SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn Tốn Thời gian làm : 150 phút Ngày thi: 17 / 03 / 2011 Bài Cho phương trình: x 1 (m 1)(x ) m x x a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài a) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a 3 Chứng minh a b c chia hết cho 3 b) Giải phương trình: x ax bx , biết a, b số hữu tỉ nghiệm phương trình Bài Cho x, y số nguyên dương, thỏa mãn: x y 2011 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x(x y) y(y x) Bài Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tai E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB F a) Chứng minh tam giác MNE tam giác NFM đồng dạng b) Gọi K giao điểm EN FM Hãy xác định vị trí dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn: abc Chứng minh : a3 b3 c3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) _ Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 LỜI GIẢI MƠN TỐN LỚP (Lời giải gồm 02 trang) Đáp án Bài 1 (m 1)(x ) m (1) Đk: x x x 1 1 Khi m = 2: (1) trở thành x 3(x ) (x )3 x x x x x 1 x2 x 1 x (thoả mãn) 1 b) Đặt x t (2), ta có : x t 3t x x Khi (1) trở thành : t (m 2)t m (t 1)(t t m 3) (3) t g(t) t t m (4) Từ (2) ta x tx , với giá trị tùy ý t, phương trình ln có nghiệm dương (nghiệm cịn lại âm), mà (3) có nghiệm t = 1, nên để (1) có nghiệm dương phân biệt điều kiện cần đủ : Phương trình (4) có nghiệm kép t có nghiệm phân biệt, có nghiệm t = Điều tương đương với : 11 4m 11 11 m ; ; ; m (cả giá trị thoả mãn) m b g(1) 2a m 11 Vậy cácgiá trị m cần tìm m ; m 1 1 1 1 a) Từ giả thiết ( ) 2( ) a b c a b c a b c ab bc ca 3 3 a b c a b 3ab(a b) c a b3 c3 3abc (*) a) x Bài Từ (*) dễ thấy a, b, c Z (a b3 c3 ) , đpcm b) x ax bx (1) Bài Do x nghiệm (1) nên: (1 2)3 a(1+ 2) b(1 2) Biến đổi rút gọn, ta được: (3a b 8) (2a b 5) (2) 3a b a 3 Do a, b số hữu tỷ nên (2) xảy 2a b b Thay giá trị a, b vào (1), ta có: x - 3x x (x 1)(x 2x 1) Bài x 1; x 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x 1; x 1 Có thể giả sử: x > y, suy ra: 1006 x 2010 (1) Đặt 2011 = a Khi đó: P = (x y3 ) 2xy (x y)3 3xy(x y) 2xy a 3x(a x)a 2x(a x) 1 P = (3a 2)x (3a 2a)x a (3a 2)(x ax) a (3a 2)[(x a) a ] a 1 P (3a 2)(x a) [a a (3a 2)] (2) ThuVienDeThi.com 1 Vì 3a - >0, x a (do (1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2, X x a ) đồng biến 2 X > 0, suy P hàm số đồng biến Suy ra: Giá trị lớn P đạt x = 2010 (y =1) max P = 120 605 021 Giá trị nhỏ P đạt x = 1006 (y = 1005) P = 035 205 401 a) Từ giả thiết suy ra: M MEO NOF (đồng vị) MOE NFO (đồng vị) nên EMO ~ ONF N K ME OM ME.NF=OM.ON ON NF ME MN (1) ME.NF=MN NM NF E Bài A O F B Ta có EMN 120 (cùng bù với MNO 60o ME//ON) Tương tự FNM 1200 nên EMN FNM (2) Từ (1), (2) ta MNE ~ NFM b) Ta có : I MKN MEK EMK KMN EMK = EMN 1200 nên K thuộc cung chứa góc 1200 dựng đoạn MN K Trên tia MK, lấy điểm I cho 120 KI = KN tam giác IKN tam giác nên MK + KN = MI M N Do I thuộc cung chứa góc 600 đường tròn qua điểm M, N, I nên MI lớn (tức chu vi tam giác MKN lớn nhất, cạnh MN = R khơng đổi) MI đường kính, K trung điểm cung MN nên MNK 300 MEN 300 E A MN / /AB vị trí cần xác định dây MN Gọi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh P, ta cần chứng minh P (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có: Bài a3 1 b 1 c a (1 b)(1 c) 33 (1 b)(1 c) 8 64(1 b)(1 c) a3 1 b 1 c a (2) (1 b)(1 c) 8 b3 1 c 1 a c3 1 a 1 b b (3) , c (4) (1 c)(1 a) 8 (1 a)(1 b) 8 Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô si, ta được: 3 P (a b c) 3 abc P , đpcm (Dấu “=” xảy a b c ) 2 4 Tương tự, ta có: Hết _ ThuVienDeThi.com ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 LỜI GIẢI MƠN TỐN LỚP (Lời giải gồm 02 trang) Đáp án Bài 1 (m 1)(x ) ... Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x 1; x 1 Có thể giả sử: x > y, suy ra: 1006 x 2010 (1) Đặt 2011 = a Khi đó: P = (x y3 ) 2xy (x y)3 3xy(x y) 2xy a 3x(a x)a 2x(a... 2)] (2) ThuVienDeThi.com 1 Vì 3a - >0, x a (do (1)) nên hàm số y = mX2 (với m = 3a - 2, X x a ) đồng biến 2 X > 0, suy P hàm số đồng biến Suy ra: Giá trị lớn P đạt x = 2010 (y =1) max