Đề thi HSG cấp TP Quy Nhơn Năm học: 20152016 môn thi: Toán 942094

N m h c: 2015-2016 Ngày thi: 01/12/2015 MÔN THI: TOÁN Bài 1: (3đ) Cho A 1  2  3   120  121 ; B  1    35 CMR A=10 B>A Bài 2: (5đ) a) Gi i pt: x2+4x+5=2 x  b) Tìm nghi m nguyên c a pt: 2x2+4x=19-3y2 Bài 3: (5đ) a) CMR n u ba s a,a+k,a+2k đ u s nguyên t l n h n k b) Cho a, b, c s th c d ng cho a  c, b  c CMR: Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vng t i A có AB= AC, đ c  a  c   c  b  c   ab ng phân giác BD c t đ ng phân giác CE I G i M trung m c a BC CMR: a) CD=CM b) BIM  900 Bài 5: (4đ) Cho đ ng tròn (O) m A bên (O) T A k ti p n AB, AC v i (O) (B,C ti p m ) L y m M cung nh BC g i D,E,F theo th t hình chi u vng góc c a M BC, CA,AB G i P giao m MB v i DF , Q giao m MC v i DE CMR: a) MD2=ME.MF b) PQ//BC …… /…… H NG D N GI I Bài 1: (3đ) Ta có: n  n 1   n 1  n n  n 1  n 1  n    n  n 1   n  n  v i n  N * n 1 n =>A=         120  121    121  1  11  10 Ta có: n  2 n  n 1  n    n 1  n n 1  n   n 1  n    n  n  v i n  N * =>B > 2  2  2      35  36  2  36  2  12  10 => B>A Bài 2: (5đ) a) x2+4x+5=2 x  ( K: x   ) x  4x   2 x    x2  x  1   x    2 x   1    x  1   x 1   x  1  x  1  x  1        x  1TMDK  1     x x 3      x x       V y pt có nghi m nh t x=-1 b) 2x2+4x=19-3y2  2(x+1)2 +3y2 =21 (*) => 3y2  21 =>y2  , mà y  Z => y2  0;1; 4 21  Z (lo i) x 1  x  2  -N u y2=1 hay y= 1 (*)  2(x+1)2 =18   x  1     x   3  x  4 -N u y2=0 hay y=0 (*)  2(x+1)2 =21   x  1  ThuVienDeThi.com  2x  1  -N u y2=4 hay y= 2 (*)  2(x+1)2 =9   x  1   Z (lo i) V y pt có b n nghi m nguyên (x;y) (1;2) ;(1;-4) ; (-1;2) ;(-1;-4) Bài 3: (5đ) a) CMR n u ba s a,a+k,a+2k đ u s nguyên t l n h n k Vì a s nguyên t l n h n => a s l a không chia h t cho => a=3p 1 (v i p  N ) Vì a s l mà a+k s nguyên t => k s ch n => k (1) N u k không chia h t cho => k=3q 1 ( v i q  N ) -Xét tr ng h p: a= 3p+1, + N u k=3q+1 a+2k=3p+3q+3 => a+2k h p s (lo i) +N u k=3q-1 a+k=3p+3q => a+k h p s (lo i) Xét tr ng h p: a= 3p-1, + N u k=3q-1 a+2k=3p+3q-3 => a+2k h p s (lo i) +N u k=3q+1 a+k=3p+3q => a+k h p s (lo i) V y k (2) Vì (2;3)=1 nên t (1) (2) suy k k b) V i a, b, c s th c d ng cho a  c, b  c Theo B T Cô-si cho hai s không âmTa có: c a  c c b  c  c a c c bc 1 c a c  1 c bc          2b ab ab b a a b a  2a b  1c a c c b c 1a b               2b a a a b b 2a b Vì :  c a  c ab   c b  c  ab  nên => c  a  c   c  b  c   ab Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vng t i A có AB= AC, đ ng phân giác BD c t đ ng phân giác CE I G i M trung m c a BC CMR: a)CMR: CD=CM t AC= 4a>0 => AB= Theo tính ch t đ 2 AC=3a, theo đ nh lý Pytago, ta có : AC= AB  AC =5a ng phân giác c a tam giác, ta có: CD BC 5a CD CD 5        AD AB 3a CD  AD  AC 5  CD  AC  a BC L i có : CM=  a Suy CD=CM 2 b) CMR : BIM  900 Ta có  DCI=  MCI (c-g-c) => D2=M2 =>D1=M1, l i có B1=B2 =>  ABD   IBM  BIM=DAB=900 B E M I A D C Bài 5: (4đ) Cho đ ng tròn (O) m A bên (O) T A k ti p n AB, AC v i (O) (B,C ti p m ) L y m M cung nh BC g i D,E,F theo th t hình chi u vng góc c a M BC, CA,AB G i P giao m MB v i DF , Q giao m MC v i DE CMR a)CMR: MD2=ME.MF  BDM+  BFM=1800 => T giác BDHF n i ti p ThuVienDeThi.com  CDM+  CEM=1800 => T giác BDHF n i ti p Ta có :  D1=  B1=  C1=  E1 ;  D2=  C2=  B2=  F2 suy  MDF   MED (g-g) MD ME =>   MD  ME.MF MF MD b) CMR: PQ//BC  D1=  B1=  C1  D2=  C2=  B2 =>  PMQ+  PDQ=  PMQ+  D1+  D2 =  PMQ+  C1+  B2 = 1800 ( t ng góc c a  ) => T giác MPDQ n i tiêp =>  Q1=  D1 mà  D1=  C1 suy  Q1=  C1 Mà hai góc B F P D M O A Q E C v trí so le nên PQ//BC ThuVienDeThi.com ... DF , Q giao m MC v i DE CMR a)CMR: MD2=ME.MF  BDM+  BFM=1800 => T giác BDHF n i ti p ThuVienDeThi.com  CDM+  CEM=1800 => T giác BDHF n i ti p Ta có :  D1=  B1=  C1=  E1 ;  D2=  C2= ... D1 mà  D1=  C1 suy  Q1=  C1 Mà hai góc B F P D M O A Q E C v trí so le nên PQ//BC ThuVienDeThi.com