ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2012 - 2013 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM 2012 - 2013 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

/var/www/html/tailieu/data_temp/document/brx1377673963-44746- 13776739633019/brx1377673963.doc SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 8 3x 5 25x y y− − = 2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= .4 3 7 n n n + M Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1 + − − − − 2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn . 2 2 2 xx yz y z z xy a b c − − − = = Chứng minh rằng 2 2 2 a bc b ca c ab x y z − − − = = Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: 2 6x 0x m− − = (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn 2 2 1 2 12x x− = 2) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 8x 27 18 4x 6x y y y y  + =   + =   Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB. a) CMR: 2 2 2 2 DHA HB HC H+ + + không đổi. b) CMR : RSPQ là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: DABC S ≤ 4 MN NP PQ QM AC + + + Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 3 2 3 2a 3 2 6 ab bc ca a b c a b c b c c a b + + + + ≤ + + + + + + ---Hêt— Hướng dẫn Câu1.1) 2 8 3x 5 25x y y− − = Z x xy x x yxxy ∈ + −−=⇔ + − =⇔−=+⇔ 53 25 40249 53 258 258)53( 2 2 Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được { } )5;0();7;2();31;10();( −−−−−∈ yx ( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích) 1.2) Với n chẵn n=2k thì ( ) Nmmtn t kkkkA kkkkk ∈+=−=⇒ − =⇒+⇒−++=+= 614114 2 17 7127)916(4).12(34.2 222 MM Với n lẻ n=2k+1 ( ) NmmntkkkkA kkkkk ∈+=⇒=⇒⇒++=++= +++++ 1147727)34(4.234).12( 1212121212 MM Vậy 614 += mn hoặc 114 += mn ( với mọi n )N ∈ thì A chia hết cho 7 Câu2.1) 2 10 30 2 2 6 2 : 2 10 2 2 3 1 + − − − − = 2 1 2 13 . 2 13 2 13 . 4 324 2 13 . 2 32 2 13 . )15(22 )15(6)15(22 = −+ = −+ = −+ = − − −+− 2.2) 2 2 2 xx yz y z z xy a b c − − − = = )3( )3(2 : )2( )3(2 : )1( )3(2 333 2 233222224 2 333 2 233222224 2 333 2 233222224 2 222 xyzzyxz abc xyzzyzxyx ab yxxyzZ c Tuongtu xyzzyxy acb zxyyzyxzx ac zxxzyy b Tuongtu xyzzyxx bca yzxxzxyzy bc zyyzxx a xyz c xzy b yzx a −++ − = +−− = +− −++ − = +−− = +− −++ − = +−− = +− ⇔ − = − = − ⇔ Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm 90 / −≥⇔≥∆ m (*) Mặt khác ta phải có 8 2 . 4 2 . 6 12 . 6 2 21 1 21 21 21 2 2 2 1 21 21 −=⇔      = −= = ⇔      =− −= =+ ⇔      =− −= =+ m x mxx x xx mxx xx xx mxx xx TM ĐK (*) 3.2)Giải hệ phương trình      =+ =+ 22 333 64 18278 yxyx yyx HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y 3 PT(2) cho y 2 Ta có hệ        =+ =+ 164 18 27 8 2 2 3 3 y x y x y x Đặt      = = b y ax 3 2 ta có hệ    = =+ ⇔      =+ =+ 1 3 3 18 22 33 ab ba abba ba Hệ có 2 nghiệm                   − +         + − ∈ 53 6 ; 4 53 ; 53 6 ; 4 53 ),( yx Câu 4.1) O H R S P Q D C B A a) theo Pitago ;;;; 222222222222 ADHDHACDHDHCBCHBHCABHBHA =+=+=+=+ suy ra đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp DBCHBSHPS ∠=∠=∠⇒ Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật CBDCADHAQHPQ ∠=∠=∠=∠⇒ Do đó CBCHPQHPSSPQ ∠=∠+∠=∠ 2 Tương tự BDCSQR ∠=∠ 2 Do đó 00 180180 =∠+∠⇔=∠+∠ SRQSPQBDCDBC nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo) 4.2) L K P Q I C N D M A B Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam giác vuông ta có ACAIIKCLKLQMPQNPMN 2)(2 ≥+++=+++ từ đó suy ra đpcm Cách 2 Ta có theo Pitago 2 2 )( 2 222 BNBM MN BNBM BMBNMN + ≥⇔ + ≥+= ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky Tương Tự 2 ; 2 ; 2 AMAQ MQ DQDP PQ NPCN NP + ≥ + ≥ + ≥ Nên ( ) dpcmaQMPQNPMN a a aAMQADQPDCPNCNBBM QMPQNPMN ⇔=+++ == +++++++ ≥+++ 2 4 2 22 2 4 2 Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật Câu 5 Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng: 6233223 cba cba ca cba bc cba ab ++ ≤ ++ + ++ + ++ Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b Tacó áp dụng BĐT         ++≤ ++ ⇔≥         ++++ zyxzyxzyx zyx 111 9 11 9 111 )( 1 1 1 1 (1) 3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 ab ab ab ab ab a a b c a c b c b a c b c b a c b c     = ≤ + + = + +  ÷  ÷ + + + + + + + + + +     Tương tự 1 1 1 1 (2) 2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 1 1 1 1 (2) 3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2 bc bc bc bc bc b a b c a b a c c a c b c b a b b c ac ac ac ac ac c a b c a b b c a a b b c a a b b c     = ≤ + + = + +  ÷  ÷ + + + + + + + + + +         = ≤ + + = + +  ÷  ÷ + + + + + + + + + +     Từ (1) (2) (3) 629 1 cbacba ca abbc cb acab ba bcac P ++ =       ++ + + + + + + + + + ≤ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ . 7127)916(4).12(34.2 222 MM Với n lẻ n=2k+1 ( ) NmmntkkkkA kkkkk ∈+=⇒=⇒⇒++=++= +++++ 1147727)34(4.234).12( 1212121212 MM Vậy 614 += mn hoặc 114 += mn ( với m i n )N ∈. dpcmaQMPQNPMN a a aAMQADQPDCPNCNBBM QMPQNPMN ⇔=+++ == +++++++ ≥+++ 2 4 2 22 2 4 2 Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật Câu 5 Cho a,b c>0 .Chứng minh