Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 9THCS tham dự kỳ thi cấp tỉnh năm học 2012 2013 môn: Toán41819

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Tốn (Thời gian làm 150 phút khơng kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A =   29  12 ; b) Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có diện tích chu vi Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x  +  x = 3; b) Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y  2012 +1 =0 3y - 2z - z  2013 + = 3z - 2x - x  - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Câu (3,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x  x  y  y  2 y  x3   Câu (6,5 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By (Tia Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Gọi giao điểm AF BE K Chứng minh MK vng góc với AB; b) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng: r < < ; R c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B phía ngồi nửa đường trịn Chứng minh M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định Câu 5( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3  y )  ( x  y ) 8 ( x  1).( y  1) Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Câu (4,5 điểm):   29  12 ; a) Rút gọn biểu thức: A = b) Tìm tất tam giác vng có cạnh số ngun có diện tích chu vi Nội dung Điểm   29  12 = a) A = =   (2  3)  3 3 0,50 0,50 =  (  1) 0,50 =  1 = 0,50 b) Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông:  x  y  z Ta có: x2  y  z (1) xy = 2( x + y + z) (2) Từ (1) ta có: z  ( x  y )  xy  ( x  y )  4( x  y  z )  2 0,50 0,50 ( x  y )  4( x  y )   z  z   ( x  y  2)  ( z  2)  x  y   z  ( x+ y  2) Thay z = x + y - vào (2) ta được: ( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra: x - =1 y - =8  x = y = 12  z = 13 x - =2 y - =4  x = y =  z = 10 Vậy tam giác vng phải tìm có cạnh là: 5, 12, 13 6, 8, 10 0,50 0,50 0,50 Câu (4,0 điểm): a) Giải phương trình: x  +  x = 3; b) Cho số x, y,z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y  2012 +1 =0 3y - 2z - z  2013 + = 3z - 2x - x  - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Nội dung Điểm 3 a) x  +  x = 0,50  x    x  3 x   x ( x  +  x ) = 27  + ( x  2)(7  x) = 27 0,50 0,50  (x + ) ( - x ) =  x - 5x - = ThuVienDeThi.com  x = -1; x = Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = b) 3x - 2y - y  2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - z  2013 + = (2) 3z - 2x - x  - = (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: x + y + z - y  2012 - z  2013 - x  = 0,50 0,50  ( x - - x  + 1) + ( y + 2012 - y  2012 + 1) + ( z - 2013 - z  2013 + 1) =  ( x  - ) + ( y  2012 - 1) + ( z  2013 - 1) =  x2 - =  x = y  2012 - =  y = - 2011 z  2013 - =  z = 2014 Vậy P = ( - 4) 2011 + ( - 2011 + 2012) 2012 + ( 2014 - 2013) 2013  P = -1 + +1 = Câu (3,0 điểm): 0,50 0,50 0,50  x  x  y  y Giải hệ phương trình:  2 y  x3   Nội dung ĐK: x  0, y  Từ phương trình thứ hệ ta có ( x - y ) ( 1+ Điểm 0,25 )=0 xy  x = y xy = -1 0,50 x  y x  y  2 y  x  ( x  1)( x  x  1)  *  x = y = 1; x = y = ( thỏa mãn ĐK) 0,50 1  1  ; x=y= 2 0,50   y   xy  1  y   x *   vô nghiệm x 2 y  x    x3   x4  x     x 1 (Ta có x + x + = ( x - ) + ( x + ) + >  x) 2 0,50 0,50 Vậy hệ cho có nghiệm x = y = 1; x = y = 1  1  ; x=y= 2 Câu 4: (6,5 điểm) ThuVienDeThi.com 0,25 Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By ( Tia Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F a) Gọi giao điểm AF BE K Chứng minh MK vng góc với AB; b) Cho AB = 2R gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng: r < < ; R c) Vẽ tam giác vng cân MBD đỉnh B phía ngồi nửa đường tròn Chứng minh M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định Nội dung Điểm Vẽ hình: 0,50 a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AE = EM, BF = FM Vì Ax By vng góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta 0,50 KF BF  KA AE KF MF   KA ME 0,50 có: 0,50  MK // AE  MK  AB b) Chứng minh tam giác OEF vuông O, OM đường cao OM = R Gọi độ dài cạnh tam giác OEF a, b, c; EF = a 0,50 0,50 0,50 1 r (a + b + c) = aR 2 r a   aR = r( a + b + c)  R abc Ta có S EOF = Mà b + c > a  a + b + c > 2a  a a < < a  b  c 2a Mặt khác: b< a, c < a  a + b + c < 3a  a a 1 r > >  < < a  b  c 3a 3 R c) Gọi T giao điểm tia By đường thẳng qua D song song với ฀ MB Ta có BDT = 90 Chứng minh tam giác AMB tam giác TDB ( g-c-g)  AB = BT  BT không đổi, ThuVienDeThi.com 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 T thuộc tia By cố định  T cố định Vậy M di chuyển nửa đường trịn đường kính AB đường thẳng qua D song song với MB qua điểm cố định T 0,50 Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho x, y >1 Chứng minh rằng: ( x3  y )  ( x  y ) 8 ( x  1).( y  1) Nội dung Ta có P = 2 2 2 1 x 1 x  2 1 y 1 y y   1.( y  1)   2 xy xy ( x  1)( y  1)    (2) ( x  1)( y  1) Lại có Suy Điểm (x  y )  (x  y ) x y x y xy  =  = (1) ( x  1).( y  1) y 1 x 1 y 1 x 1 ( x  1)( y  1) x   1.( x  1)  Từ (1) (2) suy (x  y )  (x  y ) 8 ( x  1).( y  1) 3 2 x2 y2 Dấu xảy   x = y = y 1 x 1  x = y =2 HẾT - ThuVienDeThi.com 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn ... y  2012 - z  2013 - x  = 0,50 0,50  ( x - - x  + 1) + ( y + 2012 - y  2012 + 1) + ( z - 2013 - z  2013 + 1) =  ( x  - ) + ( y  2012 - 1) + ( z  2013 - 1) =  x2 - =  x = y  2012. .. thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - y  2012 +1 =0 3y - 2z - z  2013 + = 3z - 2x - x  - = 0; Tính giá trị biểu thức P = ( x - 4) 2011 + ( y + 2012) 2012 + ( z - 2013) 2013 Nội dung Điểm 3 a) x  +