Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 2009 huyện Can Lộc Môn: Toán lớp 842098

Phòng GD- ĐT Can Lộc Bài Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A  Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm 120 phút x5  x x3  x  x c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab 3a  b Tính giá trị biểu thức: P = 2a  b b) Cho a, b, c Độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: 2 x 1 x x a) 1   2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm tam giác cho ฀ABP  ฀ACP , kẻ PH  AB, PK  AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB, AD Tại M K, cắt đường chéo AC Tại G Chứng minh rằng: AB AD AC   AM AK AG UBND Thành phố Huế Phòng giáo dục & đào tạo Kì thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  x  2008 x  2007 x  2008 Bài 2: (2Điểm) Giải phương trình: x  x   x   2 1   1     x     x     x    x    x   x x  x  x    Bài 3: (2 điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64   Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? ThuVienDeThi.com Tìm số dư phép chia biểu thức x  x  x  x  8  2008 cho đa thức x  10 x  21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC > AB), đường cao AH (H  BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính Độ dài Đoạn BE theo m  AB Gọi M trung điểm Đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM GB HD  Tia AM cắt BC Tại G Chứng minh: BC AH  HC HếT Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 (Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): Cho biểu thức  4xy  1  A :  2  2  y x y x y  xy  x  a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nêu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009  y 2009  z 2009  32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n  N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E ฀ ฀  ECB a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ฀ b) Cho BMC  1200 S AED  36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH  BC H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y   (với x y dấu) y x ThuVienDeThi.com b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x y   3    y x  y x 2 (với x  0, y  ) Đề khao sát chất lượng học sinh giỏi Bài 1: (4 điểm) abc0 , Tính A  a  b  c 2 a  b  c  2009  1, Cho ba số a, b, c thỏa m·n  2, Cho ba số x, y, z thỏa m·n x  y  z  Tìm giá trị lớn B  xy  yz  zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f x   x  px  q với p  Z, q  Z Chứng minh tồn số nguyên để f k   f 2008 .f 2009  Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thỏa m·n 3xy  x  15y  44    2, Cho số tự nhiên a  2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình 2x  m x    , Tìm m để phương trình có nghiệm dương x2 x2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt Tại O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , Tính ฀EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB lượt lấy điểm E F cho ฀EAD  ฀FAD Chứng minh rằng:  CE CF AC Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích HếT ThuVienDeThi.com Mơn Tốn (150 phút Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n  3n  2n  6n  b) B= có giá trị số nguyên n2  c) D=n5-n+2 số phương (n  2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a b c    biết abc=1 a) ab  a  bc  b  ac  c  b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c)      b a c b c a Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: x  214 x  132 x  54 a)   6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1   b) Chứng minh : AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơI diện tích tam giác DEF Mơn : Tốn ( 120 phút Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 Tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu thức sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị biến cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh Nêu tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  x  8x  Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, BAC  CAD Tính AD Nêu chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ThuVienDeThi.com a3m+2a2m+am a) b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x  2x     C=   : 1    x 1 x  x  x 1  x 1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC>AB) , đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM Hết Bài Nội dung 1.1 abc0 , Tính A  a  b  c 2 a  b  c  2009  điểm 2,00 Cho ba số a, b, c thỏa mãn  Ta có a  b  c2  a  b  c   ab  bc  ca   2 ab  bc  ca  0,50  a  b  c2  2009 a b  b c  c a  ab  bc  ca   2abc a  b  c        2009 A  a  b  c  a  b  c2   a b  b c2  c2 a   Cho ba số x, y, z thỏa m·n x  y  z  Tìm giá trị lớn B  xy  yz  zx 1.2 2 2 2 0,50 1,00 2,00 B  xy  z x  y   xy  3  x  y  x  y   xy  x  y   x  y   x  y  xy  3x  3y y   3y  6y  y   3     x    x      y  1        y 1   y 3  Dấu = xảy x    x  y  z 1   x  y  z  2 1,25 0,50 Vậy giá trị lớn B x = y = z = 0,25 Cho đa thức f x   x  px  q với p  Z, q  Z Chứng minh tồn số nguyên để 2,00 f k   f 2008 .f 2009  ThuVienDeThi.com f  f x   x    f x   x   p f x   x  q  f x   2.x.f x   x  p.f x   p.x  q  f x  f x   2x  p   x  px  q   f x  x  px  q  2x  p  1  f x x  1  p x  1  q   f x f x  1   Với x = 2008 chọn k  f 2008   2008  ฀ 1,25 0,50 Suy f k   f 2008 .f 2009  3.1 0,25 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn 3xy  x  15y  44  2,00  3xy  x  15y  44   x  3y  1  49 0,75  x, y nguyên dương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 0,50 Thỏa mãn yêu cầu Bài Toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: x5  x    3y   y  0,75 Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 3.2   Cho số tự nhiên a  2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d 2,00 tổng chữ số c Tính d a  2  2009  23  3.2009  23  6027  10 6027  b  9.6027  54243  c   4.9  41  d   1.9  13 1 23  1mod  a  1mod mà a  b  c  d mod  d  1mod 1,00 2  0,75 Từ (1) (2) suy d = 0,25 2x  m x    , Tìm m để phương trình có nghiệm dương x2 x2 Điều kiện: x  2;x  2 2x  m x      x 1  m   2m  14 x2 x2 3,00 Cho phương trình 0,25 0,75 m = 1phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm 0,25 m  phương trình trở thành x  0,50 2m  14 1 m  2m  14  1 m    m4  2m  14  2   Phương trình có nghiệm dương   1  m   1 m  2m  14  1 m   ThuVienDeThi.com 1,00  m4 1  m  Vậy thỏa m·n yêu cầu Bài Tốnkhi  0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, 3,00 đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , Tính ฀EOF  AEB đồng dạng CBF (g-g) E  AB  AE.CF  AC  AE.CF AE AC   AC CF  AEC đồng dạng CAF (c-g-c)  AEC đồng dạng CAF ฀ ฀  AEC  CAF mà ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ EOF  AEC  EAO  ACF  EAO ฀  180  DAC  120 A O B D C 1,00 1,00 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lần 3,00 BE BF AB ฀ ฀ lượt lấy điểm E F cho EAD  FAD Chứng minh rằng:  CE CF AC Kẻ EH  AB Tại H, FK  AC Tại K A ฀ ฀ ฀ ฀  BAE  CAF; BAF  CAE K B AE EH  AF FK S ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB      S ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB Tương tự  CE AE.AC BE BF AB   (đpcm) CE CF AC  HAE đồng dạng KAF (g-g)  H E D F C Trên bảng có số tự nhiên Từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số Tính chấtt chẳn lẻ tổng số có bảng không đổi Mà S      2008  2008 2008  1  1004.2009  mod ;  1mod bảng khơng thể cịn lại số ThuVienDeThi.com 1,00 1,00 2Bài 1 Nội dung Câu 1.1 điểm 2,0 (0,75 điểm) x  x   x  x  x   x x  1  x  1 0.5  x  1x   1.2 (1,25 điểm) x  2008 x  2007 x  2008  x  x  2007 x  2007 x  2007   x  x   2007 x  x  1 x  1  x  2007 x  x  1 2 2 2 2 0,25 2,0 x  x   x   (1) + Nêu x  : (1) s (thỏa m·n điều kiện x  ) + Nêu x  : (1)  x  x    x  x  x  1   x  1x  3   x  1; x  (cả hai không bÐ 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x  2.2 0,25 2s 2.1 0,25  x  x  1x  x  1 2007 x  x  1 x  x  1x  x  2008  0,5 2 0,5 0,5 1   1     x     x     x    x    x   (2) x x  x  x    Điều kiện để phương trình có nghiệm: x  2 1 1        (2)   x     x    x     x     x   x x   x   x     0,25 1  2     x     x    x    x    16 x x     x  hay x  8 x  Vậy phương trình đ· cho có nghiệm x  8 Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x   y; y  (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y =  2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ThuVienDeThi.com  2x(x + y) + (x – + 2(x – y) + =  A + (x – y + =  A = – (x – y + 1)2  (do (x – y + 1)  (với x ; y)  A  (0,5đ)  x  y   x    + A = 2x x  y     y   x   y;y    2 (x  y  1)   + A = 2x x  y   Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng hạn:  x   y;y  y)2 1)2  1 x    y    + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 x  11 x  22 x  33 x  44 1)  ( (  1)  (  1)  (  1) 115 104 93 82 a)  x  126 x  126 x  126 x  126    115 104 93 82 x  126 x  126 x  126 x  126     0 115 104 93 82 (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm)   x  126   x  126 b) x2 + y2 + z2 (0,5 điểm) = xy + yz + zx  2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx =  (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 điểm) x  y    y  z  z  x   xyz  x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010  z2009 = 32009  z =3 Vậy x = y = z = Bài (3 điểm) (0,5 điểm) ThuVienDeThi.com 10 Cần Chứng minh: – n  10 - Chứng minh : n - n  n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n  n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia HếT cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n  2.5 tức n – n  10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) n5 Bài 4: điểm E D A M Q B C P I H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với (1 điểm)  ECA (gg) EB ED   EA.EB  ED.EC EC EA ฀ ฀  ECB * Chứng minh EAD (1 điểm) - Từ suy - Chứng minh - Suy 0,5 điểm 0,5 điểm  EAD đồng dạng với  ECB (cgc) ฀ ฀ EAD  ECB 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ ฀ BMC AMB = 60o  ฀ABM = 30o = 120o  ฀ - XÐt 0,5 điểm ฀ = 30o  EDB vng Tại D có B  ED = - Lý luận cho ED  EB  EB S EAD  ED    S ECB  EB  0,5 điểm Từ  SECB = 144 cm2 0,5 điểm ThuVienDeThi.com 11 Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh  BMI đồng dạng với  BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu d: điểm - Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (gg)  0,5 điểm BH BD BP BD BP BD      DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (cgc) ฀ ฀   BDP  DCQ   CQ  PD o ฀ ฀ ma`BDP  PDC  90  điểm Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, x y  2 y x (*)  x  y  2xy  (x  y)2  (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) x y  t y x x2 y2    t2  y x b) Đặt (0,25đ) Biểu thức cho trà thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t   t –  ; t – >  t  t  1   P  Đẳng thức xảy t =  x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu x  y   t <  t – < t – < x y  t  t  1 >  P > (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x  ; y  ln có P  Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 đáp án , biểu điểm, hướng dẫn chấm Mơn Tốn8 Nội dung Bài (3 điểm)  1  1  Có =  a    a   a2  a    a2  a    2  2  Khi cho a giá trị Từ đến 30 thì: Tử thức viết thành 1 1 1 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ )…….(292+29+ )(292-29+ ) 2 2 2 điểm 1,0 a4+ ThuVienDeThi.com 0,5 12 Mẫu thức viết thành 1 1 1 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ )……(302+30+ )(302-30+ ) 2 2 2 1 Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ =………….=k2+k+ 2 12    Nên A= 1861 302  30  Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý tưởng tách, thêm bớt thể để sử dụng bước sau -Viết dạng bình phương hiệu - Viết bình phương hiệu - lập luận kết luận ý b: điểm Phân tÝch tử thức thành nhân Tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b ≤ b ≥ ta có 2a ≤ hay a ≤ Do A=a2 - 2a - b ≤ Nên giá trị lớn A a=2và b=0 * Từ 2a + 3b ≤ suy b ≤ - a 2 22 22 Do A ≥ a2 – 2a – + a = ( a  )2 ≥3 9 22 2 Vậy A có giá trị nhỏ a = b = 3 Bài : điểm - Chọn ốn đạt điều kiện 0,5 - Biểu thị đại lượng theo ốn số liệu đ· biết(4 đại lượng) - lập phương trình - Giải phương trình - đối chiếu trả lời thời gian ô tơ - lập luận , Tính trả lời thời gian tơ cịn lại Bài : điểm ý a : điểm 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 Phòng giáo dục đào tạo kim bảng Đề thức 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 Mơn Tốn lớp Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức ThuVienDeThi.com 13      1 1+         29     4 4  A=       1  +         30     4 4   Bài (4 điểm) a/Với mäi số a, b, c không đång thời nhau, h·y Chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc  b/ Cho a + b + c = 2009 Chứng minh a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b + c - ab - ac - bc Bài (4 điểm) Cho a  0, b  ; a b thảo m·n 2a + 3b  2a + b  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a2 – 2a – b Bài (3 điểm) Giải Bài Tốnbằng cách lập phương trình vởn tốc ô tô thứ Sau chóng gổp Hái tơ qu·ng đường AB mờt bao lâu? Một tơ Từ A đến B Cïng lóc tơ thứ hai Từ B đến A vơÝ vởn tốc Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhän, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đường trung trực BC AC cắt Tại O Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chóng cắt Tại H a) Nối MN,  AHB đồng dạng với tam giác ? b) Gọi G träng tâm  ABC , Chứng minh  AHG đồng dạng với  MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ? ThuVienDeThi.com ... Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 (Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): Cho biểu thức  4xy... bảng Đề thức 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 Mơn Tốn lớp Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề Bài... x  8 Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x   y; y  (1 điểm) b) A = 2x(x+y)