOC 4 không đổi) +Do đó: M chạy cung tròn nhìn đoạn IC góc không ®æi DeThiMau.vn 0,5 0,5 1,0 + Dùng tia OI cắt đường tròn (O) N, ta BAC BDC IMC cã: NBC + Dùng