Thông tin tài liệu
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Tốn (Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 29 12 ; b) Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có diện tích chu vi Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x = 3; b) Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y 2012 +1 =0 3y - 2z - z 2013 + = 3z - 2x - x - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: x x y y 2 y x3 Câu (6,5 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By (Tia Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Gọi giao điểm AF BE K Chứng minh MK vng góc với AB; b) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng: r < < ; R c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B phía ngồi nửa đường trịn Chứng minh M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định Câu 5( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3 y ) ( x y ) 8 ( x 1).( y 1) Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Câu (4,5 điểm): 29 12 ; a) Rút gọn biểu thức: A = b) Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có diện tích chu vi Nội dung Điểm 29 12 = a) A = = (2 3) 3 3 0,50 0,50 = ( 1) 0,50 = 1 = 0,50 b) Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông: x y z Ta có: x2 y z (1) xy = 2( x + y + z) (2) Từ (1) ta có: z ( x y ) xy ( x y ) 4( x y z ) 2 0,50 0,50 ( x y ) 4( x y ) z z ( x y 2) ( z 2) x y z ( x+ y 2) Thay z = x + y - vào (2) ta được: ( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra: x - =1 y - =8 x = y = 12 z = 13 x - =2 y - =4 x = y = z = 10 Vậy tam giác vng phải tìm có cạnh là: 5, 12, 13 6, 8, 10 0,50 0,50 0,50 Câu (4,0 điểm): a) Giải phương trình: x + x = 3; b) Cho số x, y,z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y 2012 +1 =0 3y - 2z - z 2013 + = 3z - 2x - x - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Nội dung Điểm 3 a) x + x = 0,50 x x 3 x x ( x + x ) = 27 + ( x 2)(7 x) = 27 0,50 0,50 (x + ) ( - x ) = x - 5x - = ThuVienDeThi.com x = -1; x = Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = b) 3x - 2y - y 2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - z 2013 + = (2) 3z - 2x - x - = (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: x + y + z - y 2012 - z 2013 - x = 0,50 0,50 ( x - - x + 1) + ( y + 2012 - y 2012 + 1) + ( z - 2013 - z 2013 + 1) = ( x - ) + ( y 2012 - 1) + ( z 2013 - 1) = x2 - = x = y 2012 - = y = - 2011 z 2013 - = z = 2014 Vậy P = ( - 4) 2011 + ( - 2011 + 2012) 2012 + ( 2014 - 2013) 2013 P = -1 + +1 = Câu (3,0 điểm): 0,50 0,50 0,50 x x y y Giải hệ phương trình: 2 y x3 Nội dung ĐK: x 0, y Từ phương trình thứ hệ ta có ( x - y ) ( 1+ Điểm 0,25 )=0 xy x = y xy = -1 0,50 x y x y 2 y x ( x 1)( x x 1) * x = y = 1; x = y = ( thỏa mãn ĐK) 0,50 1 1 ; x=y= 2 0,50 y xy 1 y x * vô nghiệm x 2 y x x3 x4 x x 1 (Ta có x + x + = ( x - ) + ( x + ) + > x) 2 0,50 0,50 Vậy hệ cho có nghiệm x = y = 1; x = y = 1 1 ; x=y= 2 Câu 4: (6,5 điểm) ThuVienDeThi.com 0,25 Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By ( Tia Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Gọi giao điểm AF BE K Chứng minh MK vng góc với AB; b) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng: r < < ; R c) Vẽ tam giác vng cân MBD đỉnh B phía ngồi nửa đường tròn Chứng minh M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định Nội dung Điểm Vẽ hình: 0,50 a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AE = EM, BF = FM Vì Ax By vng góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta 0,50 KF BF KA AE KF MF KA ME 0,50 có: 0,50 MK // AE MK AB b) Chứng minh tam giác OEF vuông O, OM đường cao OM = R Gọi độ dài cạnh tam giác OEF a, b, c; EF = a 0,50 0,50 0,50 1 r (a + b + c) = aR 2 r a aR = r( a + b + c) R abc Ta có S EOF = Mà b + c > a a + b + c > 2a a a < < a b c 2a Mặt khác: b< a, c < a a + b + c < 3a a a 1 r > > < < a b c 3a 3 R c) Gọi T giao điểm tia By đường thẳng qua D song song với MB Ta có BDT = 90 Chứng minh tam giác AMB tam giác TDB ( g-c-g) AB = BT BT không đổi, ThuVienDeThi.com 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 T thuộc tia By cố định T cố định Vậy M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định T 0,50 Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3 y ) ( x y ) 8 ( x 1).( y 1) Nội dung Ta có P = 2 2 2 1 x 1 x 2 1 y 1 y y 1.( y 1) 2 xy xy ( x 1)( y 1) (2) ( x 1)( y 1) Lại có Suy Điểm (x y ) (x y ) x y x y xy = = (1) ( x 1).( y 1) y 1 x 1 y 1 x 1 ( x 1)( y 1) x 1.( x 1) Từ (1) (2) suy (x y ) (x y ) 8 ( x 1).( y 1) 3 2 x2 y2 Dấu xảy x = y = y 1 x 1 x = y =2 HẾT - ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn ... y 2012 - z 2013 - x = 0,50 0,50 ( x - - x + 1) + ( y + 2012 - y 2012 + 1) + ( z - 2013 - z 2013 + 1) = ( x - ) + ( y 2012 - 1) + ( z 2013 - 1) = x2 - = x = y 2012. .. thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y 2012 +1 =0 3y - 2z - z 2013 + = 3z - 2x - x - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Nội dung Điểm 3 a) x +
Ngày đăng: 31/03/2022, 05:23
Xem thêm:
