Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Tính số trâu mỗi loại.. Hãy tính các góc của hình thang..[r]
(1)UBND huyện A Lưới KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC 2008 - 2009 Phòng GD & ĐT A Lưới Môn: TOÁN - Lớp Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1: ( điểm ) Tìm các giá trị x để biểu thức sau đây có nghĩa: - x + 6x + x2 Câu 2: ( điểm ) Cho biểu thức: A = [( x + y ) x + 1 ]: + + x y y x3 + y x + x y + x3y + y3 xy a Tìm điều kiện để A xác định b Rút gọn A c Cho xy = Xác định x, y để A có giá trị nhỏ Câu 3: ( điểm ) Giải phương trình: x + + x -1 + x + - x -1 = Câu 4: ( điểm ) Giải bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Tính số trâu loại Câu 5: ( điểm ) Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có MD = MC (M € DC); MBC = CAB và AB = BD Hãy tính các góc hình thang Câu 6: ( điểm ) Chứng minh x = sin α (0 < α < 900) thì: x2 1- x2 = - cos α cos α …………………………………………Hết……………………………………………… Cán coi thi không giải thích gì thêm Lop7.net (2) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: - 7x2 + 6x + ⇒ (1) và x ⇒ (2) Để giải (1) ta có: - 7x2 + 6x + = -(x - 1)(7x + 1) Ta có bảng xét dấu: x x-1 7x + - (x - 1)(7x + 1) - 7x2 +6x + Câu 1 - 0,25 0,25 0 + + + + - + - + - 0,25 - 7x2 +6x + ⇒ ⇒ - ⇒ x ⇒ , kết hợp với (2) ta có: Như 0,25 - ⇒ x < và < x ⇒ a x > 0; y > b * ( *( x x + + y 0,25 ) x+ y = xy 1 xy 1 x + xy + y + + = = ) + + = x y xy x y xy y x+ y x y + xy Câu = x (x + y ) + y (x + y ) Vậy A = ( xy xy x + y x + x y + y3 * = xy (x + y ) x+ y xy ) : = = x+ y xy x+ y 0,25 x xy + y xy = ( x+ y xy ) x+ y 0,25 xy xy x+ y = x+ y xy c Vì xy = 16 ⇒ xy = ⇒ x y = Hai số dương x , y có tích x y = không đổi nên tổng x + y Có giá trị nhỏ x = y = ⇒ A = Câu ) 0,25 x x+y x+x y+y y (x + y)( x + y ) = xy (x + y ) xy ( 0,25 2+2 =1 Ta viết x + + x - = x - + x - + Với nhận xét ( x - )2 = x - Ta có: x - + x - + = ( x - )2 + 2.2 x - + 22 ⇒ x + + x - = ( x - + 2)2 Tương tự ta có: x + - x - = ( x - - 3)2 Phương trình trở thành: Lop7.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (3) ( x -1 + ) ⇒ x -1 + + ( + ) x -1 - = 5, x ≥ x - - = 5, x ≥ - Với x - - ≥ ⇒ x - ≥ ⇒ x ≥ 10 Phương trình trở thành: x - + + x - - = ⇒ x - = ⇒ x = 10 (1) - Với x - - < ⇒ x - < ⇒ x < 10 Phương trình trở thàmh: x - + - x - + = ⇒ Đẳng thức này nghiệm với x ⇒ (2) Từ (1) và (2) và điều kiện x ⇒ ta có nghiệm cuủa phương trình đã cho là ⇒ x ⇒ 10 Gọi x, y, z theo thứ tự là số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già với điều kiện ⇒ x; y; z ⇒ 100 và x, y,z ⇒ Z, ta có hệ: { 5.x + 3y + z = 100 x + y +z = 100 Câu ⇒ { 15x + 9y + z = 300 (1) x + y + z = 100 (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta phương trình 14x + 8y = 200 ⇒ 7x + 4y = 100 (3) Đặt x = 4t ta tính y = 25 - 7t; t ⇒ Z Đem các giá trị x, y theo t vào phương trình (2) ta tính z = 3t + 75 Rõ ràng cho t giá trị nguyên thì x, y và z nhận giá trị nguyên và thỏa mãn hệ đã cho Vậy nghiệm nguyên hệ đã cho là: x = 4t y = 25 - 7t; t⇒ Z z = 3t +75 { 0,25 0,25 ≤ t ≤ 25 Ta xét điều kiện: { ≤ 4t ≤ 100 ≤ 25 - 7t ≤ 100 ≤ 3t + 75 ≤ 100 Kết hợp các điều kiện này ta có: 0≤ t ≤ Từ đó ta có kết quả: Lop7.net ⇒ { - 75 25 ≤t≤ 7 -25 ≤ t ≤ 25 ⇒ t = 0; 1; 2; 0,25 25 0,25 (4) t x y z 0 25 75 18 78 11 81 12 84 0,25 Vậy ta có đáp số: Đáp số (I) Loại Trâu đứng Trâu nằm Trâu già 25 75 (II) (III) (IV) 18 78 11 81 12 84 M D 0,25 C K A I Câu H Gọi K là trung điểm AD , vì AB = BD nên BK B AD K 0,25 ⇒ ⇒ DAB = CBA ( ABCD là hình thang cân) mà CAB = CBM ⇒ MBA = DAC ; mà KM // AC nên DKM = DAC (đồng vị) ⇒ DKM = MBA Ta lại có: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 0,25 ⇒ 0,25 ⇒ ABMK nội tiếp ⇒ ⇒ AKB = ⇒ AMB = 900 ⇒ ⇒ MBA = 450 (1) ABCD là hình thang cân có MC = MD ⇒ MA = MB ABM vuông cân M Kẻ MI AB ⇒ MI = 1 AB = AC, lại kẻ CH 2 Lop7.net AB 0,25 (5) ⇒ CH = MI = ACH vuông H có CH = ⇒ AC nên là nửa tam giác cạnh AC ⇒ CAB CBM = 300 (2) Từ (1) và (2) ⇒ CBA = DAB = 750 Vậy ADC = BCD = 1050 ⇒ = 0,25 AC ⇒ ⇒ Ta có Câu ⇒ 0,25 ⇒ x2 = sin α = sin α 1- x2 - sin α cos α sin α - cos α = = ( vì < α < 900 nên cos α > 0) cos α cos α = 0,25 - cos α (đpcm) cos α 0,25 0,5 0,25 0,25 Lop7.net (6)