Tuyển tạp đề thi học sinh giỏi cấp tính thành 2008 2009 môn Toán44188

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi tỉnh thành 2008-2009 phuchung - 11 Toán- THPT Quốc Học Huế Ngày 11 tháng năm 2009 Mục lục Hải Phòng 1.1 Chọn sinh giỏi không chuyên 1.2 Chọn đội tuyển quốc gia 4 Nghệ An 2.1 Chọn 2.1.1 2.1.2 2.2 Chọn 2.3 Chọn 5 8 đội tuyển quốc gia Vòng Vòng đội tuyển Đại học Vinh học sinh giỏi không chuyên Thừa Thiên Huế 3.1 Chọn học sinh giỏi không chuyên 3.2 Chọn đội tuyển quốc gia 11 Hà Tĩnh 4.1 Chọn học sinh giỏi không chuyên 4.2 Chọn đội tuyển quốc gia 4.2.1 Vòng 4.2.2 Vòng 12 12 12 12 13 Cần Thơ 14 5.1 Vòng 14 5.2 Vòng 16 DeThiMau.vn MỤC LỤC Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 Bà Rịa Vũng Tàu 6.1 Chọn đội tuyển trường chuyên Lê Quý Đôn 17 17 Thanh Hóa 7.1 Vịng 7.2 Vòng 7.3 Lam Sơn 11 18 18 18 19 Hải Dương 20 8.1 Vòng 20 8.2 Vòng 21 Đồng Tháp 22 9.1 Chọn đội tuyển quốc gia 22 10 Tp Hồ Chí Minh 10.1 Tp Hồ Chí Minh 10.2 PTNK ĐHQG 10.2.1 Vòng 10.2.2 Vòng 11 Hà Nội 11.1 Tp Hà Nội 11.2 Đại học sư phạm Hà Nội 11.2.1 Vòng 11.2.2 Vòng 11.3 Đại học KHTN Hà Nội 11.3.1 Vòng 11.3.2 Vòng - Ngày 11.3.3 Vòng - Ngày 23 23 24 24 25 26 26 27 27 28 28 28 29 29 12 Quảng Bình 30 12.1 Vịng 30 12.2 Vòng 31 13 Kon Tum 32 13.1 Chọn đội tuyển quốc gia 32 - - -phuchung- - - DeThiMau.vn Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 MỤC LỤC 14 Vĩnh Phúc 33 14.1 Học sinh giỏi lớp 11 33 15 Bình Định 34 15.1 Học sinh giỏi lớp 12 34 15.2 Học sinh giỏi lớp 11 35 16 Thái Bình 35 16.1 Đề thi học sinh giỏi 12 35 17 Khánh Hòa 37 17.1 Học sinh giỏi bảng B 37 18 Nam Định 38 18.1 Ngày 38 18.2 Ngày 39 - - -phuchung- - - DeThiMau.vn HẢI PHÒNG Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 1.1 Hải Phòng Chọn sinh giỏi không chuyên Bài 1: (3 điểm) 2x + x−2 Chứng minh tiếp tuyến đồ thị lập với đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số thoả mãn tiếp tuyến điểm lập với đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Cho hàm số y = Bài 2: (1 điểm) Cho phương trình: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos2 x) = (1) Chứng minh tồn tam giác có góc thoả mãn phương trình (1) Bài 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác cạnh a, đường cao SA = h Tính thể tích khối chóp S.ABCD Mặt phẳng qua A vng góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự điểm A’, B’, C’ Chứng minh tứ giác AB’C’D’ nội tiếp đường tròn Chứng minh AB’>C’D’ Bài 4: (2 điểm) Cho phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = (1) Biết phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt, hỏi phương trình sau có tối đa nghiệm thực: (ax3 + 21x2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13) Bài 5: (1 điểm) Cho hệ phương trình sau: cos x = x2 y tan y = Chứng minh hệ cho có nghiệm (x; y) thoả mãn < x < y log2 x + log x 4 2 Bài 4: (2 điểm) 11 4n − với số nguyên dương n + + +···+ 2 2n a) Chứng tỏ tử số số hạng liên tiếp un lập thành cấp số cộng b) Hãy biến đổi số hạng thành hiệu liên quan đến số hạng nó, từ rút gọn un tính lim un Cho dãy số un = Bài 5: (3 điểm) a) Tính tổng số chẵn có chữ số viết từ chữ số 1, 2, 3, b) Tìm hệ số số hạng khơng chứa khai triển nhị thức Niu-tơn n √ √ + x x biết tổng hệ số số hạng khai triển x a0 + a1 + a2 + + an = 4096 Bài 6: (3 điểm) Cho cốc nước phần hình nón đỉnh S, đáy có tâm O bán kính R, chiều cao SO = h Trong cốc nước chứa lượng nước có chiều cao a so với đính S Người ta bỏ vào cốc nước viên bi hình cầu nước dâng lên vừa phủ kín cầu Hãy tính bán kính viên bi theo R h - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 10 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 THỪA THIÊN HUẾ Bài 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy ϕ a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy cạnh bên hình chóp b) Mặt phẳng (P) tạo đường thẳng AB đường phân giác góc mặt bên SAB mặt đáy (góc có đỉnh AB) cắt hình chóp theo thiết diện chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 3.2 Chọn đội tuyển quốc gia Bài 1: (4 điểm) Tìm cặp số thực (x;y) cho: 2x + 4y = 32 xy = Bài 2: (6 điểm) Cho khối lăng trụ đứng (L) có cạnh bên 7a Đáy (L) lục giác lồi ABCDEF có tất góc AB = a, CD = 2a, EF = 3a, DE = 4a, F A = 5a, BC = 6a a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ (L) b) Chứng tỏ chia khối lăng trụ (L) thành khối đa diện có khối lăng trụ đáy tam giác ba khối hộp Bài 3: (6 điểm) √ Gọi (C) đồ thị hàm số y = x3 − 2x dựng mặt phẳng tọa độ Oxy a) Chứng tỏ hình bình hành có tất đỉnh nằm (C) tâm hình bình hành gốc tọa độ O b) Hỏi có hình vng có tất đỉnh nằm (C) Bài 4: (4 điểm) a) Cho tập hợp S có n phần tử Chứng minh có 3n cặp có thứ tự (X1 ; X2 ) với X1 X2 tập S thỏa mãn điều kiện X1 ∪ X2 = S b) Hỏi có cách thành lập tập hợp {A; B}, A B hai tập hợp khác cho A ∪ B = {1, 2, 3, , 2008} - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 11 HÀ TĨNH Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 4.1 Hà Tĩnh Chọn học sinh giỏi khơng chun Bài : a/Tìm giá trị m để hàm số y = x3 − 3(m − 1)x √ + 3(2m + 1)x + đạt cực đại, cực tiểu (x1 ; x2 ) cho |x1 − x2 | ≤ √ b/Tìm m để phương trình có nghiệm :(m − 1)x = (m − 2)( x − 1) Bài : Giải hệ phương trình:  y4 −  x − 16 = 8x y  x − 2xy + y = Bài : Nhận dạng tam giác: √ √ √ sinA + sinB + sinC = cos A + cos B + cos C Bài 4: Hình chóp tứ giác đêu S.ABCD có góc mặt bên đáy α.Vẽ đường cao SH hình chóp,Gọi E điêm thuộc SH có khoảng cách tới mặt(ABCD) (SCD) nhau.mp(P) qua E,C,D cắt SA,SB M,N a/Thiết diện hình gì? b/Gọi thể tích khối đa diện S.NMCD ABCDNM V1 , V2 Tìm α để 3V2 = 5V1 Bài : Cho x, y, z ≥ thỏa x + y + z = 1.TÌM GTNN của: P = 4.2 4.2.1 1−x + 1+x 1−y + 1+y 1−z 1+z Chọn đội tuyển quốc gia Vòng Bài : Giả sử đồ thị hàm số - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 12 HÀ TĨNH Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x1 , x2 , x3 với x1 < x2 < x3 Chứng minh: < x1 < < x2 < < x3 < Bài : Giải phương trình: cot6 x + 3(1 − cos 2x ) =7 sin2 x Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Các tia đối tia BA, DA, CB, CD tiếp xúc với đường tròn (I; r) Đặt d = OI Chứng minh rằng: 1 = + r2 (d + R)2 (d − R)2 Bài 4: Tìm tất hàm f : R → R, g : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau: 1)∀x, y ∈ R 2f (x) − g(x) = f (y) − y 2) ∀x ∈ R f (x).g(x) ≥ x + Bài : Dãy số (xn ) với n = 1, 2, 3, xác định bởi: x1 = 3, xn+1 = x2n − xn + 2∀n ∈ N ∗ Tìm giới hạn dãy Sn = 4.2.2 i=1 xi n Vòng Bài 1: 1) Giải phương trình: x2 − 10[x] + = 2) Giải bất phương trình: √ √ √ x3 − x2 + x − < + −x + - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 13 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 CẦN THƠ Bài 2: x2 − −1 , xn+1 = n với n = 1, 2, 3, 2 Tìm giới hạn dãy (xn )∞ n=1 n → ∞ Cho dãy (xn )∞ n=1 biết x1 = Bài 3: Cho hàm f : N → N thoả mãn tính chất f (f (n)) + f (n) = 2n + 3∀n ∈ N Tính f (2008) Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Đường thẳng d cắt cạnh AB, AC M, N 1) Chứng minh đường thẳng d qua I AB + BC + CA 1 = + AB.AC AM AN 2) K điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, K thuộc cung BC không chứa điểm A (K khác B, C) Các tia phân giác góc ˆ CKA ˆ cắt cạnh AB, AC D, E Chứng minh DE BKA, luôn qua I K thay đổi Bài 5: √ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 13 sin x + cos2 x − cos x + với x ∈ [0; π] Bài 6: Cho p số nguyên tố Chứng minh đa thức sau bất khả quy Z[x]: xp−1 + 2xp−2 + 3xp−3 + + (p − 1)x + p 5.1 Cần Thơ Vòng Bài 1: ( 2.5 điểm ) Giải phương trình sau R: - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 14 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 CẦN THƠ x4 − 6x2 − 12x − = Bài 2: ( 2.5 điểm ) Giải hệ phương trình sau R: y − xy + = x2 + y + 2x + 2y + = Bài 3: ( điểm ) ˆ = 135o , Trong mặt phẳng cho tam giác ABC , có AB = a , AC = b , BAC o ˆ = 45 Tính độ dài điểm M nằm cạnh BC tam giác cho BAM AM theo a,b Bài 4: ( điểm ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , trọng tâm tam giác ABC G , trung điểm SG I Mặt phẳng (α) qua I cắt tia SA , SB , SC M , N , P (khơng trùng với S) Xác định vị trí mặt phẳng (α) để thể tích khối chóp S.MNP nhỏ Bài 5: ( điểm ) Trong không gian cho hình chóp S.ABC , T điểm thay đổi mặt phẳng ABC Đường thẳng qua T song song với đường thẳng SA cắt mặt phẳng (SBC) A’ Đường thẳng qua T song song với đường thẳng SB cắt mặt phẳng (SBC) B’ Đường thẳng qua T song song với đường thẳng SC cắt mặt phẳng (SBC) C’ Mặt phẳng (A’B’C’) cắt đường thẳng ST điểm I SI Chứng minh tỷ số không thay đổi điểm T thay đổi mặt đáy ST ABC mặt đáy ABC hình chóp S.ABC Bài 6: ( điểm ) Cho đa thức với hệ số thực P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, biết phương trình P (x) = khơng có nghiệm thực Chứng minh F (x) = P (x) + P ′ (x) + P ′′ (x) + P ′′′ (x) + P (4) (x) > với số thực x - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 15 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 CẦN THƠ Bài 7: ( điểm ) Cho n√số thực a1 ,√ a2 , , an khác √ , đơi phân biệt Chứng minh phương trình + a1 x + + a2 x + + + an x = n có khơng có hai nghiệm thực phân biệt 5.2 Vòng Bài 1: ( điểm ) Tìm tất nghiệm thực phương trình : √ x2 + 5x − 10 = 60 − 24x − 5x2 Bài 2: ( điểm ) Cho số thực dương a , b , c Chứng minh bất đẳng thức : (b − c − a)2 (c − a − b)2 (a − b − c)2 + + ≥ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 Bài 3: ( điểm ) Trong mặt phẳng cho tam giác AEF hình chữ nhật ABCD Các đỉnh E , F tam giác nằm cạnh BC , CD hình chữ nhật ABCD Chứng minh tổng diện tích hai tam giác ABE ADF diện tích tam giác CEF Bài 4: ( điểm ) √ Cho hàm số f (x) = (x3 − 3x2 + 2) x2 − 2x + Chứng minh với số thực m , hệ phương trình sau ln có nghiệm thực : f (2008) (x) + f (2008) (y) = x2 − my = − m Bài 5: ( điểm ) Cho dãy số thực (an ) xác định công thức truy hồi:    a1 = a2n   an+1 = an − a2n + Chứng minh a1 + a2 + + an ≤ với số nguyên dương n Bài 6: ( điểm ) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn : - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 16 BÀ RỊA VŨNG TÀU Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 2008x3 − 3xy + 2008y = 2009 6.1 Bà Rịa Vũng Tàu Chọn đội tuyển trường chuyên Lê Q Đơn Bài 1: Giải hệ phương trình: x2 + y + z = yz + 18 = 2zx − = 3xy + x y z Bài 2: Cho dãy số xác định x1 = 1; xn+1 = dãy số có giới hạn hữu hạn − 2008 Chứng minh + 1) 2(x2n Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Gọi I điểm cung BC không chứa điểm A K trung điểm BC Hai tiếp tuyến (O) B, C cắt M; AM cắt BC N Chứng minh rằng: 1) AI phân giác góc M AK AB NB = 2) NC AC Bài 4: Tìm tất hàm số liên tục R thỏa mãn: f (x) − 2f (2x) + f (4x) = x2 + x với x Bài 5: Cho a, b, c số không âm phân biệt Chứng minh rằng: √ 1 11 + 5 (a + b + c )( + + )≥ (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 2 2 Bài 6: Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ vng đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 17 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 THANH HÓA S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho trùng với vị trí bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) 7.1 Thanh Hóa Vòng Bài 1: (5 điểm) a) Giải bất phương trình: −4 3x + (x2 − 4).3x−2 ≥ b) Xác định tất hàm số f (x) : R → R thoả mãn: f (x) = max {2xy − f (y)} , ∀x ∈ R y∈R Bài 2: (4 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập khơng phải tập hợp gồm phần tử Bài 3: (5 điểm) Cho hàm số: f (x) = xn + 29xn−1 + 2009 với n ∈ N, n ≥ Chứng minh f (x) khơng thể phân tích thành tích đa thức hệ số ngun có bậc lớn Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC, D điểm tia đối tia CB Đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD cắt P Q Chứng minh đường thằng P Q qua điểm cố định D thay đổi 7.2 Vịng Bài 1: Giải phương trình: log3 2x + + log5 4x + + log7 6x + = 3x - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 18 Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 THANH HÓA Bài 2: Chứng minh với số dương a1 , a2 , an thoản mãn a1 a2 an = Ta có bất đẳng thức: √ a21 + + + a2n + ≤ 2(a1 + + an ) Bài 3: Tìm tất cặp số nguyên dương (x,y) cho: x29 − = y 12 − x−1 Bài 4: Đường tròn (w) tiếp xúc với hai cạnh AB,ÂC tam giác cân ABC cắt cạnh BC K,L Đoạn K,L cắt (w) điểm thứ hai M P,Q tương ứng đối xứng với K qua B,C Chứng minh đường tròn ngoại tiếp PMQ tiếp xúc với (w) 7.3 Lam Sơn 11 Bài 1: √ √ Giải phương trình: x + − x2 = + x − x2 Bài 2: Giải hệ phương trình: 2y(x2 − y ) = 3x x(x2 + y ) = 10y Bài 3: Cho tam giác ABC , M trung điểm BC H trực tâm Chứng minh rằng: M A2 + M H = AH + BC 2 Bài 4: √ √ Cho phương trình: sinx + − sinx2 + sinx − sinx2 = m 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 19 HẢI DƯƠNG Tuyển tập đề thi HSG 2008-2009 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = So sánh : u2008 u2009 ; n = 1, 2, 3, un+1 = + un Bài 6: Có tất số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số Bài 7: Chứng minh ước nguyên dương lẻ số 32009 + có dạng 3k + 8.1 Hải Dương Vòng Bài 1: (2 điểm) a)Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = ( x + m)3 − x + cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ lớn b)Cho hàm số y = 2cos2 x + 2sinxcosx + mx Tìm điều kiện tham số m để hàm số có cực trị Bài 2: (2,5 điểm) a)Cho đa thức: 2009 P (x) = C2009 + 2C2009 (2x) + 3C2009 (2x)2 + + 2009C2009 (2x)2008 Tính tổng hệ số bậc lẻ đa thức cho b)Giải hệ phương trình:  x  = 2y + + 2log5 (4y + 1) 5y = 2z + + 2log5 (4z + 1)  z = 2x + + 2log5 (4x + 1) Bài 3: (2 điểm) a)Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b ; góc (AB, CD) = α,khoảng cách AB CD d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, d α b)Trong tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc thể tích - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 20 ... 33 15 Bình Định 34 15.1 Học sinh giỏi lớp 12 34 15.2 Học sinh giỏi lớp 11 35 16 Thái Bình 35 16.1 Đề thi học sinh giỏi 12 ... có cách thành lập tập hợp {A; B}, A B hai tập hợp khác cho A ∪ B = {1, 2, 3, , 2008} - - -phuchung- - - DeThiMau.vn 11 HÀ TĨNH Tuyển tập đề thi HSG 2008- 2009 4.1 Hà Tĩnh Chọn học sinh giỏi khơng... 13 Kon Tum 32 13.1 Chọn đội tuyển quốc gia 32 - - -phuchung- - - DeThiMau.vn Tuyển tập đề thi HSG 2008- 2009 MỤC LỤC 14 Vĩnh Phúc 33 14.1 Học sinh giỏi lớp 11