Một số đề luyện thi đại học môn Toán40934

TRƯỜNG THPT HÀ VĂN MAO ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2008 Thời gian làm bài: 180 phút 2x2 Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số y  x 1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số   Tìm    0;  cho điểm M 1  sin  ;9  nằm đồ thị (C) Chứng minh rằng, tiếp  2 tuyến (C) điểm M cắt hai tiệm cận (C) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Câu (2 điểm) Giải phương trình: cotg x  8cos x  3sin x Giải phương trình: x   x  1 x   2 x  x   x  Câu (3 điểm) Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) hai đường thẳng: (d1): x – y + = ( d2): 2x + y – = Tìm điểm B thuộc đường thẳng d1, điểm C thuộc đường thẳng d2 cho ABC vuông A M trung điểm BC  x   2t  Cho hai đường thẳng: 1 :  y  2  5t  z  2t  2 x  y  z   2 :   y  3z   a Chứng minh 1 ,  hai đường thẳng chéo b Viết phương trình đường thẳng  cắt hai đường thẳng 1 ,  vng góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + y – 2z + = Câu (2 điểm) x  27 x  x  dx x2  Tính tích phân I   Chứng minh rằng: 2Cn1  4Cn2  6Cn3   2nCnn  2n.n (n số nguyên dương, Cnk tổ hợp chập k n phần tử) Câu (1 điểm) Cho x, y z số dương x  y  z  x yx Chứng minh rằng: 1    x  y y  2z z  2x *********Hết********* DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Học sinh tự khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Điểm M 1  sin  ;9  nằm đồ thị (C) nên: sin     2sin   5sin      sin   1  sin    1  sin   2    Do    0;  nên sin       2 3  Khi đó, điểm M có tọa độ: M  ;9  2  Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: 3   y   y '    x   hay y  6 x  18 (d) 2   Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận đứng x = tại: A(1; 12) Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm (x; y) hệ phương trình:  y  6 x  18  x    B  2;6    y  2x  y  Ta thấy:  x A  xB    xM   y A  yB   y M  Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) Câu Điều kiện: sinx ≠ Phương trình cho: cotg x  8cos x  3sin x   cotg x  cos x  6sin x cos x  sin x    3cos x  sin x  sin x   sin x  3cos x  sin x      3cos x  sin x   sin x DeThiMau.vn 3sin x cos x  sin x    3sin x cos x  sin x   cos x  3sin x  cos x     tan x  tan x   cos x    tan x     tan x     tan x  1    x   k  x    k 1   , k  Z , tan   , tan    x    k   x     k  Điều kiện: x   Với điều kiên đó, phương trình cho tương đương với:    x  x    x  1 x    x  1    x  1      x  1 x     x      x  1  x     x   x    2  x  1  x     x   x    x  1  x    x  nghiệm phương trình  x   x  Câu B thuộc đường thẳng d1 nên B(b; b+1); C thuộc đường thẳng d2 nên C(c; - 2c + 3)   Do vậy: AB  b  1; b  1 AB  b  1; b  1   ABC vuông A AB AC    b  1 c  1   b  1 2c  1  b    b  1 c     c  *Với b = B(1; 2)  A(1; 2) (loại) DeThiMau.vn *Với c = C(0; 3), M trung điểm BC nên:  xB  xM  xC  2  B  2; 1  d1   yB  yM  yC  1 Vậy, hai điểm cần tìm là: B(- 2; - 1), C(0; 3)  1 qua điểm M1(2; - 2; 0) có véc tơ phương u1   2;5; 2   2 qua điểm M2(- 5; - 5; 0) có véc tơ phương u2   2;3;1    2 2 2 Ta có: u1 ; u2  M 1M   7    3   59  1 2 Vậy: 1 ,  hai đường thẳng chéo  Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n   2;1; 2  Gọi (Q) mặt phẳng chứa 1 vng góc với mặt phẳng (P), (R) mặt phẳng chứa 2 vng góc với mặt phẳng (P)   Mặt phẳng (Q) qua M1 có véc tơ pháp tuyến u1 ; n  , phương trình mặt phẳng (Q) là: 2 2 2  x  2   x  3   z  0  2 2 2  x z20   Mặt phẳng (R) qua M2 có véc tơ pháp tuyến u2 ; n  , phương trình mặt phẳng (R) là: 1 2  x  5   x  5   z  0  2 2 2  7 x  y  z   Do 1 ,  hai đường thẳng chéo nên hai mặt phẳng (Q) (R) không song song trùng nhau, hay mp(Q) mp(R) cắt theo giao tuyến đường thẳng , rõ ràng đường thẳng  cắt hai đường thẳng 1 ,  vng góc với mặt phẳng (P) Phương trình đường thẳng  cần lập là: x  z    7 x  y  z   Câu x  27 x  x  xdx dx dx   x dx    2 x 9 x 9 x 9 0 Ta có I   DeThiMau.vn 3 *  x dx  x3  27 0   xdx d x 9    ln x  * 2 x 9 x 9 3 * Xét: x    ln 2 dx 9    Đặt x  tan t , t    ;   2 Khi x = t = Khi x = t  dx     dt   tan t dt cos t      tan t dt  14    dt  t  30 12 dx  Do đó:  x 9 tan t   0  Vậy: I  27  ln  12 Ta có, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn: 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n Đạo hàm theo biến x hai vế ta được: n 1  x  n 1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 Thay x = 1, ta lại có: n 1  1 n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3 12   nCnn 1n 1   2.2n 1 n  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn   2n.n  2Cn1  4Cn2  6Cn3   2nCnn (điều phải chứng minh) Câu Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, dễ dàng chứng minh được:  1   x  y    y  z    z  x      9  x  y y  2z z  2x   1     x  y y  2z z  2x  x  y    y  2z    z  2x x  y  z Vậy: DeThiMau.vn x yz 1     x  y  z  x  y y  2z z  2x x yz Đặt t = x + y + z, xét hàm số: f  t   t  Có f '  t    3 với  t  t t2   3   0, t   0;  t t  2 Do đó,  t  Hay: x  y  z  3 3 f  t   f      2 2 1    x  y y  2z z  2x Dấu đẳng thức xảy khi: x  y  y  2z  z  2x  x yz   x  y  z  Hết - DeThiMau.vn ...HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Học sinh tự khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Điểm M 1  sin  ;9  nằm đồ thị (C) nên: sin     2sin   5sin  ...  y    y  2z    z  2x x  y  z Vậy: DeThiMau.vn x yz 1     x  y  z  x  y y  2z z  2x x yz Đặt t = x + y + z, xét hàm số: f  t   t  Có f '  t    3 với  t  t... 1   b  1 2c  1  b    b  1 c     c  *Với b = B(1; 2)  A(1; 2) (loại) DeThiMau.vn *Với c = C(0; 3), M trung điểm BC nên:  xB  xM  xC  2  B  2; 1  d1   yB 