Toán học Hàm phần nguyên và ứng dụng39856

B GIÁO D C VÀ ÀO T O TR NG I H C THÁI NGUYÊN I H C KHOA H C NGUY N TH H NG H NH HÀM PH N NGUYÊN NG D NG VÀ Chuyên ngành: Ph ng pháp Toán s c p Mã s : 60.46.40 LU N V N TH C S TOÁN H C Ng i h ng d n khoa h c: PGS TS T Duy Ph ng THÁI NGUYÊN - 2010 S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn M CL C Trang Các kí hi u L i nói đ u 3-4 Ch ng Các ki n th c c b n v hàm ph n nguyên .5 §1 Khái ni m v ph n nguyên §2 Các tính ch t c b n c a ph n nguyên .6 §3 Hàm ph n nguyên đ th c a hàm ph n nguyên 11 Ch ng Ph n nguyên toán s h c đ i s 16 §1 Ph n nguyên toán s h c 16 §2 Tính giá tr c a m t s ho c m t bi u th c ch a ph n nguyên 27 §3 Ch ng minh h th c ch a ph n nguyên 31 §4 Ph Ch ng trình h ph ng trình ch a ph n nguyên .32 ng Ph n ngun tốn gi i tích 49 §1 M t s tính ch t gi i tích c a dãy ch a ph n nguyên 49 §2 Tính t ng h u h n c a dãy ch a ph n nguyên 53 §3 Tính gi i h n c a dãy ch a ph n d .…… .56 §4 Hàm s ch a ph n nguyên …… … .62 §5 Chu i s ch a ph n nguyên … … .67 K t lu n 77 Tài li u tham kh o 78 S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn CÁC KÝ HI U Trong cu n lu n v n ta s d ng ký hi u sau: T p s th c đ c ký hi u  T p s th c không âm đ T p s h u t đ T p s nguyên đ T p s t nhiên đ T p s nguyên d c ký hi u   c ký hi u  c ký hi u   { , -2, -1, 0,1, 2, } c ký hi u   {1, 2, 3, } ng đ S hóa b i Trung tâm H c li u - c ký hi u   ho c  i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn L I NĨI U Do tính đ c đáo c a hàm ph n nguyên, thí d , hàm ph n nguyên v a đ n gi n (là hàm h ng t ng khúc) l i v a ph c t p (gián đo n t i m ngun nên khó áp d ng cơng c c a gi i tích), nhi u tốn hay v ph n nguyên đ c s d ng làm đ thi h c sinh gi i c p, có r t nhi u đ thi h c sinh gi i qu c gia Olympic qu c t M t khác, hàm ph n nguyên có nh ng ng d ng quan tr ng khơng ch tốn h c ph thơng, mà cịn nhi u v n đ c a tốn ng d ng cơng ngh thơng tin (làm trịn s , tính g n đúng, ) Ph n nguyên c ng th hi n s k t n i gi a tính liên t c tính r i r c, gi a tốn gi i tích tốn r i r c nên thú v Lí thuy t t p v ph n nguyên r i rác có sách t p chí, th m chí nh ng chuyên đ m t s sách v s h c (xem [3], [5], [8]) Tuy nhiên, hình nh ch a có m t cu n sách vi t đ phong phú t ng h p v ph n ngun ó lí đ tác gi ch n đ tài làm lu n v n cao h c Lu n v n Hàm ph n ngun ng d ng có m c đích trình bày ki n th c c b n c a hàm ph n nguyên ng d ng c a gi i tốn s c p, c th s h c, đ i s gi i tích (tốn chia h t, gi i ph ng trình, tính ch t c a dãy, tính gi i h n, tính t ng c a dãy, chu i, ch a ph n nguyên) ng th i lu n v n c ng trình bày m i quan h m t thi t c a ph n nguyên v i d ng toán khác (dãy truy h i, nh th c Newton, h đ m, ) c bi t lu n v n t p h p m t kh i l ng l n tốn thi vơ đ ch qu c gia qu c t minh h a cho lí thuy t v ph n nguyên Lu n v n g m ba ch Ch ng ng trình bày đ nh ngh a tính ch t c b n c a hàm ph n nguyên đ th c a hàm ph n nguyên S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch ng trình bày m t s d ng toán ch a ph n nguyên s h c đ i s (toán chia h t; tính tốn ch ng minh h th c ch a ph n nguyên; gi i ph Ch ng trình h ph ng trình ch a ph n nguyên; ) ng trình bày m t s d ng toán ch a ph n nguyên gi i tích (các tính ch t nh tính b ch n, tính tu n hồn c a dãy s ; tìm s h ng tính gi i h n c a dãy s , tính t ng h u h n c a dãy s , tính t ng c a chu i ch a ph n nguyên, ) Nhi u ví d tốn t p h p lu n v n đ c đ a vào b n th o cu n sách c a tác gi lu n v n vi t chung v i Th y h ng d n Th c s Nguy n Th Bình Minh Vì h n ch s trang lu n v n, m i ch ng, chúng tơi c g ng trình bày v n đ lí thuy t làm c s đ phân lo i t ng k t ph minh h a ph ng pháp gi i t ng d ng tốn ch a ph n ngun Các ví d ng pháp đ c l a ch n mang tính ch t n hình, s l ng l n t p th hi n s phong phú mn hình v c a ng d ng hàm ph n nguyên gi i toán đ c gi i chi ti t [2] nên khơng trình bày l i lu n v n Lu n v n đ Duy Ph c hoàn thành d ng Xin đ ng d n khoa h c c a PGS TS T c t lòng c m n chân thành nh t t i Th y Tác gi xin chân cám n Tr gi hoàn thành ch is h ng i h c Khoa h c Thái Nguyên, n i tác ng trình cao h c ngành tốn Và cu i cùng, xin cám n gia đình, b n bè đ ng nghi p c m thông, ng h giúp đ su t th i gian tác gi h c cao h c vi t lu n v n Hà N i, ngày 15 tháng n m 2010 Tác gi Nguy n Th H ng H nh S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch ng CÁC KI N TH C C B N V PH N NGUYÊN §1 KHÁI NI M V PH N NGUYÊN nh ngh a 1.1 Cho m t s th c x   S nguyên l n nh t không v t c g i ph n nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) c a x x đ Ta th ng kí hi u ph n nguyên c a x  x  Nhi u tài li u g i ph n nguyên c a x sàn kí hi u ph n nguyên c a x  x  , sàn có liên quan m t thi t v i khái ni m tr n  x  c a x Hai khái ni m tr n sàn th ng đ c s d ng tin h c Trong lu n v n ta s dùng c hai kí hi u ph n nguyên (sàn)  x   x  nh ngh a 1.2 Cho m t s th c x   S nguyên bé nh t không nh h n x đ c g i tr n c a x kí hi u  x  nh ngh a 1.1 nh ngh a 1.2 t ng đ ng v i:  z  x  z  1; 0  x  z  1;   z    z    x  z    z   x  z; 0  z  x  1;   x   z    z    z   H n n a,  x    x  n u x    x    x   v i m i x   nh ngh a 1.3 Ph n d (ph n th p phân, ph n l , giá tr phân - fractional part, fractional value) c a m t s th c x , kí hi u  x đ c đ nh ngh a b i công th c  x  x   x  S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn nh ngh a 1.3 ta suy ngay,   x  v i m i x    z  T ch z s nguyên Ta bi t r ng, v i m i x   t n t i s nguyên z   cho z  x  z  nh ngh a 1.4 Giá tr nh nh t gi a hai s x  z z   x đ kho ng cách t x đ n s nguyên g n nh t đ c g i c kí hi u  x Ta có  x  x  z  0,5 v i m i x nh ngh a 1.5 S nguyên g n m t s th c x nh t đ  x đ c kí hi u  x  c g i s làm tròn c a x Khái ni m làm tròn s đ c s d ng r ng rãi máy tính xác đ nh, n u có hai s ngun g n x nh t (ngh a x  z  0,5   z  1  0,5 z z  có kho ng cách t i x b ng 0,5 ( x  z  z   x  0,5 ) ta qui c ch n s l n, t c n u z  x  z  0,5 ,  x   z , n u z  0,5  x  z   x   z  §2 CÁC TÍNH CH T C T nh ngh a 1.1 - B N C A PH N NGUYÊN nh ngh a 1.5 ta đ n tính ch t đ n gi n nh ng r t c b n hay s d ng sau c a ph n nguyên Các tính ch t đ c ch ng minh chi ti t [2], v y d i ch li t kê mà không ch ng minh Tính ch t 2.1 V i m i x   ta có a)  x   x   x   hay x    x   x ; b)  x    x   x  hay x   x   x  D u b ng x y ch x s nguyên S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính ch t 2.2 x   x    x ;   x  ; x   x   x  H qu 2.1  x  z   z z    x  Tính ch t 2.3  x  z    x   z ;  x  z   x v i m i z   o l i,  x   y y  x  z v i z   Tính ch t 2.4 N u x    x   x  x  Ng c l i n u  x   x ho c  x  x  N u x  s h u t nh ng khơng ph i s ngun  x c ng m t s h u t thu c kho ng  0;1 N u x  s vơ t  x c ng m t s vô t thu c kho ng  0;1 Tính ch t 2.5 Ph n d , sàn tr n có tính ch t lu đ ng (idempotent), t c hai l n áp d ng phép tốn k t qu khơng đ i: H nn  x  x ;  x    x    x     x  v a,  x    x   x   v i m i x   i m i x Nh ng  x   x     x    x v i m i x ;  x  ,  x    x    x      x    v i m i x   Tính ch t 2.6 Các qui t c đ i ch (hoán v ), k t h p c a phép toán c ng phép toán nhân; qui t c k t h p gi a phép toán nhân phép toán c ng v n cho ph n nguyên ph n d Tính ch t 2.7 Phép làm trịn s  x thơng th ng nh nêu ngh a 1.5 phép l y ph n nguyên c a x  0,5 , t c  x    x  0,5 Tính ch t 2.8 N u  x    y  x  y  hay 1  x  y  Tính ch t 2.9 N u x  y  x    y  S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn o l i, n u  x    y  x  y http://www.lrc-tnu.edu.vn nh Tính ch t 2.10 a) C hai s x y hai s nguyên ch  x   y  b) Trong hai s x y có m t s nguyên m t s không ph i s nguyên   x   y  c) Hai s x y khơng ngun có t ng x  y m t s nguyên ch  x   y  Tính ch t 2.11a V i m i x, y   ta có x  y   x   y  x  y  ;  x    y    x  y    x    y   Nh n xét 2.1 Tính ch t 2.11a có th đ c phát bi u d i d ng sau   x   y  1;  x    y  Tính ch t 2.11b  x  y     x    y     x   y  Tính ch t c ng đ c vi t d i d ng sau   x   y  1;  x  y  Tính ch t 2.11c  x    y     x  y     x   y  H qu 2.2  x    x  v i m i x   H qu 2.3   x    x   x   x  n u x   ;  x     x   1  x   x n u x H qu 2.4  x      x  v i m i x   Tính ch t 2.12a V i m i x y s th c ta có  x    y    x    y    x  y     x    y    x    y   x   y Nh n xét 2.2 Tính ch t 2.12a có th đ c vi t d Tính ch t 2.12b a) N u max  x , y  S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn i d ng sau http://www.lrc-tnu.edu.vn   x    y    x   y  x    y    x    y    x  y   2 x  2 y  b) N u  x , y   max  x , y   x   y    x    y    x   y   x    y    x    y    x  y    2 x    y   c) N u  x , y   max  x , y    x   y   x    y    x   y d) N u 2 x   y   x    y    x  y   2 x   2 y     x , y   x    y    x   y   x    y    x    y    x  y    2 x   2 y   Tính ch t 2.13 V i m i x   ta ln có 1 1   x    x  x   2 x   x           H qu 2.5 V i m i s nguyên d  n   n  1 ng ta ln có      n     Tính ch t 2.14a V i m i x, y   ta ln có  x   y   x    y    x  y  Nh n xét 2.5 Tính ch t 2.14a có th phát bi u d i d ng sau  x    y  Tính ch t 2.14b  x  y     x    y    y   x;  x   y   x  y  Tính ch t 2.14c  x    y     x  y    y   x;  x   y S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Tính ch t 2.15 V i m i s t nhiên n v i m i s th c x  ta có n  x    nx   n  x   n  Tính ch t 2.16 V i m i s th c x không ph i s nguyên v i m i s nguyên n ta ln có  x    n  x   n  Tính ch t 2.17 V i m i s nguyên d  x    x   ng n v i m i s th c x ta ln có: 1 n  1     x    nx   n n    x   x   Tính ch t 2.18 V i m i x   n s t nhiên ta ln có      n  n  Tính ch t 2.19 V i m i s t nhiên k  m i s t nhiên n ta có  2n   n   n    k    k    k  Tính ch t 2.20 Cho k1 , k2 , , k n b n s nguyên d ng Khi y  k  k   kn  k1  k2   kn     n  n  k  k  Tính ch t 2.21 V i m i s ngun k ta ln có       k 2 2 Tính ch t 2.22 Cho  ,  nh ng s vô t d ng cho 1   T p     an n1    ,  2  , 3  ,  bn n 1     , 2  , 3  ,  t o thành m t phân ho ch c a t p s nguyên d ng, t c an n1 bn n1 t p không giao   h p c a chúng b ng t p t t c s nguyên d Tính ch t d i đ ng c s d ng nhi u tin h c Tính ch t 2.23 Cho a b  s t nhiên b t kì Khi y  log b a   s ch s c a m t s a vi t h đ m c s b S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 §3 HÀM PH N NGUYÊN VÀ TH HÀM PH N NGUYÊN T đ nh ngh a ph n nguyên (sàn), tr n, ph n d , s làm trịn §1, ta có th đ a đ nh ngh a sau Hàm sàn Hàm f :    , f ( x ) :  x  cho t nguyên  x   c a đ ng ng m i s x   v i ph n c g i hàm ph n nguyên Trong m t s tài li u, hàm ph n nguyên cịn đ function) ngồi kí hi u f ( x) :  x đ c g i hàm sàn (floor c kí hi u f ( x) :  x  th c a hàm ph n nguyên Hình Hàm ph n nguyên hàm h ng s t ng khúc (nh n giá tr không đ i t ng n a kho ng  z; z  1 v i z   ); gián đo n lo i m t t i m z   v i đ l ch không đ i b ng ( lim f ( x )  lim f ( x )  1, t c hi u gi a gi i h n x z x z c a hàm s đ i s x ti n t i n t bên ph i t bên trái b ng 1) Nh v y, hàm ph n nguyên không liên t c (gián đo n lo i 1), nh ng n a liên t c Do hàm h ng t ng khúc nên đ o hàm c a t n t i b ng t i m i m không nguyên đ o hàm không t n t i (th m chí hàm s khơng liên t c) t i m nguyên S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Hàm tr n Hàm f :    , f ( x ) :  x  cho t  x    c a đ ng ng m i s x   v i tr n c g i hàm tr n th c a hàm tr n Hình Hàm tr n hàm h ng s t ng khúc (nh n giá tr không đ i t ng n a kho ng ( z ; z  1] v i z   ); gián đo n lo i m t t i m x  z , z   v i đ l ch không đ i b ng ( lim f ( x)  lim f ( x)  1)   x z x z V y, hàm tr n không liên t c, nh ng n a liên t c d i Do hàm h ng t ng khúc nên đ o hàm c a t n t i b ng t i m i m không nguyên đ o hàm không t n t i t i m nguyên M t khác, đ th c a hàm tr n có th nh n đ c b ng cách t nh ti n đ th hàm f ( x) :  x lên (theo tr c tung) đ n v kho ng  z; z  1 , z   Tuy nhiên, t i m nguyên chúng nh n giá tr khác Hàm ph n d Hàm f :    0;1 t t p s th c  vào t p  0;1 c a t p s th c  , f ( x) :  x v i m i x   cho t d  x c a đ ng ng m i s th c x v i ph n c g i hàm ph n d (hay hàm ph n phân, hàm ph n l ) th c a hàm ph n d S hóa b i Trung tâm H c li u - f ( x)   x  x   x  i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Hình Hàm ph n d ch nh n giá tr n a kho ng  0;1 , t ng t ng khúc (t ng t ng n a kho ng  z; z  1 v i z   ) gián đo n lo i m t t i m c bi t, hàm ph n d hàm tu n x  z , z   v i lim f ( x)  lim f ( x )  x z x z hoàn v i chu k 1, ngh a  x  1   x v i m i x  Hàm kho ng cách Hàm f :    0;0,5 cho t kho ng cách t i s nguyên g n nh t đ ng ng m i s th c x v i c g i hàm kho ng cách t x t i s ngun g n nh t kí hi u f ( x) :  x Hàm kho ng cách ch nh n giá tr đo n  0;0,5 , t ng t ng khúc t ng đo n  z; z  0,5 gi m t ng khúc  z  0,5; z  1 v i z  Hàm kho ng cách hàm liên t c n tính t ng khúc c bi t, hàm kho ng cách hàm tu n hoàn v i chu k 1, ngh a  x  1   x v i m i x   Hàm làm tròn Hàm f :    t t p s th c  vào t p s nguyên  c a t p s th c  , cho t ng ng m i s th c x v i s nguyên g n nh t đ c g i hàm làm trịn kí hi u f ( x) :  x  Nh n xét 3.1 Ta ln có  x    x  0,5 v i m i x (xem Tính ch t 2.7 §2) th c a hàm làm tròn f ( x)  ( x)   x  0,5 th c a hàm f ( x)   x  đ th c a hàm f  x    x t nh ti n sang bên trái 0,5 đ n v (có th th y rõ u qua so sánh hai đ th ) S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Hình T Tính ch t 2.3 §2 suy m t tính ch t thú v c a hàm ph n d sau Tính ch t 3.1 Hàm ph n d hàm kho ng cách (t x t i s nguyên g n nh t) hàm tu n hồn v i chu kì nh nh t b ng Ta nh c l i r ng hàm  :    xác đ nh t p s th c  nh n giá tr c ng t p s th c  đ c g i tu n hoàn n u t n t i m t s d ng T cho x  T  X  ( x  T )   ( x) v i m i x   S T đ c g i chu kì c a hàm tu n hoàn  ( x ) Hi n nhiên, n u  ( x ) hàm tu n hồn chu kì T  ( x ) c ng hàm tu n hồn chu kì nT v i m i s t nhiên n Th t v y,  ( x) hàm tu n hồn chu kì T nên v i m i x   ta có:  ( x  nT )   ( x  (n  1)T  T )   ( x  (n  1)T )    ( x) Ch ng t  ( x) hàm tu n hoàn chu kì nT v i m i s t nhiên n S T0  nh nh t (n u có) s t t c chu kì đ c g i chu kì hay chu kì c s c a hàm tu n hồn  ( x ) ng n g n, nói hàm  ( x ) tu n hoàn v i chu kì T , ng i ta th ng hi u T chu kì T0 (n u có) c a  ( x ) Thí d ,  x  n   x v i m i n   nên hàm ph n d y   x có chu kì T  n v i m i n s t nhiên chu kì T0  (xem Hình 3) S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 T ng t ,  x  n   x v i m i n   nên hàm y   x có chu kì T  n v i m i n s t nhiên chu kì T0  Nh n xét 3.2 Có nh ng hàm tu n hồn khơng có chu kì Thí d Hàm Dirichlet y   ( x) đ c đ nh ngh a nh sau: y   ( x)  x s h u t ; y   ( x )  x s vơ t m t hàm tu n hồn có chu kì s h u t q b t kì Tuy nhiên, t p  s h u t khơng âm khơng có s nh nh t (v i m i s h u t q  ta có th tìm đ s h u t ) nên hàm s cs q nh h n q c ng y   ( x ) khơng có chu kì chính, t c khơng t n t i s T0  cho T0  q v i m i chu kì q (v i m i s h u t q ) V y y   ( x ) hàm tu n hồn khơng có chu kì nh ngh a Hàm y  f ( x ) xác đ nh t p X   đ c g i ph n tu n hồn chu kì T  n u v i m i x  X ta có x  T  X f ( x  T )   f ( x ) Tính ch t 3.2 N u y  f ( x) ph n tu n hoàn v i chu kì T  y  f ( x) tu n hồn v i chu kì 2T  S hóa b i Trung tâm H c li u - o l i không i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn - 16 - Ch ng PH N NGUYÊN TRONG TOÁN S H C VÀ §1 PH N NGUN TRONG TỐN S IS H C 1.1 M t s tính ch t b sung v s nguyên áp d ng toán s h c Nhi u toán s h c liên quan m t thi t v i ph n ngun Ngồi tính ch t chung cho ph n ngun nêu §2 Ch ng 1, ta cịn có m t s tính ch t khác thú v riêng cho s nguyên hay đ c áp d ng t p sau Ch ng minh tính ch t có th xem [2] Tính ch t 1.1 Gi s nguyên d r ph n d chia m t s nguyên m cho m t s m ng n , m  pn  r v i r  0,1, , n  1 Khi y r  m  n   n Tính ch t 1.2 N u p q nh ng s nguyên d s ngun ng cho p khơng ph i q p  p   q  q  q Tính ch t 1.3 Cho q s t nhiên, x s th c d s t nhiên không v  x ng b t kì Có   q t q x chia h t cho q H qu 1.1 Cho q n s t nhiên b t k Trong dãy s 1, 2, , n n n n có   s chia h t cho q ;   s chia h t cho q ;   s chia h t q q  q  n cho q ; ;  k  s chia h t cho q k q  S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn - 17 - Ta nh c l i, m t s t nhiên bao gi c ng có m t phân tích nh t th a s nguyên t , t c n  p11 p2 pk k v i pi s nguyên t khác  i s t nhiên Tính ch t 1.4 (Cơng th c Polignac) S m cao nh t k c a th a s nguyên t n  n   n  q phân tích n! th a s nguyên t b ng k           q q  q  Thí d Phân tích 6! th a s nguyên t : 6!  2132 53 7 pkk 6     6   Ta có 1                    ; 2 2  2  2 2  6     6                       ; 3  3  3  3 3  6     6                       ;      5  5  5  5  5  V y 6!  24325 Tính ch t 1.5 N u p s nguyên t C i pk pk ! chia h t cho p v i  i! p k  i !   m i i th a mãn u ki n  i  p k  Tính ch t 1.6 (Cơng th c Legendre) S s dãy 1, 2, 3, , n không chia h t cho m t s nguyên t p1, p2 , , pk đ c tính theo công th c  n   n   n  B( n; p1, p2 , , pk )  n               pk     p1   p2   n   n   n   n   n    n                          pk 1 pk     p1 p2 p3   p1 p2 p4   pk 2 pk 1 pk     p1 p2   p1 p3   n k     1    p1 p2 pk  S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn - 18 - Thí d 2.1 Trong dãy s 1, 2, , 32 có s 1, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 không chia h t cho m t s 2, 3, Ta có   32   32   32     32   32   32    32  B(32;2,3,5)  32                                    2.3   2.5   3.5    2.3.5   32  16  10          Các tính ch t nêu đ c s d ng m t s d ng toán s h c d i Bài tốn Tìm ch s t n c a m t s t nhiên Ph ng pháp S d ng tính ch t c a ph n nguyên tìm ch s t n c a m t s ta th ph n nguyên §2 Ch ng s d ng tính ch t chung v ng tính ch t c a ph n nguyên nêu c bi t, m t s ch n ch c (có t n b ng 0) ph i chia h t cho cho Thí d 2.2 (Olympic Moscow, Vịng 1, 1940) H i 100! có t n b ng ch s Gi i Theo Tính ch t 1.4, s m cao nh t c a c a phân tích 100! th a s nguyên t s là: 100  100  100  100  100  100      22    23    24    25    26   50  25  12     97 100  100  100      25   125  = 20 + + = 24 Nh v y, 100!  524  297  k  (5  2) 24  q  10 24  q Trong phân tích s q th a s ngun t khơng có s nên q s ch n nh ng không ph i s ch n ch c V y 100! có t n 24 ch s Thí d 2.3 (Thi h c sinh gi i bang New York, 1985 Câu h i đ ng đ i) Có s nguyên d Gi i ng n cho n! có t n b i 25 ch s n! có t n b i 25 ch s n! ph i đ c phân tích th a s nguyên t d ng n!  1025 q  (5.2) 25 q  525.225.q , q khơng ph i s S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn - 19 - ch n ch c, ngh a 25 ph i s m cao nh t c a phân tích c a n! th a s nguyên t Theo Tính ch t 1.4, s m cao nh t c a phân tích c a n! là: n  n  n Sn          k   25   5  5  D (*) 105  105  th y r ng v i n  105 S105     25 H n n a,     104  104    24 nên n  105 s nh nh t th a mãn u ki n S104       B n s ti p theo 106, 107, 108 109 c ng th a mãn u ki n (*) V i 110  110    26 V y ch có n m s 105!, 106!, 107!, n  110 ta có S110       108! 109! có t n b ng 25 ch s Bài toán Toán chia h t Ph ng pháp S d ng tính ch t c a ph n nguyên Thí d 2.4 Ch ng minh r ng n!  1.2.3 n không chia h t cho 2n Gi i Theo Tính ch t 1.4, s m cao nh t c a phân tích n! th a s n  n  n  nguyên t là: k          m  v i 2m  n  2m1 2 2  2  n n  n  n  n  n Vì  x   x v i m i x nên    ;    ;  m   m 2 2  2  C ng t ng v c a m b t đ ng th c ta có: k n n n   1     m  n     m   n 1  m   n 2 2  2   V y k  n n!  1.2.3 n không chia h t cho 2n S hóa b i Trung tâm H c li u - i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... c b n v hàm ph n nguyên .5 §1 Khái ni m v ph n nguyên §2 Các tính ch t c b n c a ph n nguyên .6 §3 Hàm ph n nguyên đ th c a hàm ph n nguyên 11 Ch ng Ph n nguyên toán s h... Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 §3 HÀM PH N NGUYÊN VÀ TH HÀM PH N NGUYÊN T đ nh ngh a ph n nguyên (sàn), tr n, ph n d , s làm tròn §1, ta có th đ a đ nh ngh a sau Hàm sàn Hàm. .. đáo c a hàm ph n nguyên, thí d , hàm ph n nguyên v a đ n gi n (là hàm h ng t ng khúc) l i v a ph c t p (gián đo n t i m nguyên nên khó áp d ng cơng c c a gi i tích), nhi u toán hay v ph n nguyên