Ðề thi thử đại học lần 1 năm 2011 môn: Toán; Khối A + B41738

GD & ðT B C NINH ð THI TH ð I H C L N NĂM 2011 Mơn: TỐN; Kh i A+B (Th i gian: 180 phút, không k th i gian phát ñ ) Ngày thi 10/12/2011 2x + (C) Câu I (2.0 ñi m): Cho hàm s y = x −1 Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s G i M m t m di đ ng (C) có hồnh đ x M > Ti p n t i M c t hai ñư ng ti m c n c a (C) t i A B Tìm M đ di n tích tam giác OAB nh nh t (v i O g c t a ñ ) Câu II (2.0 ñi m) Gi i phương trình: 4(sin x + cos x) + sin 4x = + (1 + tan 2x tan x)sin 4x Gi i h phương trình:  y + + log (2x − y) = 4xy − 4x + 4x − 4xy + y + + log y (1) ( x, y ∈ ℝ )  2  y + = x − x − (2) Câu III (1.0 m) Tìm h s c a s h ng ch a x khai tri n thành ña th c c a bi u th c: P(x) = (1 + x + x ) Câu IV (2.0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a C nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy, góc gi a m t ph ng (SBC) m t ph ng S TRƯ NG THPT LÝ THÁI T ñáy b ng 60o Trên ño n SA l y m t ñi m M cho AM = a , m t ph ng (BCM) c t c nh SD t i N Tính th tích kh i chóp S.BCNM Tính kho ng cách gi a BD SC tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD Câu V (1.0 m): Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m: x + (m + 2)x + ≤ (m − 1) x + 4x ( x ∈ ℝ ) Câu VI (1.0 ñi m) Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy cho tam giác ABC Bi t ñư ng cao k t ñ nh B đư ng phân giác góc A l n lư t có phương trình là: ∆1 : 3x + 4y + 10 = ; ∆ : x − y + = ði m M ( 0;2 ) thu c ñư ng th ng AB ñ ng th i cách C m t kho ng Tìm t a đ đ nh c a tam giác ABC Câu VII (1.0 ñi m) Cho a,b,c s th c dương Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P= − a + b + c + (a + 1)(b + 1)(c + 1) - H t -Cán b coi thi khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: S báo danh: trunglam@gmail.comDeThiMau.vn sent to www.laisac.page.tl S GD & ðT B C NINH ðÁP ÁN – THANG ðI M ð THI TH ð I H C L N NĂM 2011 Mơn: TỐN; Kh i A+B (ðáp án – thang ñi m g m 05 trang) TRƯ NG THPT LÝ THÁI T Câu (1.0 ñi m) Kh o sát … I (2.0 m) • T p xác ñ nh: D = ℝ \ {1} ðáp án ði m < 0, ∀x ≠ 0,25 • S bi n thiên: - Chi u bi n thiên: y ' = −3 ( x − 1) - Hàm s ngh ch bi n kho ng ( −∞;1) (1; +∞ ) - Hàm s khơng có c c tr - Gi i h n ti m c n: lim y = lim y = ; ti m c n ngang y = x →−∞ x →+∞ 0,25 lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ; ti m c n ñ ng x = x →1 - B ng bi n thiên: x x →1 −∞ y y +∞ − ' − 0.25 +∞ −∞ • ð th : y I 0.25 O x (1.0 ñi m) G i M m t ñi m … Gi s M ( x M ; y M ) ∈ ( C ) ; x M > Phương trình ti p n c a ( C ) t i M là: y = −3 ( x M − 1) ( x − xM ) + + - Giao ñi m c a ( d ) v i ti m c n ñ ng ti m c n ngang l n lư t là: (d) xM − 0,25   A  1;2 +  , B ( 2x M − 1;2 ) x M −1   - ð dài ño n th ng AB là: AB = ( x M − 1) xM − DeThiMau.vn +9 0.25 Câu ðáp án I 2x 2M + 2x M − 2x 2M + 2x M − = (2.0 ñi m) - Kho ng cách t O ñ n AB là: d ( O; AB ) = 4 ( x M − ) + ( x M − 1) + S ∆OAB = II (2.0 ñi m) 2x + 2x M − 1 = ( x M − 1) + +6 AB.d ( O; AB ) = M xM − xM − b®t Cauchy ≥ +6 x M >  ⇒ yM = + S ∆OAB nh nh t ⇔  ⇔ xM = +  ( x M − 1) = x −  M   V y ñi m M  + ;2 +      (1.0 ñi m) Gi i phương trình: 0,25 0.25 cos x ≠ (∗) ði u ki n:  cos 2x ≠ V i u ki n trên, phương trình ñã cho cos x   ⇔  − sin 2x  + sin 4x = + ⋅ sin 4x cos x cos 2x   0,25 0,25 ⇔ cos4x + sin 4x = sin 2x ⇔ cos4x + sin 4x = sin 2x 2 π  ⇔ sin  4x +  = sin 2x 6  π π kπ (th a mãn ñi u ki n (∗) ) ⇔ x = − + kπ ho c x = + 12 36 (2.0 m) Gi i h phương trình: 0,25 0,25 x ≥ 1, y > ði u ki n:  2x − y > Pt (1) ⇔ log3 ( 2x − y ) − ði m 0,25 ( 2x − y ) + + ( 2x − y ) = log3 y − y + + y 2 - Xét hàm s : f ( t ) = log3 t − t + + t (v i t > )  t 1  − + 2t = + t2 −  > ∀t > t ln t ln  t2 + t2 +  ⇒ f ( t ) ñ ng bi n ( 0;+∞ ) Do (1) ⇔ f ( 2x − y ) = f ( y ) ⇔ x = y - Ta có: f ' ( t ) = - Thay x = y vào (2) ta ñư c: ( 0,25 x2 + = x2 − x − x2 − ) ⇔ x2 + − + x − − − x2 − = ⇔ x +5 +3 + x−2 x −1 +1 − ( x − )( x + ) = 0,25  x+2  ⇔ (x − 2)  + − ( x + )  = (∗) x −1 +1  x +5 +3  - Do x ≥ nên x+2 < x+2 , < x −1 +1 x +5 +3 x+2 4x + ⇒ + − ( x + 2) < − < x −1 +1 x +5 +3 DeThiMau.vn 0,25 Câu ðáp án ði m Do (∗) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = (tmñk) V y nghi m là: ( x; y ) = ( 2;2 ) III Tìm h s … (1.0 m) Có: P ( x ) = ∑ C 5k ( x + x ) = ∑ C 5k ∑ C ik x k − i ( x ) =∑∑ C 5k C ik x k + i 5 k k =0 i=0 k k =0 i k k =0 i= (0 ≤ i ≤ k) S h ng ch a x5 khai tri n ng v i k, i nghi m c a h : i, k ∈ ℕ, i ≤ k i = i = i = ⇔ ho c  ho c   i + k = k = k = k = 0,25 0,5 V y h s c a s h ng ch a x5 khai tri n P ( x ) là: 0,25 C 55 C 50 + C 54 C14 + C 53 C 32 = 51 IV (1.0 ñi m) Tính th tích kh i chóp S.BCNM (2.0 m) S - Có BC // ( SAD ) mà ( BCM ) ∩ ( SAD ) = MN H ⇒ MN // BC ⇒ ◊ BCMN hình thang BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ BM M N P A V y ◊ BCMN hình thang vuông t i B M D F 0,25 B K C E - Có ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC , ( SAB ) ⊥ BC , ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB , ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SBA = 60o góc gi a ( SBC ) m t ph ng đáy - Có SA = AB tan 60 o = a MN SM AD.SM 4a 2a = ⇒ MN = = , BM = AB + AM = - Có AD SA SA 3 0,25 10a BM ( MN + BC ) = - H SH ⊥ BM SH ⊥ ( BCNM ) (vì ( BCNM ) ⊥ ( SAB ) ) - Di n tích hình thang BCNM là: S BCNM = - Có SH.BM = SM.AB = 2S ∆SBM ⇒ SH = SM.AB =a BM V y th tích kh i chóp S.BCNM là: VS.BCNM 10a 3 = SH.S ◊BCNM = 27 0,25 0,25 (1.0 m) Tính kho ng cách … • Tính kho ng cách gi a BD SC - Qua C k ñư ng th ng ∆ // BD , ∆ ∩ AB = E, ∆ ∩ AD = F ⇒ BD // ( SEF ) Suy d ( BD, SC ) = d ( BD, ( SEF ) ) - K AK ⊥ EF, AK ∩ BD = Q ⇒ Q trung ñi m c a AK Có EF ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SEF ) ⊥ ( SAK ) ; ( SEF ) ∩ ( SAK ) = SK H AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (SEF) DeThiMau.vn 0,25 Câu IV (2.0 ñi m) ðáp án ði m ⇒ d ( BD, ( SEF ) ) = d ( Q, ( SEF ) ) = 1 d ( A, ( SEF ) ) = AP 2 - Có B, D l n lư t trung ñi m c a AE AF ⇒ AE = 2a, AF = 4a AE.AF 4a EF = AE + AF = 2a , mà AK.EF = AE.AF ⇒ AK = = EF 1 31 Xét ∆ASK vng t i A có AP ñư ng cao ⇒ = + = 2 AP SA AK 48a ⇒ d ( BD, SC ) = d ( BD, ( SEF ) ) = 3a AP = 31 31 • Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD ⇒ AP = 3a 0,25 - Có SBC = SAC = SDC = 90o ⇒ ñi m B, A, D n m m t c u đkính SC ⇒ M t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD có đư ng kính SC 1 Bán kính R = SC = SA + AC = 2a 2 Chú ý: H c sinh làm theo phương pháp t a ñ ñúng cho ñi m t i ña 0,25 0,25 V Tìm m đ b t phương trình có nghi m: x + (m + 2)x + ≤ (m − 1) x + 4x (1) (1.0 ñi m) ði u ki n: x + 4x ≥ ⇒ x x + ≥ ⇔ x ≥ ( ) - Nh n th y x = khơng nghi m c a (1) (vì ≤ vô lý) - V i x > , chia hai v c a (1) cho x ta ñư c: 0,25 x2 + x2 + 4 + m + ≤ (m − 1) ⇔ x + − (m − 1) x + + m + ≤ x x x x - ð t t = x+ x ( t ≥ ) Khi đó, (1) tr! thành: t − ( m − 1) t + m + ≤ ⇔ m ≥ (1) có nghi t2 + t + (2) t −1 0,25 m ch" ( ) có nghi m t/m: t ≥ ⇔ m ≥ t ≥2 t2 + t + t −1 t2 + t + [2; +∞) , lim f ( t ) = +∞, f ( ) = t →+∞ t −1  t = −1(lo¹i) t − 2t − ' Ta có: f ' ( t ) = , f (t) = ⇔   t = (tháa m:n) ⇒ f(3) = ( t − 1) - Xét hàm s : f ( t ) = - B ng bi n thiên: t − f ' (t) +∞ 0,25 + +∞ f(t) ⇒ f ( t ) = V y b t phương trình (1) có nghi m m ≥ t ≥2 Tìm t a đ đ"nh c a tam giác ABC VI - G i M ' ñ i x ng c a ñi m M qua ∆ ⇒ M ' ∈ AC (1.0 ñi m) DeThiMau.vn 0,25 Câu ðáp án VI ðư ng th ng MM ' qua M vng góc v i ∆ ⇒ pt MM ' : x + y − = (1.0 ñi m) 1 3 G i I = MM ' ∩ ∆ ⇒ I  ;  I trung ñi m c a MM ' ⇒ M ' (1;1) 2 2 ði m 0,25 - ðt AC ñi qua M ' (1;1) vng góc v i ∆1 nên nh n u ( 3;4 ) VTCP ⇒ phương trình tham s c a AC là: A x = + 3t  y = + 4t Có A = ∆ ∩ AC ⇒ A ( 4;5 ) ∆1 M' 0,25 M ∆2 B - ðư ng th ng AB ñi qua A M nên có pt: C x − y −5 = ⇔ 3x − 4y + = 2−5 −4 1  Có B = AB ∩ ∆1 ⇒ B  −3; −  4  0,25 - ði m C thu c ñư ng th ng AC nên C (1 + 3t;1 + 4t )  t = ⇒ C (1;1)  Có MC = ⇔ MC = ⇔ (1 + 3t ) + ( 4t − 1) = ⇔   31 33  t= ⇒ C ;   25  25 25  1   31 33  V y ñ"nh c a tam giác là: A ( 4;5 ) , B  −3; −  , C (1;1) ho c C  ;  4   25 25  2 VII Tìm giá tr l n nh t … (1.0 m) 1 2 AD bñt Cauchy ta có: a + b + c2 + ≥ ( a + b ) + ( c + 1) ≥ ( a + b + c + 1) 2 d u “ = ” x y ⇔ a = b = c = , ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ≤ ( a + b + c + 3) 0,25 27 - ð t t = a + b + c + ⇒ t > Khi đó: P ≤ Xét hàm s : f(t) = 0,25 d u “ = ” x y ⇔ a = b = c 54 − t ( t + )3 54 162 (1; +∞ ) , f ' ( t ) = − + − t (t + 2) t ( t + )4 0,25 f ' ( t ) = ⇔ t = ⇒ f(4) = ; lim f(t) = 0; f(1) = x →+∞ - B ng bi n thiên: t f' (t) + f(t) +∞ − 0,25 t = Suy ra: a = b = c = (dùng ñi u ki n d u “ = ” x y ra) T b ng bi n thiên ta có: max P = max f(t) = t >1 DeThiMau.vn 0,25 ... n lư t trung ñi m c a AE AF ⇒ AE = 2a, AF = 4a AE.AF 4a EF = AE + AF = 2a , mà AK.EF = AE.AF ⇒ AK = = EF 1 31 Xét ∆ASK vuông t i A có AP đư ng cao ⇒ = + = 2 AP SA AK 4 8a ⇒ d ( BD, SC ) = d... (1; 1) ho c C  ;  4   25 25  2 VII Tìm giá tr l n nh t … (1. 0 ñi m) 1 2 AD bđt Cauchy ta có: a + b + c2 + ≥ ( a + b ) + ( c + 1) ≥ ( a + b + c + 1) 2 d u “ = ” x y ⇔ a = b = c = , ( a +. .. x2 + = x2 − x − x2 − ) ⇔ x2 + − + x − − − x2 − = ⇔ x +5 +3 + x−2 x ? ?1 +1 − ( x − )( x + ) = 0,25  x+2  ⇔ (x − 2)  + − ( x + )  = (∗) x ? ?1 +1  x +5 +3  - Do x ≥ nên x+2 < x+2 , < x ? ?1 +1