PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán Thời gian làm 150 phút Câu 1: a) Tính giá trị đa thức f ( x) ( x 3x 1) 2016 x b) So sánh 2017 20162 2.2016 2017 20162 sin x cos x c) Tính giá trị biểu thức: sin x.cos x với 00 < x < 900 cot x tan x d) Biết số vơ tỉ, tìm số ngun a, b thỏa mãn: 9 20 ab ab Câu 2: Giải phương trình sau: x 1 x a) x x 1 b) x 5x x Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 – = c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số Câu 4: a) Chứng minh a b4 ab3 a 3b a 2b 2 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + =2 a+b+1 b+c+1 c+a+1 Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vng góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi ) ThuVienDeThi.com SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2016 – 2017 MơnTốn (Thời gian làm 150 phút) Câu Câu Ý a) Đáp án x 9 2 9 2 2 42 4 98 1 =9 52 52 22 f ( x) f (1) b) Ta có c) d) 20152 20142 ( 2017 20162 1)( 2017 20162 1) 2017 20162 (20152 1) (20142 1) 2017 20162 (2017 2016)(2017 2016) 2 2 2017 2016 2017 2016 2017 20162 2017 2016 2.2016 2017 20162 2017 20162 2.2016 Vậy 2017 20162 > 2017 20162 sin x cos x sin x.cos x cos x sin x 1 1 s inx cos x sin x cos3 x sin x.cos x c osx 1+sinx sinx cos x sin x sinx.cos x cos2 x sin x cos3 x sin x.cos x sin x.cos x sinx c osx sinx c osx sin x.cos x sin x.cos x ĐK: a b (*) 9 20 ab ab 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) 9a 45b a 5(20a 100b 5b) (*) Ta thấy (*) có dạng A B A, B Q , B thi A I vơ lí B B = => A= Câu a) 9a 45b a 9a 45b a 9a 45b a Do (*) 9 2 20a 100b 5b 9a 45b b a b 4 a a a b (không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b = hoac b b 4b b ĐK x 1; x (**) ThuVienDeThi.com x 1 x (2) x x 1 x3 x3 ( x 3)( x 1) + Trường hợp : x + = x 3 (TMĐK (**) + Trường hợp : x + x 3 Ta có (x-3)(x-1) = x x x x ( x 2) x hoac x (TMĐK (*)) Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3; ; } b) ĐK: x (***) x 6x x x x 3 x x x 3 x 1 x x (thỏa mãn ĐK(***)) x Vậy nghiệm phương trình x = Câu Ta có: P(0) = d a) P(1) = a + b + c + d => a + b + c (1) P(-1) = -a + b – c + d => -a + b – c (2) Từ (1) (2) suy 2b => b (2,5) = 1, suy a + c P(2) = 8a + 4b + 2c + d => 8a + 2c => a => c b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2 Vì ( 2x – y )2 nên 16 – 3y2 y2 y2 { 0; 1; } - Nếu y2 = x2 = x = - Nếu y2 = ( 2x – y )2 = 13 không số phương nên loại y2 = - Nếu y2 = y = + Khi y = x = x = + Khi y = - x = x = - Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = ( - 2; ); ( 2; ); ( 0; ); ( 2; ); ( 0; - ); ( - 2; -2 ) c) - Nếu n số chẵn n4 + 4n số chẵn lớn nên hợp số - Nếu n số lẻ, đặt n = 2k + với k số tự nhiên lớn n4 + 42k + = (n2)2 + (2.4k )2 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k ThuVienDeThi.com = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k) Vì + + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k = (n – 2k)2 + 4k > 4 2k + Suy n + hợp số n Vậy n + hợp số với số tự nhiên n lớn a b4 Giả sử ta có ab3 a 3b a 2b 2 4 a b 2ab 2a 3b 2a 2b a b 2ab3 2a 3b 2a 2b a 2a 3b a 2b b 2ab3 a 2b n2 Câu a) 2.4k a ab b ab với a, b 2 a b4 ab3 a 3b a 2b với a, b Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z số thực dương 1 + + =2 Ta có x+1 y+1 z+1 1 1 y z 2 1 1 x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y+1 z+1 Vậy b) y z 2 x+1 y+1 z+1 (Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số dương Chứng minh tương tự ta có y z ) y+1 z+1 x z y x 2 2 y+1 x+1 z+1 z+1 y+1 x+1 1 y z x z x y 2 2 2 x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 x+1 z+1 x+1 y+1 1 xyz 8 x+1 y+1 z+1 x 1 y 1z 1 Suy Dấu “ = ” xẩy x y z x yz x+1 y+1 y+1 abc xyz Vậy giá trị lớn tích ( a + b )( b + c )( c + a) ThuVienDeThi.com Câu A I K F N H M E B C D a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tac có: AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2 Suy ra: AE.AB = AF.AC b) AD AD AD Biểu thị : tanB = ; tanC = ; tanB.tanC = BD CD BD.CD Biểu thị được: CD BD BD.CD ; tanC = tan DHB ; tanB.tanC = HD HD HD AD AD 2 Suy : (tanB.tanC) = => tanB.tanC = =3 HD HD tanB = tan DHC c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK BM BD BE ME / /IK M EF MI DC EK Tương tự chứng minh N EF suy điểm E, M, N, F thẳng hàng Chứng minh được: Tổng Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ... 2017 20162 1)( 2017 20162 1) 2017 20162 (20152 1) (20142 1) 2017 20162 (2017 2016) (2017 2016) 2 2 2017 2016 2017 2016 2017 20162 2017 2016. .. 2016 2017 2016 2017 20162 2017 2016 2 .2016 2017 20162 2017 20162 2 .2016 Vậy 2017 20162 > 2017 20162 sin x cos x sin x.cos x cos x sin x 1 1 s...SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2016 – 2017 MơnTốn (Thời gian làm 150 phút) Câu Câu Ý a) Đáp án x 9