Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2012 2013 môn: Toán học lớp 943462

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên x  3xy  y  25 2)Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n  3n  Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10  30  2  : 10  2 1 2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn x  yz y  zx z  xy   a b c a  bc b  ca c  ab Chứng minh   x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x  6x  m  (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12  x2  12 8x y  27  18 y 2 4x y  6x  y 2) Giải hệ phương trình:  Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường trịn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vng góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB a) CMR: HA2  HB  HC  HD không đổi b) CMR : PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA hình vng CMR: S ABCD ≤ AC Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca abc    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b -Hêt— DeThiMau.vn MN  NP  PQ  QM Hướng dẫn Câu1.1) x  3xy  y  25 x  25 25  y (3 x  5)  x  25  y   y  24 x  40  Z 3x  3x  Khi 3x+5 ước 25 từ tìm ( x; y )  (10;31); (2;7); (0;5) ( cách khac nhân vế với đưavề tích) 1.2) Với n chẵn n=2k A  2k k  32 k  (2k  1).4 k  (16 k  k )   2k  1  k  Với n lẻ n=2k+1 7t   n  14t   14m  6m  N  A  (2k  1).4 k 1  k 1  2k k 1  (4 k 1  k 1 )   2k   k  7t  n  14m  1m  N  Vậy n  14m  n  14m  ( với n  N ) A chia hết cho Câu2.1) 10  30  2  : = 10  2 1 2 (  1)  (  1)   3 1  3 1 1 1     2 2 2 2 (  1) 2.2)  x  yz y  zx z  xy   a b c a b c a2 bc a  bc      (1) x  yz y  xz z  xy x  x yz  y z y z  xy  xz  x yz x( x  y  z  xyz ) Tuongtu : b2 ac b  ac   (2) y  y xz  x z x z  x y  yz  xy z y ( x  y  z  xyz ) c2 ab c  ab   (3) Z  xyz  x y x y  x z  y z  xyz z ( x  y  z  xyz ) Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM Tuongtu : Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm /   m  9 (*)  x1  x2   x1  x2   x1     Mặt khác ta phải có  x1 x2  m   x1 x2  m   x1 x2  m  m  8 TM ĐK (*)   x  2   x1  x2  12  x1  x2  8 x y  27  18 y 3.2)Giải hệ phương trình  4 x y  x  y HD y =0 không nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ  27 8 x  y  18   4 x  x   y y2 2 x  a  ta có hệ Đặt  y b  a  b  18 a  b    2 a b  ab  ab  DeThiMau.vn    3  ;   ; ; Hệ có nghiệm ( x, y )         Câu 4.1) A Q P D B O H S R C a) theo Pitago HA  HB  AB ; HC  HB  BC ; HC  HD  CD ; HA  HD  AD ; suy đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp  HPS  HBS  DBC Tứ giác HPAQ hình chữ nhật  HPQ  HAQ  CAD  CBD Do SPQ  HPS  HPQ  2CBC Tương tự SQR  2BDC Do DBC  BDC  180  SPQ  SRQ  180 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo) 4.2) M A B I N K Q L D C P Cách Gọi T, K, L trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình trung tuyến tam giác vng ta có MN  NP  PQ  QM  2( KL  CL  IK  AI )  AC từ suy đpcm Cách Ta có theo Pitago DeThiMau.vn MN  BN  BM  Tương Tự NP  ( BM  BN ) BM  BN  MN  ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky 2 CN  NP DP  DQ AQ  AM ; PQ  ; MQ  2 Nên MN  NP  PQ  QM  BM  NB  NC  CP  PD  DQ  QA  AM 4a   2a 2 a MN  NP  PQ  QM   a  dpcm Dấu “=” xảy MNPQ hình chữ nhật Câu Cho a,b c>0 Chứng minh rằng: ab bc ca abc    a  3b  2c 2a  b  3c 3a  2b  c Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b 1 1 11 1 Tacó áp dụng BĐT ( x  y  z )           x y z 9 x y z  x y z ab ab ab  ab a  1   ab         (1)    a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Tương tự bc bc bc  bc b 1   bc           (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c)  2c  a  c b  c 2b   a  b b  c  1   ac ac ac ac  ac c            (2) 3a  2b  c (a  b)  (b  c)  2a  a  b b  c 2a   a  b b  c  Từ (1) (2) (3) P  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c  a  b  c      9 ab bc ac  Dấu “=” xảy a=b=c GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ DeThiMau.vn ... x   y y2 2 x  a  ta có hệ Đặt  y b  a  b  18 a  b    2 a b  ab  ab  DeThiMau.vn    3  ;   ; ; Hệ có nghiệm ( x, y )         Câu 4.1) A... vng ta có MN  NP  PQ  QM  2( KL  CL  IK  AI )  AC từ suy đpcm Cách Ta có theo Pitago DeThiMau.vn MN  BN  BM  Tương Tự NP  ( BM  BN ) BM  BN  MN  ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky 2... b  c      9 ab bc ac  Dấu “=” xảy a=b=c GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ DeThiMau.vn