Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Trường thcs Hà Châu41844

Trường thcs hà châu đề thi học sinh giỏi lớp Môn : Toán thời gian 150 phút không kể chép đề Câu 1: (6 điểm )Cho biểu thức : A= 3x  x   x x 2 x 1 x 2  x  x a)Tìm điều kiện xđể A có nghĩa b)Rút gọn biểu thức A c)Tìm giá trị nguyên xđể giá trị A số nguyên Câu : (4 điểm) a) Cho x +y =1 Chøng minh r»ng : 2x +3y  13 b) Chứng minh bất đẳng thức sau với n số nguyên dương : 1 1 + + +….+ 25 49 (2n  1) < Câu 3: (5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; M điểm thuộc nửa đường tròn Từ M kẻ tiếp tuyến với đường tròn Gọi D C theo thứ tự hình chiếu A B tiếp tuyÕn Êy a) Chøng minh r»ng M lµ trung ®iĨm cđa CD b) Chøng minh r»ng : AB = BC+AD c) Gi¶ sư :  AOM   BOM , Gọi E giao điểm AD với đường tròn xác định dạng tứ giác BCDE d) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn cho tứ giác ABCD có diện tích lớn Tính diện tích theo bán kính nửa đường tròn đà cho Câu 4: (3 ®iĨm) Chøng minh r»ng : Trong mét tam gi¸c , đường phân giác ứng với cạnh lớn nhỏ đường cao ứng với cạnh nhỏ Câu : (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương tr×nh : 3x + 5y = 345 DeThiMau.vn Trường trung học sở hà châu đáp án môn toán lớp năm học 2008-2009 Câu 1: (6.0đ) a, A cã nghÜa vµ chØ x  x    1  x   x     ( x  2)( x  1)  x  x    0.5® x   x  0.5® b A   3x  x  ( x  2)( x  1)  x 2 3x  x  x   x  x   ( x  2)( x  1)  x 1  x 1  1® x x 6 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  3) ( x  2)( x  1) x 1 2  1 x 1 x Với x Z để A Z Vì x nên x ®ã x   1 x 2 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x  1) A  x  x   ( x  1)( x  1)  ( x  2) x ( x  2)  3( x  2) c x 1  1®  x 3 1® x 1 x 3  x 0.5đ x ước nªn x = => A = nªn x = => A = -1 0.5® x 1  0.5đ 0.5đ nên x= => A = víi x= ; x =4 ; x= th× giá trị biểu thức A số nguyên Câu (4.0đ) a áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗpxki cho hai cỈp sè 2;3;x;y ta cã (2 x  y )  22  32 x y 13 1đ Dấu = xảy vµ chØkhi x y x2 y2 x2  y2      13 13 0.5® DeThiMau.vn y= 13 13 2 3 Hc x= y= 13 13 Hc x= 0.5đ b ta biến đổi số hạng tổng quát 1 1 1 <   (  ) 2k  1 4k  4k  4k k  1 k k  1 1 Víi k=1 ta cã  (1  ) 1 1 Víi k= ta cã  (  ) 25 1 1 Víi k = ta cã  (  ) 49 4 1 1 k = n ta cã  (  ) (2n  1) n n 1 0.5® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ® céng vÕ víi vÕ ta cã 1 1 1      (1  ) 25 49 (2n  1) n 1 1 1 VËy      D 25 49 (2n 1) 0.25 đ 0.25 đ M Câu (5điểm) E C A O OM DC DC tiếp tuyến M B AD DC ( gt )   AD // BC//OM BC  CD ( gt )  a Ta cã b Do ®ã tứ giác ABCD hình thang Ta lại có OA = OB = R => MC = MD VËy M trung điểm CD Vì MO đường trung bình hình thang ABCD =>OM = 0.5đ 0.5đ ( BC  AD) => BC +AD = 2OM (1) 0.5đ Mặt khác OA = OB = OM = AB => AB = 2OM (2) c Tõ (1) (2) => AB = BC +AD Tứ giác BCDE cã Cˆ  Dˆ  Eˆ  90 => tứ giác BCDH hình chữ nhật DeThiMau.vn 0.5đ 1.0 đ d Gọi diện tích ABCD S AD  BC BE  OM BE  OM AB  R 2 Max S = 2R2  OM  AB ta cã S = 1.0 ® 1.0 ® A C©u (3.0®) H M B D C xét ABC : BC AC AB, đường phân giác AD đường cao CH Kẻ DM AB ta cã : AC  AB  DC  BD  BC  BD  CH  DM (1) Mặt khác góc A góc lớn tam giác ABC nên DM A 600 MAD  300  sin MAD     DM  AD AD Tõ (1) vµ (2) => AD CH (2) 1.0đ 1.0đ 1.0đ Câu (2.0®) Ta cã 3x2 =-5y2+345 3x2 = 5(69 – y2) Ta thấy vế phảI chia hết cho vế tráI chia hết cho 1.0 đ 2  3x chia hÕt cho => x chia hÕt cho => x chia hÕt cho Mµ x 10 nên x= x= 10 Với x = ta cã 52 = -5y2+345  5y2 = 270 =>y = 54 vôlý 0.5đ 2 Với x = 10 => 3.10 +5y = 345 5y2 = 45 => y = (tháa m·n) 0.5® VËy x = 10 ; y = lµ nghiƯm cđa hƯ phương trình Giáo viên đề Nguyên Thị Huyền DeThiMau.vn .. .Trường trung học sở hà châu đáp án môn toán lớp năm học 2008-20 09 Câu 1: (6.0đ) a, A cã nghÜa vµ chØ x  x    1  x   x... cã  (  ) 49 4 1 1 k = n ta cã  (  ) (2n  1) n n 1 0.5® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ® céng vÕ víi vÕ ta cã 1 1 1      (1  ) 25 49 (2n  1) n 1 1 1 VËy      D 25 49 (2n  1) 0.25... => AB = 2OM (2) c Tõ (1) vµ (2) => AB = BC +AD Tø gi¸c BCDE cã Cˆ  Dˆ  Eˆ  90 => tø giác BCDH hình chữ nhật DeThiMau.vn 0.5đ 1.0 ® d Gäi diƯn tÝch ABCD lµ S AD  BC BE  OM BE  OM AB  R