THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – L P 12 – THPT Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao đ ) Ngày thi 29 tháng n m 2013 UBND T NH B C NINH S GIÁO D C VÀ ÀO T O CHÍNH TH C Câu (5,0 m) Cho hàm s L p ph đ ================ y x x 1 ng trình ti p n c a đ th hàm s ng th ng d có ph 1 bi t ti p n vuông góc v i ng trình x y Tìm m đ đ ng trình y m 1 x c t đ th hàm s ng th ng có ph m phân bi t A 0;1 , B, C , bi t hai m B, C có hồnh đ l n l 1 t i ba t x1; x2 th a mãn: x13 m x1 x23 m x2 1 x22 x12 Câu (5,0 m) sin x cos x 1 2sin x tan x sin 3x sin x Gi i ph ng trình: x log x log x y.2 x ng trình: 2log x 6log y 1 x log x y Gi i h ph 2013 Câu (2,0 m) Tính t ng: S C x, y 22 23 2 22014 2013 2013 2.C2013 C2013 C2013 2014 Câu (4,0 m) 1.Trong m t ph ng t a đ Oxy cho ba m A 1;1 , B 3;2 , C 7;10 L p ph đ ng th ng qua A cho t ng kho ng cách t B C đ n đ ng trình ng th ng l n nh t Trong không gian t a đ Oxyz cho hai m t c u S1 : x y z 1 S2 : x 3 y 1 2 z 1 25 Ch ng minh r ng hai m t c u c t theo giao n m t đ ng trịn Tính bán kính đ ng trịn Câu (3,0 m) Cho hình chóp tam giác đ u S ABC có c nh đáy b ng G i M , N hai m thay đ i l nl t thu c c nh AB, CD cho m t ph ng SMN ln vng góc v i m t ph ng ( ABC ) t AM x, AN y Ch ng minh r ng x y xy , t tìm x, y đ tam giác SMN có di n tích bé nh t, l n nh t Câu (1,0 m) Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a b c a b3 c Ch ng minh r ng 8a 8b 8c H t -( thi g m có 01 trang) DeThiMau.vn H NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2012 - 2013 MƠN THI : TỐN – L P 12 – THPT Ngày thi 29 tháng n m 2013 ============== UBND T NH B C NINH S GIÁO D C VÀ ÀO T O L i gi i s l Câu 1.1 y x x 1 Cho hàm s L p ph v iđ Thang m c ng trình ti p n c a đ th hàm s ng th ng d có ph 1 bi t ti p n vng góc 3.0 ng trình x y TX : , y ' 3x x 1.0 H s góc c a d H s góc c a ti p n k 5 G i M x0 ; y0 ti p m x0 y0 3 Khi x0 x0 5 23 x y0 3 27 1.0 T tìm đ Tìm m đ đ 1.2 c ph ng trình hai ti p n: ng th ng có ph y 5x ; y 5x 202 27 ng trình y m 1 x c t đ th hàm s t i ba m phân bi t A 0;1 , B, C , bi t m B, C có hồnh đ l n l th a mãn: Ph 1.0 1 t x1; x2 x13 m x1 x23 m x2 1 x22 x12 2.0 ng trình hồnh đ giao m: x x x m 1 x x x x m 1 x x m 1 * c t đ th hàm s 1 t i ba m phân bi t A, B, C ph ng trình (*) có 4m m hai nghi m phân bi t khác (**) m m 1 DeThiMau.vn 0.5 0.5 G i x1 , x2 hai nghi m c a (*), ta có: x13 m x1 x1 1 x12 x1 m 1 m 1 m 1 x23 m x2 x2 1 x2 x2 m 1 m 1 m 1 Khi 0.5 m 1 m 1 x22 x12 x x x1 x2 x x22 m 1 m 1 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 1 x1 1 K t h p v i h th c Viet ta bi n đ i (3) tr thành m 1 m 1 m 1 m 1 0.5 m c m 3 T tìm đ K t h p u ki n (**) ta có m th a mãn yêu c u toán Câu 2.1 sin x cos x 1 2sin x tan x 1 sin x sin x 1.Gi i ph ng trình: sin x sin x sin x * K: cos x Bi n đ i đ 0.5 c 1 sin x cos x 1 2sin x sin x cos x sin x 0.5 sin x cos x cos x sin x 1 2sin x sin x 2 x 2.5 k k (Lo i) 0.5 3 cos x sin x sin 3x sin x cos3x cos x sin x x k 2 sin 3x sin x k 4 x 3 k 2 28 K t h p v i u ki n (*) ta có nghi m c a ph 3 k 2 x k 7m 3, k , m 28 DeThiMau.vn 0.5 ng trình 0.5 2.2 x log x log x y.2 x 1 Gi i h ph ng trình: x, y 2log x 6log y 1 x log x y K: x 0; y 1 Ph ng trình 1 x log x log x y 1 x log x x log y 1 x y 2.5 0.5 Th vào (2) ta có 2log 22 x log x x log x x log x 3 log x 3 2log x x log x x 0.5 3 x 0.5 Gi i (4), xét f x 2log x x x f ' x 1 x ln 2 L p BBT, t suy ph ng trình (4) có nhi u nh t hai ln nghi m Mà f f có hai nghi m x 2; x f ' x x V y h ph Câu ng trình cho có ba nghi m x; y : 8;7 ; 2;1 ; 4;3 2013 Tính t ng: S C Xét 1 x 2013 I 1 x 1.0 22 23 2 22014 2013 2013 2.C2013 C2013 C2013 2014 2013 C2013 C2013 x C2013 x C2013 x 2013 1 x 2013 dx 1 x d 1 x 21 4028 2014 2 2013 52014 32014 4028 2.0 0.5 0.5 2 2013 2013 C2013 dx C x C x C x 2013 2013 2013 x2 x3 x 2014 2013 2013 2 C2013 C2013 x C2013 C2013 2014 1 C2013 0.5 22 23 2 2014 2013 2013 2.C2013 C2013 C2013 2014 V y S 52014 32014 4028 0.5 DeThiMau.vn 1.Trong m t ph ng t a đ Câu 4.1 Oxy cho ba m A 1;1 , B 3;2 , C 7;10 L p ph ng trình đ ng th ng qua A cho t ng kho ng cách t đ ng th ng l n nh t B C đ n TH1: c t đo n th ng BC t i M 2.0 ∆ d B; d C ; BM CM BC B M C 0.5 A TH2: không c t đo n th ng BC , g i I 5;6 trung m BC d B; d C ; 2d I ; AI ∆ A 0.5 B I C Vì BC 80 41 AI nên d B; d C ; l n nh t b ng AI 41 vng góc v i AI qua A 1;1 nh n AI 4;5 véc t pháp n V y ph ng trình đ ng th ng : x 1 y 1 : x y 0.5 0.5 Trong không gian t a đ Oxyz cho hai m t c u S1 : x y z 1 4.2 S2 : x 3 y 1 2 z 1 25 Ch ng minh r ng hai m t c u c t theo giao n m t đ S1 có tâm S2 ng trịn Tính bán kính đ ng trịn I1 (0;0;1) , bán kính R1 có tâm I (3;1; 1) , bán kính R2 I1I 14 R2 R1 I1 I R2 R1 hai m t c u c t Khi t a đ giao m c a hai m t c u th a mãn h ph DeThiMau.vn 2.0 ng trình 0.5 0.5 2 x y z 1 x y z 1 2 6 x y z 11 x 3 y 1 z 1 25 Do hai m t c u c t theo giao n m t đ ng trịn ng trịn giao n c a m t c u S1 m t ph ng ( P ) : x y z 11 bán kính đ 56 d I1;( P) r R d I ; P ng tròn c n tìm 0.5 Cho hình chóp tam giác đ u S ABC có c nh đáy b ng G i M , N hai m Câu thay đ i l n l t thu c c nh AB, CD cho m t ph ng SMN vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) t AM x, AN y Ch ng minh r ng x y xy , t 3.0 tìm x, y đ tam giác SMN có di n tích bé nh t, l n nh t K SO MN t i O SO ABC ( Vì SMN ABC ) S O tr ng tâm tam giác đ u ABC ( Vì S ABC hình chóp đ u ) N A C O M B 1 Ta có S AMN S AMO S ANO xy.sin 600 x AO.sin 300 y AO.sin 300 2 1 1 1 xy x y 2 2 S SMN 0.5 x y xy 1 SO.MN S SMN nh nh t MN nh nh t ( Vì SO khơng đ i) 0.5 Ta có MN x y xy cos 600 x y xy x y 3xy xy xy T gi thi t x; y T 1 3xy x y xy xy x 1 y 1 xy x y xy 3xy xy DeThiMau.vn 0.5 4 1 t t xy, t ; MN 9t 3t 9 2 L p b ng bi n thiên hàm s 4 1 f t 9t 3t , t ; ta đ 9 2 c 1.0 MN nh nh t t , x y x x MN l n nh t t , ho c y y ng a, b, c th a mãn a b c a b3 c Ch ng minh r ng Cho ba s d Câu 8a 8b 8c 1.0 Ta có a a 3a ; b3 b 3b ; c3 c3 3c a b2 c a b c a b2 c2 t x Ta có Mà: T 3a 3b 3c a; y b; z c x y z 3 a b c abc abc a 1 8x b 1 c 1 (2 x 1)(4 x x 1) x 1 y 1 8z 2 2 x 1 ng t suy VP(2) x y z 4 2 2 2 Ta ch ng minh Bi n đ i đ 1 1 (3) x y 4z 2 0.5 c 3 x y z 12 ( B t đ ng th c b ng cách s d ng b t đ ng th c Côsi, v i ý x y z ) đpcm H ng d n ch m ch trình bày s l c m t cách gi i Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p lu n ch t ch , tính tốn xác m i đ c tính m t i đa V i cách gi i nh ng khác đáp án, t ch m trao đ i th ng nh t m chi ti t nh ng không đ c v t s m dành cho ho c ph n M i v n đ phát sinh trình ch m ph i đ c trao đ i t ch m ch cho m theo s th ng nh t c a c t i m toàn t ng s m c a ph n ch m, khơng làm trịn m DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...H NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2 012 - 2013 MƠN THI : TỐN – L P 12 – THPT Ngày thi 29 tháng n m 2013 ============== UBND T NH B C NINH... ho c ph n M i v n đ phát sinh trình ch m ph i đ c trao đ i t ch m ch cho m theo s th ng nh t c a c t i m toàn t ng s m c a ph n ch m, khơng làm trịn m DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 0.5 c 3 x y z 12 ( B t đ ng th c b ng cách s d ng b t đ ng th c Côsi, v i ý x y z ) đpcm H ng d n ch m ch trình bày s l c m t cách gi i Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p