PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN cos23 = a CĨ NHIỀU VẬN DỤNG Nguyễn Lái GVTHPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH Xét phương trình : cos23 = a (0 a 1) (1) Ứng với giá trị a [0;1] , giả sử = x nghiệm phương trình (1) nghĩa cos23x = a ( ) = ( - x) = ( +x) nghiệm phương trình (1) , cos23( 3 - x) = cos23x = a ; cos23( + x) = cos23x = a Phương trình (1) viết lại : (4cos3 - 3cos)2 = a 16cos6 - 24cos4 + 9cos2 - a = Đặt t = cos2, t 0; 1 Phương trình trở thành: 16t3 – 24t2 + 9t – a = (2) Nhận xét : Nếu = x nghiệm phương trình (1) : t1 = cos2x ;t2 = cos2( - x ) ; t3 = cos2( + x) nghiệm phương trình (2) ngược lại 3 Từ phương trình (2) theo định lý Viét ta có: t1+t2+t3 = ; t1.t2+t2.t3+t3.t1 = ; 16 t1.t2.t3 = Từ ta có nhiều vận dụng lý thú sau: Ví dụ Chứng minh biểu thức sau độc lập với x , S1 = cos2x+cos2( - x) +cos2( + x) S2= cos2x.cos2( 3 S3= cos4x + cos4( 3 - x) + cos2( - x) +cos4( Lời giải :Ta có S1 = cos2x+cos2( - x) cos2( a 16 + x) + cos2( + x).cos2x + x) - x) +cos2( + x) = t1+t2+t3 = 16 3 3 S3= cos4x+cos4( - x)+cos4( +x)= t12+t22+t32 = (t1 + t2 + t3)2 –2(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) = 3 63 Ví dụ 2:Chứng minh : cos6 cos6 cos 18 18 18 64 S2= cos2x.cos2( - x)+cos2( Lời giải :Ta có cos6x + cos6( - x).cos2( + x)+cos2( - x) + cos6( + x).cos2x = t1.t2+t2.t3+t3.t1 = +x) = t13 + t23 + t33 = 27 3a (*) 32 16 Cho x từ phương trình (1) ta có : cos (3 ) a a 18 18 27 3 63 Vậy (*) tương đương: cos cos cos 18 18 18 32 16 64 =(t1 + t2 + t3)3 –3(t1 + t2 + t3)(t1 t2 + t2 t3 + t3 t1) + 3t1 t2 t3 = Ví dụ : Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số : DeThiMau.vn cos x cos x cos x 3 3 y cos x cos x cos x 3 3 Lời giải :Như trên,ta có :cos4x + cos4( + x) +cos4( - x) = 27 a cos6x + cos6( + x) + cos6( - x) = 3 32 16 cos x cos x cos x 27 3.a 27 3 3 32 16 32 Do : y = 9 4 4 cos x cos x cos x 8 3 3 Đẳng thức xảy ch? a = cos23x = x = +k ( k Z ) cos x cos x cos x 27 3.a 27 32 16 32 16 11 3 3 Mặt khác y = 9 12 cos x cos x cos x 8 3 3 Đẳng thức xảy a = cos23x = x = k ( k Z ) 11 Vậy : GTNN : y = x = +k ; GTLN: y = x = k ( k Z ) 12 3 Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau có nghiệm: cos x 1 m cos x 3 Lời giải :Điều kiện : t1 = cos2x t2 = cos2( + x) ; t3 = cos2( - x) 3 a 24 16 ( < a ) Từ phương trình (2) a phương trình viết lại t t t hay : aX3 - X2 + 24X - 16 = ( với X = ) (3) t cos x 3 6 Theo định lý Viét cho phương trình (3)vế trái phương trình cho là: cos x cos x 3 cos x 3 t1 t2 t3 X X X X X X 3 3 24 48 729 648 48 9 Do 3 X X X X X X X X X 3X X X a a a a a a a 729 648 48 phương trình trở thành : m a a a 729 648 48 Đặt f(a) = hàm số ẩn a xác định ( ; ] a a a 48a 1296a 2187 Ta có đạo hàm: f’(a)= a4 Lập bảng biến thiên ta có :f’(a) ; a (0;1] f(a) nghịch biến (0 ; ] f(a) f(1) = 129 DeThiMau.vn Mặt khác : lim f ( x) a 0 Do để phương trình cho có nghiệm m [ 129 ; +) Mời bạn tiếp tục giải toán sau: Bài 1: (Được đăng Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ) Cho số thực liên tiếp: a,b,c lập thành cấp số cộng có cơng sai Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 1 6 cos a cos b cos c Cho dãy cấp số cộng có 2007 số hạng x1, x2, x3 , x2007 Cấp số cộng 2007 10035 có cơng sai thoả mãn điều kiện cos6 xi Bài 2: i 1 16 Tính số hạng x2007 dãy,biết số hạng x1 số dương nhỏ Bài : Giải hệ phương trình : 64.8 1 x 2009 x y 1 y x 96.4 x y 36.2 x y 3.27 y DeThiMau.vn ... a a a a a a ? ?a? ?? 729 648 48 phương trình trở thành : m a a a 729 648 48 Đặt f (a) = hàm số ẩn a xác định ( ; ] a a a 4 8a 129 6a 2187 Ta có đạo hàm: f’ (a )= a4 Lập bảng... :Điều kiện : t1 = cos2x t2 = cos2( + x) ; t3 = cos2( - x) 3 a 24 16 ( < a ) Từ phương trình (2) a phương trình viết lại t t t hay : aX3 - X2 + 24X - 16 = ( với X = ) (3) t ... 3 Đẳng thức xảy a = cos23x = x = k ( k Z ) 11 Vậy : GTNN : y = x = +k ; GTLN: y = x = k ( k Z ) 12 3 Ví dụ 4: Định tham số m để phương trình sau có nghiệm: cos x 1