Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2012 –2013 môn thi: toán –lớp 12 –thpt thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)42675

THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – L P 12 – THPT Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao đ ) Ngày thi 29 tháng n m 2013 UBND T NH B C NINH S GIÁO D C VÀ ÀO T O CHÍNH TH C Câu (5,0 m) Cho hàm s L p ph đ ================ y  x  x  1 ng trình ti p n c a đ th hàm s ng th ng d có ph 1 bi t ti p n vuông góc v i ng trình x  y   Tìm m đ đ ng trình y   m  1 x  c t đ th hàm s ng th ng  có ph m phân bi t A  0;1 , B, C , bi t hai m B, C có hồnh đ l n l 1 t i ba t x1; x2 th a mãn: x13   m   x1 x23   m   x2   1 x22  x12  Câu (5,0 m)  sin x  cos x  1  2sin x    tan x sin 3x  sin x Gi i ph ng trình:  x  log x  log  x  y.2 x  ng trình:  2log x  6log  y  1  x log x  y   Gi i h ph 2013 Câu (2,0 m) Tính t ng: S  C  x, y  ฀  22  23  2 22014  2013 2013  2.C2013  C2013   C2013 2014 Câu (4,0 m) 1.Trong m t ph ng t a đ Oxy cho ba m A 1;1 , B  3;2  , C  7;10  L p ph đ ng th ng  qua A cho t ng kho ng cách t B C đ n đ ng trình ng th ng  l n nh t Trong không gian t a đ Oxyz cho hai m t c u  S1  : x  y   z  1   S2  :  x  3   y  1 2   z  1  25 Ch ng minh r ng hai m t c u c t theo giao n m t đ ng trịn Tính bán kính đ ng trịn Câu (3,0 m) Cho hình chóp tam giác đ u S ABC có c nh đáy b ng G i M , N hai m thay đ i l nl t thu c c nh AB, CD cho m t ph ng  SMN  ln vng góc v i m t ph ng ( ABC ) t AM  x, AN  y Ch ng minh r ng x  y  xy , t tìm x, y đ tam giác SMN có di n tích bé nh t, l n nh t Câu (1,0 m) Cho ba s d ng a, b, c th a mãn a  b  c  a  b3  c Ch ng minh r ng 8a   8b   8c   H t -( thi g m có 01 trang) DeThiMau.vn H NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2012 - 2013 MƠN THI : TỐN – L P 12 – THPT Ngày thi 29 tháng n m 2013 ============== UBND T NH B C NINH S GIÁO D C VÀ ÀO T O L i gi i s l Câu 1.1 y  x  x  1 Cho hàm s L p ph v iđ Thang m c ng trình ti p n c a đ th hàm s ng th ng d có ph 1 bi t ti p n vng góc 3.0 ng trình x  y   TX : ฀ , y '  3x  x 1.0 H s góc c a d   H s góc c a ti p n k  5 G i M  x0 ; y0  ti p m  x0   y0  3  Khi x0  x0    5 23  x    y0     3 27  1.0 T tìm đ Tìm m đ đ 1.2 c ph ng trình hai ti p n: ng th ng  có ph y  5x  ; y  5x  202 27 ng trình y   m  1 x  c t đ th hàm s t i ba m phân bi t A  0;1 , B, C , bi t m B, C có hồnh đ l n l th a mãn: Ph 1.0 1 t x1; x2 x13   m   x1 x23   m   x2   1  x22  x12  2.0 ng trình hồnh đ giao m: x  x  x    m  1 x   x  x  x   m  1      x  x   m  1  *  c t đ th hàm s 1 t i ba m phân bi t A, B, C  ph ng trình (*) có     4m   m   hai nghi m phân bi t khác    (**) m    m  1 DeThiMau.vn 0.5 0.5 G i x1 , x2 hai nghi m c a (*), ta có: x13   m   x1   x1  1  x12  x1   m  1    m  1    m  1 x23   m   x2   x2  1  x2  x2   m  1    m  1    m  1 Khi    0.5  m  1   m  1  x22  x12   x  x   x1 x2   x  x22    m  1    m  1 2   2 x1 x2   x1  x2   x1 x2   x2  1 x1  1 K t h p v i h th c Viet ta bi n đ i (3) tr thành  m  1   m  1  m  1   m  1  0.5 m  c  m  3  T tìm đ K t h p u ki n (**) ta có m  th a mãn yêu c u toán Câu 2.1  sin x  cos x  1  2sin x    tan x 1 sin x  sin x 1.Gi i ph ng trình: sin x  sin x   sin x  * K:  cos x  Bi n đ i đ 0.5 c 1   sin x  cos x  1  2sin x   sin x  cos x  sin x  0.5 sin x  cos x      cos x  sin x 1  2sin x   sin x    2  x  2.5   k  k  ฀  (Lo i) 0.5  3  cos x  sin x  sin 3x  sin x  cos3x  cos x  sin x   x   k 2     sin  3x    sin x   k  ฀  4   x  3  k 2  28 K t h p v i u ki n (*) ta có nghi m c a ph 3 k 2  x  k  7m  3, k , m  ฀  28 DeThiMau.vn 0.5 ng trình 0.5 2.2  x  log x  log  x  y.2 x  1 Gi i h ph ng trình:   x, y  ฀  2log x  6log  y  1  x log x  y     K: x  0; y  1 Ph ng trình 1  x  log x  log  x  y  1  x  log x  x  log  y  1  x  y  2.5 0.5 Th vào (2) ta có 2log 22 x  log x  x log x  x   log x    3  log x  3 2log x  x      log x  x    0.5  3  x  0.5 Gi i (4), xét f  x   2log x  x  x    f '  x   1 x ln 2 L p BBT, t suy ph ng trình (4) có nhi u nh t hai ln nghi m Mà f    f       có hai nghi m x  2; x  f ' x    x  V y h ph Câu ng trình cho có ba nghi m  x; y  :  8;7  ;  2;1 ;  4;3 2013 Tính t ng: S  C Xét 1  x  2013 I   1  x  1.0 22  23  2 22014  2013 2013  2.C2013  C2013   C2013 2014 2013  C2013  C2013  x   C2013  x    C2013  x  2013 1  x  2013 dx   1  x  d 1  x   21 4028 2014 2  2013 52014  32014 4028 2.0 0.5 0.5 2 2013 2013 C2013 dx     C x C x C x       2013 2013 2013    x2 x3 x 2014 2013 2013  2 C2013   C2013 x  C2013  C2013   2014  1 C2013  0.5 22  23  2 2014  2013 2013 2.C2013 C2013   C2013  2014 V y S  52014  32014 4028 0.5 DeThiMau.vn 1.Trong m t ph ng t a đ Câu 4.1 Oxy cho ba m A 1;1 , B  3;2  , C  7;10  L p ph ng trình đ ng th ng  qua A cho t ng kho ng cách t đ ng th ng  l n nh t B C đ n TH1:  c t đo n th ng BC t i M 2.0 ∆  d  B;    d  C ;    BM  CM  BC B M C 0.5 A TH2:  không c t đo n th ng BC , g i I  5;6  trung m BC  d  B;    d  C ;    2d  I ;    AI ∆ A 0.5 B I C Vì BC  80  41  AI nên d  B;    d  C ;   l n nh t b ng AI  41  vng góc v i AI    qua A 1;1 nh n AI   4;5  véc t pháp n V y ph ng trình đ ng th ng  :  x  1   y  1    : x  y   0.5 0.5 Trong không gian t a đ Oxyz cho hai m t c u  S1  : x  y   z  1  4.2  S2  :  x  3   y  1 2   z  1  25 Ch ng minh r ng hai m t c u c t theo giao n m t đ  S1  có tâm  S2  ng trịn Tính bán kính đ ng trịn I1 (0;0;1) , bán kính R1  có tâm I (3;1; 1) , bán kính R2  I1I  14  R2  R1  I1 I  R2  R1  hai m t c u c t Khi t a đ giao m c a hai m t c u th a mãn h ph DeThiMau.vn 2.0 ng trình 0.5 0.5 2  x  y   z  1   x  y   z  1    2 6 x  y  z  11   x  3   y  1   z  1  25 Do hai m t c u c t theo giao n m t đ ng trịn ng trịn giao n c a m t c u  S1  m t ph ng ( P ) : x  y  z  11   bán kính đ 56 d  I1;( P)   r  R d  I ; P ng tròn c n tìm 0.5  Cho hình chóp tam giác đ u S ABC có c nh đáy b ng G i M , N hai m Câu thay đ i l n l t thu c c nh AB, CD cho m t ph ng  SMN  vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) t AM  x, AN  y Ch ng minh r ng x  y  xy , t 3.0 tìm x, y đ tam giác SMN có di n tích bé nh t, l n nh t K SO  MN t i O  SO   ABC  ( Vì  SMN    ABC  ) S  O tr ng tâm tam giác đ u ABC ( Vì S ABC hình chóp đ u ) N A C O M B 1 Ta có S AMN  S AMO  S ANO  xy.sin 600  x AO.sin 300  y AO.sin 300 2 1 1 1  xy  x  y 2 2 S SMN  0.5  x  y  xy 1 SO.MN  S SMN nh nh t MN nh nh t ( Vì SO khơng đ i) 0.5 Ta có MN  x  y  xy cos 600  x  y  xy   x  y   3xy   xy   xy T gi thi t   x; y  T 1  3xy  x  y  xy  xy   x  1 y  1   xy   x  y  xy   3xy  xy  DeThiMau.vn 0.5 4 1 t t  xy, t   ;   MN  9t  3t 9 2 L p b ng bi n thiên hàm s 4 1 f  t   9t  3t , t   ;  ta đ 9 2 c 1.0 MN nh nh t t  , x  y  x    x  MN l n nh t t  ,  ho c   y   y  ng a, b, c th a mãn a  b  c  a  b3  c Ch ng minh r ng Cho ba s d Câu 8a   8b   8c  1.0  Ta có a  a   3a ; b3  b   3b ; c3  c3   3c  a  b2  c   a  b  c   a  b2  c2   t x Ta có Mà: T 3a 3b 3c  a; y   b; z  c  x y z 3 a b c abc abc a 1 8x    b 1  c 1  (2 x  1)(4 x  x  1) x 1   y 1  8z   2 2 x 1   ng t suy VP(2)   x  y  z  4 2 2 2 Ta ch ng minh Bi n đ i đ 1 1    (3) x  y  4z  2 0.5 c  3  x  y  z  12 ( B t đ ng th c b ng cách s d ng b t đ ng th c Côsi, v i ý x  y  z  )  đpcm H ng d n ch m ch trình bày s l c m t cách gi i Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p lu n ch t ch , tính tốn xác m i đ c tính m t i đa V i cách gi i nh ng khác đáp án, t ch m trao đ i th ng nh t m chi ti t nh ng không đ c v t s m dành cho ho c ph n M i v n đ phát sinh trình ch m ph i đ c trao đ i t ch m ch cho m theo s th ng nh t c a c t i m toàn t ng s m c a ph n ch m, khơng làm trịn m DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...H NG D N CH M THI CH N H C SINH GI I C P T NH N M H C 2 012 - 2013 MƠN THI : TỐN – L P 12 – THPT Ngày thi 29 tháng n m 2013 ============== UBND T NH B C NINH... ho c ph n M i v n đ phát sinh trình ch m ph i đ c trao đ i t ch m ch cho m theo s th ng nh t c a c t i m toàn t ng s m c a ph n ch m, khơng làm trịn m DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 0.5 c  3  x  y  z  12 ( B t đ ng th c b ng cách s d ng b t đ ng th c Côsi, v i ý x  y  z  )  đpcm H ng d n ch m ch trình bày s l c m t cách gi i Bài làm c a h c sinh ph i chi ti t, l p