Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán lớp 12 bổ túc thpt41525

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03/2014 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm có câu ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y    m  x3  6mx    m  x  có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm m để đường thẳng d: y = - cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; -2), B C cho diện tích tam giác OBC 13 Câu II (4,0 điểm) Giải phương trình: 3cos x  2sin x    x x  y  x  y y  x  y  Giải hệ phương trình:  ( x; y  R ) Câu III (4,0 điểm) Cho số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = m + n + p = Tìm giá trị lớn biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m Giải phương trình log  x  1   log 4  x  log   x  Câu IV (4,0 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn ( x  2)n , biết: An3  8Cn2  Cn1  49, (n  N , n  3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = Gọi I giao điểm (d) (d') Viết phương trình đường thẳng qua I tạo với trục hồnh góc 60o Câu V (4,0 điểm) Đáy ABCD hình chóp S.ABCD hình thoi với cạnh AB = a, ฀ góc BAD  60o Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a a/ Tính thể tích khối chóp cho ฀ b/ Gọi M trung điểm cạnh SC Tính giá trị cos BMD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(2;0;6), C(3;2;0) , D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cách C, D ……………………………… HẾT…………………………………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Câu I KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ( Đề thức ) Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03/2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang Nội dung Ý Khảo sát Khi m =  y  x3  x  x   TXĐ: D = R lim ( x3  x  x  2)   , lim ( x3  x  x  2)   x  x  Điểm (4,0 điểm) (2,0 điểm) 0,50 x  y '  x  12 x     x   BBT: x - y/ y + + - - + 0,50 + -2 Hàm số đồng biến: (-  ; 1),(3;+  ) Hàm số nghịch biến: (1;3) fCĐ = f(1) = fCT = f(3) = -2 Khi y’’ =6x-12=0  x  =>y=0 Khi x=0=>y=-2 x= 4=>y=2 Đồ thị hàm số nhận I(2;0) tâm đối xứng 0,50 0,50 Tìm m để đường thẳng d: y= - cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0;-2), B (2,0 điểm) C cho diện tích tam giác OBC 13 Phương trình hồnh độ giao điểm là:   m  x3  6mx    m  x   2    m  x  6mx    m  x  (1)  x   m  x  6mx    m    x     m  x  6mx    m     Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt A(0;-2), B C phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác ta có điều kiện: 2 m    9m    m     m  2  m  Gọi tọa độ điểm B(xB; -2), C(xC; -2) Đk: xB  xC (xB; xC hai nghiệm phương trình (2)) DeThiMau.vn 0,50 0,50 Gọi h khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d: y + = => h = Theo ta có S OBC  h.BC  13  BC  13   xB  xC   xB xC  13(3) 6m   xB  xC  Theo định lý viét ta có:   m (4)  xB xC  14  m  6m   Thay (4) vào (3) ta được:  13 (tm)   36  13    2m  m  14 II Giải phương trình: 3cos x  2sin x     Phương trình  2cos x   1  cos x     6cos x  cos x    cos x    cos x    2   x   arccos( )  k  (k  Z ) nghiệm  x     k  2  x x  y  x  y y Giải hệ phương trình:  ( x; y  R )  x  y  ĐK: x  0; y  Hệ phương trình tương đương với: x  (x  1) x  (y  8) y    x(x  1)  y(y  8)   y  x  y  x   x  x   x   y  x     y  x  y  3x  22x  45   x  9; x     x  Từ đó, hệ có nghiệm nhất:  y  III 0,50 0,50 (4,0 điểm) (2,0 điểm) 0,50 0,50 0,50 0,50 (2,0 điểm) 0,50 0,75 0,50 0,25 (4,0 điểm) Cho số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = m + n + p = Tìm (2,0 điểm) giá trị lớn biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a.m  b.n  c.p  (a  b  c )(m  n  p )  m  n  p  A  a.m  b.n  c.p  m.n  n.p  p.m  m.n  n.p  p.m  m  n  p DeThiMau.vn 0,50 Đặt: m.n + n.p + p.m = t Ta có: m.n  n.p  p.m  (m  n  p)  25 hay t  25 3 2 2 Và: m + n + p = (m + n + p) – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t Vậy A  25  2t  t  f (t) Ta có: f (t)    0, t  25  f(t) tăng ; 25  3 25  2t  A  f (t)  f 25  25   25  3 3 0,50    m  n  p   Đẳng thức xảy khi:  a  b  c   0,50 Vậy: max A  25  đạt m  n  p  a  b  c  3 Giải phương trình log  x  1   log 2  x  log   x  0,50 x 1  4  x  Điều kiện: 4  x     x  1 4  x   (2,0 điểm) 0,50 (2)  log x    log   x   log   x   log x    log 16  x   log x   log 16  x   x   16  x 0,50 x  + Với 1  x  ta có phương trình x  x  12     x  6  lo¹i  0,50  x   24 + Với 4  x  1 ta có phương trình x  x  20     x   24  lo¹i  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  1   IV Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niutơn ( x  2)n , biết: 0,50 (4,0 điểm) (2,0 điểm) An3  8Cn2  Cn1  49, (n  N , n  3) An3  8Cn2  Cn1  49  n( n  1)( n  2)  8n( n  1)  n  49  n3  n  n  49   n  0,75 Khi đó: ( x  2) n  ( x  2)7   C7k x 2(7  k ) 2k k 0 0,50 Số hạng chứa x  2(7  k )   k  Hệ số x8 C73 23  280 0,25 0,50 DeThiMau.vn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = Gọi I giao điểm (d) (d') Viết (2,0 điểm) phương trình đường thẳng qua I tạo với trục hồnh góc 60o x   3x  4y  25     I  ; 83 Toạ độ điểm I nghiệm hệ  14 15x  8y  41  83  y   14  Gọi  đường thẳng cần tìm, n  (A; B) (A2 + B2 > 0) véc-tơ pháp tuyến   Khi đó, Ox có véc-tơ pháp tuyến j  (0;1) nên từ giả thiết tốn ta có:   | B| cos 60o  cos  n; j     A2 + B2 = 4B2  A2 = 3B2 2 A B  Do A2 + B2 > nên chọn A =  B       Với A = 3, B   Phương trình : x   y  83   14  3x  3y   83   42x  14 3y  18  83  14 Với A = 3, B    Phương trình : x   y  83   14  3x  3y   83   42x  14 3y  18  83  14 Vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn tốn: 1: 42x  14 3y  18  83  , 2: 42x  14 3y  18  83   V     0,50 0,50 0,25 0,25 0.50 (4,0 điểm) Đáy ABCD hình chóp S.ABCD hình thoi với cạnh AB = a, góc (2,0 điểm) ฀ BAD  60o Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a a/ Tính thể tích khối chóp cho ฀ b/ Gọi M trung điểm cạnh SC Tính giá trị cos BMD 0.50 Từ giả thiết suy SAC cân, SBD cạnh a Gọi H = AC  BD  SH đường cao hình chóp S.ABCD Ta có: SH  a ; SABCD  a sin 600  a 2 DeThiMau.vn 0.50 Do đó: V  SABCD SH  a (đvtt) ฀ MBD cân M, MH đường phân giác góc BMD ฀ Đặt BMD  2 Trong SAC, MH đường trung bình  MH  SA AH  a  SH  SHA vuông cân H  SA  a  MH  a 2 2 0.50 ฀ Trong BMH ta có tan   tan BMH  BH  MH   cos 2  cos    Từ đó: cos   0.50  tan  15 ฀ Vậy: cos BMD 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;1); B(2;0;6); C(3;2;0) ; D(7;4;2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cách (2,0 điểm) C, D + Nếu C, D nằm phía với (P) C ,D cách (P) CD//(P) 0,50 AB(1;1;5), CD (4;2;2)  AB, CD  (12;18;6)  n  (2;3;1) vtpt (P) Pt (P) 2( x  1)  3( y  1)  1( z  1)   x  y  z   0,50 + Nếu C,D nằm khác phía với (P) C ,D cách (P) (P) qua trung điểm M(5;3;1) cuả CD 0,50 AB(1;1;5), AM (4;2;0)  AB, AM  (10;20;6)  n(5;10;3) vtpt (P) PT(P)  5( x  1)  10( y  1)  3( z  1)   5 x  10 y  3z   0,50 Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: 2x – 3y – z + = 5x – 10y - 3z + =     Hết -Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm 3) Điểm thi tổng điểm không làm tròn DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Câu I KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ( Đề thức ) Lớp 12 BỔ TÚC THPT Ngày thi: 21/03 /2014 Hướng dẫn chấm gồm có 05... cầu toán là: 2x – 3y – z + = 5x – 10y - 3z + =     Hết -Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu... )   k  Hệ số x8 C73 23  280 0,25 0,50 DeThiMau.vn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = Gọi I giao điểm (d) (d') Viết (2,0 điểm)