Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 2011 môn thi: Toán Bảng B43465

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n  n  khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n  17 số phương Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x  4x+5 = 2x+3 2x+y = x b) Giải hệ phương trình:  2y+x = y Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  4x+3 x2  Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K (O) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vuông góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TOÁN - Bảng B Nội dung Câu: *) Nếu n3  n  n3 nên n  n   (1) a, *) Nếu n   n  23 (2,5)  n  n   (2) Từ (1) (2)  n  Z n  n   Đặt m  n  17 (m  N)  m  n  17  (m  n)(m  n)  17  1.17 =17.1 b, Do m + n > m - n (2,5) m  n  17 m    m  n  n  Vậy với n = ta có n  17  64  17  81  92 Giải phương trình x  4x+5=2 2x+3 (1) 2 (1)  x  4x+5-2 2x+3  Điều kiện: 2x+3   x  -  x  2x+1+2x+3-2 2x+3   a, (2.5)  (x  1)2  ( 2x+3  1)2  x     2x+3   x  1  2x+3=1  x  1 thỏa mãn điều kiện Giải hệ phương trình b, (2.5) 2x+y=x  2y+x=y (1) (2) Trừ vế phương trình ta có: x  y  x  y  (x  y)(x  y  1)  DeThiMau.vn x  y x  y   x  y   x   y Ta có: x  y x  y  x(x  3)  x  x = *)  Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) x   y x   y x   y (*)     2 2x+y = x 2y y (1 y) y y           Vì phương trình y  y   vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm *)  Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 4x+3 x2  4x+3 x  4x+4 Ta có: A   1  x 1 x2  (x  2)2 A  1   1 x 1 Dấu "=" xảy  x    x  2 Vậy A  1 x = -2 Tìmgiá trị nhỏ A  a, (2,5) A E H F B O I C K S Gọi I giao điểm AH BC  AI  BC Ta có: BHI BCE (g, g) BH BI   BH.BE  BC.BI (1) BC BE Ta có: CHI  S  CBF (g, g) CH CI   CH.CF  BC.CI (2) CB CF Từ (1) (2) suy BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 ฀ ฀ b, Gọi K điểm đối xứng H qua BC suy HCB  KCB (2,0) ฀  HCI ฀ Mà FAI (do tứ giác AFIC nội tiếp) DeThiMau.vn ฀  BCK ฀ ฀ ฀  FAI hay BAK  BCK  tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O)  K  (O) ฀ ฀  900 + Khi BAC  900  BIC  F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính  EF qua điểm O cố định B F O K I A E C ฀ ฀ > 900 + Khi BAC < 900  BIC Gọi K điểm đối xứng I qua EF ฀  EAF ฀ ฀ )  EIF (cùng bù BIC ฀  EIF ฀ (Do I K đối xứng qua EF) EKF ฀  EAF ฀  EKF  AKFE nội tiếp ฀ ฀ ฀ ) (1)  KAB  KEF (cung chắn KF ฀  KEF ฀ IEF (Do K I đối xứng qua EF) (2) ฀  BIK ฀ ฀ ) (3) IEF (cùng phụ KIE ฀ ฀ Từ (1), (2), (3)  KAB  BIK  AKBI tứ giác nội tiếp  K  (O) Mà EF đường trung trực KI  E, O, F thẳng hàng ฀ ฀ < 900 chứng minh tương tự + Khi BAC > 900  BIC Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định - - - Hết - - - DeThiMau.vn ...SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN - Bảng B Nội dung Câu: *) Nếu n3... ฀ Mà FAI (do tứ giác AFIC nội tiếp) DeThiMau.vn ฀  BCK ฀ ฀ ฀  FAI hay BAK  BCK  tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O)  K  (O) ฀ ฀  90 0 + Khi BAC  90 0  BIC  F trùng với B, E trùng với... đường trung trực KI  E, O, F thẳng hàng ฀ ฀ < 90 0 chứng minh tương tự + Khi BAC > 90 0  BIC Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định - - - Hết - - - DeThiMau.vn