Hàm phần nguyên và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Các kí hiệu Lời nói đầu 3-4 Chương Các kiến thức hàm phần nguyên .5 §1 Khái niệm phần nguyên §2 Các tính chất phần nguyên .6 §3 Hàm phần nguyên đồ thị hàm phần nguyên 11 Chương Phần nguyên toán số học đại số 16 §1 Phần nguyên toán số học 16 §2 Tính giá trị số biểu thức chứa phần nguyên 27 §3 Chứng minh hệ thức chứa phần nguyên 31 §4 Phương trình hệ phương trình chứa phần nguyên .32 Chương Phần ngun tốn giải tích 49 §1 Một số tính chất giải tích dãy chứa phần ngun 49 §2 Tính tổng hữu hạn dãy chứa phần nguyên 53 §3 Tính giới hạn dãy chứa phần dư .…… .56 §4 Hàm số chứa phần nguyên …… … .62 §5 Chuỗi số chứa phần nguyên … … .67 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ta sử dụng ký hiệu sau: Tập số thực ký hiệu  Tập số thực không âm ký hiệu   Tập số hữu tỉ ký hiệu  Tập số nguyên ký hiệu   { , -2, -1, 0,1, 2, } Tập số tự nhiên ký hiệu   {1, 2, 3, } Tập số nguyên dương ký hiệu    Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Do tính độc đáo hàm phần nguyên, thí dụ, hàm phần nguyên vừa đơn giản (là hàm khúc) lại vừa phức tạp (gián đoạn điểm nguyên nên khó áp dụng cơng cụ giải tích), nhiều toán hay phần nguyên sử dụng làm đề thi học sinh giỏi cấp, có nhiều đề thi học sinh giỏi quốc gia Olympic quốc tế Mặt khác, hàm phần nguyên có ứng dụng quan trọng khơng tốn học phổ thơng, mà cịn nhiều vấn đề tốn ứng dụng cơng nghệ thơng tin (làm trịn số, tính gần đúng, ) Phần nguyên thể kết nối tính liên tục tính rời rạc, tốn giải tích tốn rời rạc nên thú vị Lí thuyết tập phần nguyên rải rác có sách tạp chí, chí chuyên đề số sách số học (xem [3], [5], [8]) Tuy nhiên, chưa có sách viết đủ phong phú tổng hợp phần nguyên Đó lí để tác giả chọn đề tài làm luận văn cao học Luận văn Hàm phần ngun ứng dụng có mục đích trình bày kiến thức hàm phần nguyên ứng dụng giải tốn sơ cấp, cụ thể số học, đại số giải tích (tốn chia hết, giải phương trình, tính chất dãy, tính giới hạn, tính tổng dãy, chuỗi, chứa phần nguyên) Đồng thời luận văn trình bày mối quan hệ mật thiết phần nguyên với dạng toán khác (dãy truy hồi, nhị thức Newton, hệ đếm, ) Đặc biệt luận văn tập hợp khối lượng lớn tốn thi vơ địch quốc gia quốc tế minh họa cho lí thuyết phần nguyên Luận văn gồm ba chương Chương trình bày định nghĩa tính chất hàm phần nguyên đồ thị hàm phần nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày số dạng tốn chứa phần nguyên số học đại số (toán chia hết; tính tốn chứng minh hệ thức chứa phần nguyên; giải phương trình hệ phương trình chứa phần ngun; ) Chương trình bày số dạng tốn chứa phần nguyên giải tích (các tính chất tính bị chặn, tính tuần hồn dãy số; tìm số hạng tính giới hạn dãy số, tính tổng hữu hạn dãy số, tính tổng chuỗi chứa phần ngun, ) Nhiều ví dụ tốn tập hợp luận văn đưa vào thảo sách tác giả luận văn viết chung với Thầy hướng dẫn Thạc sĩ Nguyễn Thị Bình Minh Vì hạn chế số trang luận văn, chương, chúng tơi cố gắng trình bày vấn đề lí thuyết làm sở để phân loại tổng kết phương pháp giải dạng toán chứa phần nguyên Các ví dụ minh họa phương pháp lựa chọn mang tính chất điển hình, số lượng lớn tập thể phong phú mn hình vẻ ứng dụng hàm phần nguyên giải toán giải chi tiết [2] nên khơng trình bày lại luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin chân cám ơn Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả hồn thành chương trình cao học ngành tốn Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp cảm thông, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Hạnh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHẦN NGUYÊN §1 KHÁI NIỆM VỀ PHẦN NGUYÊN Định nghĩa 1.1 Cho số thực x   Số nguyên lớn không vượt x gọi phần nguyên (integer part, integral part) hay sàn (floor) x Ta thường kí hiệu phần nguyên x  x  Nhiều tài liệu gọi phần nguyên x sàn kí hiệu phần nguyên x  x  , sàn có liên quan mật thiết với khái niệm trần  x  x Hai khái niệm trần sàn thường sử dụng tin học Trong luận văn ta dùng hai kí hiệu phần nguyên (sàn)  x   x  Định nghĩa 1.2 Cho số thực x   Số nguyên bé không nhỏ x gọi trần x kí hiệu  x  Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2 tương đương với:  z  x  z  1; 0  x  z  1;   z    z    x  z    z   x  z; 0  z  x  1;   x   z    z    z   Hơn nữa,  x    x  x    x    x   với x   Định nghĩa 1.3 Phần dư (phần thập phân, phần lẻ, giá trị phân - fractional part, fractional value) số thực x , kí hiệu  x định nghĩa công thức  x  x   x  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ Định nghĩa 1.3 ta suy ngay,   x  với x    z  z số nguyên Ta biết rằng, với x   tồn số nguyên z   cho z  x  z  Định nghĩa 1.4 Giá trị nhỏ hai số x  z z   x gọi khoảng cách từ x đến số nguyên gần kí hiệu  x Ta có  x  x  z  0,5 với x Định nghĩa 1.5 Số nguyên gần số thực x kí hiệu  x   x gọi số làm tròn x Khái niệm làm tròn số sử dụng rộng rãi máy tính Để xác định, có hai số nguyên gần x (nghĩa x  z  0,5   z  1  0,5 z z  có khoảng cách tới x 0,5 ( x  z  z   x  0,5 ) ta qui ước chọn số lớn, tức z  x  z  0,5 ,  x   z , z  0,5  x  z   x   z  §2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHẦN NGUYÊN Từ Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.5 ta đến tính chất đơn giản hay sử dụng sau phần nguyên Các tính chất chứng minh chi tiết [2], chúng tơi liệt kê mà khơng chứng minh Tính chất 2.1 Với x   ta có a)  x   x   x   hay x    x   x ; b)  x    x   x  hay x   x   x  Dấu xảy x số nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 2.2 x   x    x ;   x  ; x   x   x  Hệ 2.1  x  z   z z    x  Tính chất 2.3  x  z    x   z ;  x  z   x với z   Đảo lại,  x   y y  x  z với z   Tính chất 2.4 Nếu x    x   x  x  Ngược lại  x   x  x  x  Nếu x  số hữu tỉ khơng phải số ngun  x số hữu tỉ thuộc khoảng  0;1 Nếu x  số vơ tỉ  x số vô tỉ thuộc khoảng  0;1 Tính chất 2.5 Phần dư, sàn trần có tính chất luỹ đẳng (idempotent), tức hai lần áp dụng phép tốn kết khơng đổi:  x  x ;  x    x    x     x  với x   Hơn nữa,  x    x   x   với x   Nhưng  x   x     x    x với x ;  x  ,  x    x    x      x    với x   Tính chất 2.6 Các qui tắc đổi chỗ (hốn vị), kết hợp phép toán cộng phép toán nhân; qui tắc kết hợp phép toán nhân phép toán cộng cho phần nguyên phần dư Tính chất 2.7 Phép làm trịn số  x  thông thường nêu Định nghĩa 1.5 phép lấy phần nguyên x  0,5 , tức  x    x  0,5 Tính chất 2.8 Nếu  x    y  x  y  hay 1  x  y  Tính chất 2.9 Nếu x  y  x    y  Đảo lại,  x    y  x  y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 2.10 a) Cả hai số x y hai số nguyên  x   y  b) Trong hai số x y có số nguyên số khơng phải số ngun   x   y  c) Hai số x y khơng ngun có tổng x  y số nguyên  x   y  Tính chất 2.11a Với x, y   ta có x  y   x   y  x  y  ;  x    y    x  y    x    y   Nhận xét 2.1 Tính chất 2.11a phát biểu dạng sau  x    y    x   y  1; Tính chất 2.11b  x  y     x    y     x   y  Tính chất viết dạng sau  x  y    x   y  1; Tính chất 2.11c  x    y     x  y     x   y  Hệ 2.2  x    x  với x   Hệ 2.3   x    x   x   x  x   ;  x     x   1  x   x x Hệ 2.4  x      x  với x   Tính chất 2.12a Với x y số thực ta có  x    y    x    y    x  y     x    y    x    y   x   y Nhận xét 2.2 Tính chất 2.12a viết dạng sau Tính chất 2.12b a) Nếu max  x , y  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   x    y    x   y  x    y    x    y    x  y   2 x  2 y  b) Nếu  x , y   max  x , y   x   y    x    y    x   y   x    y    x    y    x  y    2 x    y   c) Nếu  x , y   max  x , y    x   y   x    y    x   y d) Nếu 2 x   y   x    y    x  y   2 x   2 y     x , y   x    y    x   y   x    y    x    y    x  y    2 x   2 y   Tính chất 2.13 Với x   ta ln có 1 1   x    x  x   2 x   x            n   n  1 Hệ 2.5 Với số nguyên dương ta có      n     Tính chất 2.14a Với x, y   ta ln có  x   y   x    y    x  y  Nhận xét 2.5 Tính chất 2.14a phát biểu dạng sau  x    y  Tính chất 2.14b  x  y     x    y    y   x;  x   y   x  y  Tính chất 2.14c  x    y     x  y    y   x;  x   y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 65 - x2       hai điểm tách biệt f ( )  3sin    f ( x) với 2  2  x  2 , x      Tương tự, f ( )  3sin    3  f ( x) với 2  2  x  2 , x    Vậy ta có Đáp số: Hai điểm Đáp án (B) đáp án Thí dụ 3.16 Tồn hay khơng hàm số f :    g :    , g hàm tuần hoàn thỏa mãn x  f  x   g ( x) với x   Giải Giả sử hàm số f g thỏa mãn điều kiện đề Kí hiệu T   x   g ( x) với x   nên ( x  T )3  f  x  T   g ( x  T )  ( x  T )3  f  x  T   g ( x) Suy f  x  T   f  x   T  3T x  3Tx chu kỳ g Vì x  f (*) Với  x  T    T   T    x   T   T  x  T  T   nên  x  T   T  f  x  T   f  x  f T   f (0) : c số Vậy (*) đa thức bậc hai 3Tx  3T x  T  c  với  x   T  , T  Vơ lí T  Vậy không tồn hàm số f g thỏa mãn đề Bài tập 3.10 (Olympic 30-4 lần thứ 7, 2001, lớp 11 Đề thi đề nghị, THPT chun Trà Vinh) Có tồn hay khơng hai hàm số f :    g :    thỏa mãn x 2001  f  x   g ( x ) với x   , g ( x) có đồ thị ( C ) thỏa mãn điều kiện: 1) Nhận điểm A  x0 , y0  làm tâm đối xứng; 2) Nhận đường thẳng x  b làm trục đối xứng ( x0  b ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 66 - Thí dụ 3.17 (Olympic 30.4 lần thứ 13, 2007, lớp 11 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh) Cho phương trình 2007 x  x   log e   1 2007 n  Với giá trị nguyên dương n phương trình có nghiệm x  (1;2)       ln e  Giải Ta có log e     n  12007       ln(2007 n  1)  ln 2007 n  ln    2007 n   Hàm f ( x )  ln x có f ( x )   với x  Theo định lí Lagrange, tồn x  số c   a, b  : 2007n , 2007 n  cho f (c)  f (b)  f ( a) , tức ba ln(2007n  1)  ln 2007n f (c)    ln(2007n  1)  ln 2007 n Vì f ( x )  n n c (2007  1)  2007 x hàm nghịch biến nên Vậy 2007 n  1  f (c)  ln(2007n  1)  ln 2007n  n 2007  2007n n   2007n  hay log  n e  2007 n   2007  ln(2007  1)  ln 2007 n Phương trình trở thành 2007 x  x  2007 n  Hàm số g ( x)  2007 x  x  2007 n liên tục đồng biến  Do phương trình g ( x)  có nghiệm x0  (1; 2) g (1)  g (2)  , nghĩa 2007   2007 n   20072   2007 n hay 2007   2007 n  2007  Điều xảy n  Đáp số: n  Bài tập 3.11 Với n số nguyên dương cho trước, hàm số f :    n cho công thức f (k )  k    với k   Xác định tất giá trị k  nguyên dương mà n nhận cho f (k )  200 k Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 67 - §5 CHUỖI SỐ CHỨA PHẦN NGUYÊN 5.1 Nhắc lại số định nghĩa dấu hiệu hội tụ chuỗi số  Chuỗi số biểu thức dạng a1  a2   an    an (1) n 1 Các số an gọi số hạng chuỗi an gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát chuỗi (1) n Ta gọi dãy tổng riêng chuỗi (1) Sn  a1  a2   an   ak , n   k 1 Nếu tồn giới hạn hữu hạn dãy tổng riêng, lim Sn  S , chuỗi (1) n gọi chuỗi hội tụ có tổng S Nếu lim Sn   khơng tồn n chuỗi (1) gọi chuỗi phân kỳ Nếu an  chuỗi (1) gọi chuỗi số dương, an  chuỗi (1) gọi chuỗi số dương thực Phần dư sau số hạng thứ n (phần dư thứ n ) chuỗi số (1)  rn  a k  an 1  an  k  n 1 Để chuỗi (1) hội tụ, điều kiện cần lim an  n Tiêu chuẩn Cauchy Điều kiện cần đủ để (1) hội tụ với   tồn số tự nhiên N cho với n  N với số tự nhiên p ta có Sn  p  Sn  an 1  an    an  p    Chuỗi điều hòa Chuỗi số n p gọi chuỗi điều hòa tổng quát n 1  Chuỗi n p hội tụ p  phân kỳ p  n 1 Khi p  chuỗi gọi chuỗi điều hịa Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 68 -  Chuỗi trội Nếu an  cn với an  chuỗi số c n gọi chuỗi trội n 1 chuỗi (1)  Từ hội tụ chuỗi trội c n suy hội tụ chuỗi (1) từ phân n 1 kỳ chuỗi (1) suy phân kỳ chuỗi trội  b Dấu hiệu so sánh chung Nếu chuỗi (1) chuỗi số dương chuỗi n n 1 an  c với c  , c  const thì: n bn chuỗi số dương thực tồn lim  1) Nếu  c   chuỗi (1) chuỗi b n đồng thời hội tụ phân kỳ n 1  2) Nếu c  từ hội tụ chuỗi b n suy hội tụ chuỗi (1) n 1  3) Nếu c   từ phân kỳ (1) suy phân kỳ chuỗi b n n 1   Dấu hiệu so sánh với lũy thừa Nếu n   ta có an  O *  p  với n  p  chuỗi (1) hội tụ, với p  chuỗi (1) phân kỳ Dấu hiệu D’Alembert Nếu chuỗi (1) chuỗi số dương thực lim n an1  L với L  chuỗi hội tụ với L  chuỗi phân kỳ an Với L  hội tụ chuỗi (1) chưa xác định được, có chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ L  Dấu hiệu Cauchy Nếu (1) chuỗi số dương lim n an  q với q  n chuỗi hội tụ với q  chuỗi phân kỳ Với q  hội tụ chuỗi (1) chưa xác định Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 69 -  a  Dấu hiệu Raabe Nếu (1) chuỗi số dương thực lim n  n  1  p , n  an 1  với p  chuỗi hội tụ với p  chuỗi phân kỳ Với p  hội tụ chuỗi (1) chưa xác định Dấu hiệu Gauss Nếu (1) chuỗi số dương thực an     n  , n n1   0, n  c , với   chuỗi hội tụ với   chuỗi phân kỳ Với   chuỗi (1) hội tụ   phân kỳ   Dấu hiệu Gauss tổng hợp dấu hiệu D’Alembert Raabe Dấu hiệu tích phân Cauchy Nếu hàm f ( x)  x  khơng tăng   chuỗi  f (n) hội tụ hay phân kỳ đồng thời với tích phân suy rộng  n 1 f ( x) dx  Chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối chuỗi a n hội tụ Nếu (1) hội tụ chuỗi n 1  a n phân kỳ ta nói (1) hội tụ có điều kiện (bán hội tụ) n 1 Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối số hạng chuỗi đổi chỗ cho theo thứ tự tổng chuỗi giữ ngun Nếu chuỗi hội tụ có điều kiện nhờ đổi chỗ thích hợp số hạng ta nhận chuỗi có tổng số cho trước (có thể   ) Dấu hiệu Leibnitz Nếu an  (1)n bn , với bn  dãy bn số n0 đơn điệu tiến đến chuỗi (1) hội tụ Đối với phần dư chuỗi ta có ước lượng Rn  ( 1)n nbn1 ,   n   Dấu hiệu Abel Chuỗi số  a b n n hội tụ chuỗi n 1 a n hội tụ dãy bn đơn n 1 điệu giới nội Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 70 -  a b Dấu hiệu Dirichlet Chuỗi n n hội tụ dãy bn số n0 n 1  đơn điệu tiến tới dãy tổng riêng chuỗi a bị chặn n n 1 Các số hạng chuỗi hội tụ nhóm lại với cách tùy ý, tổng chuỗi không thay đổi  Cộng chuỗi Nếu chuỗi   an b n n 1    ( a n n 1 hội tụ ta có n 1   bn )    an    bn ,  ,  số tùy ý n 1 n 1   a Tích chuỗi (Quy tắc Cauchy) Tích chuỗi n n 1 b chuỗi n n 1 thứ ba mà số hạng tổng quát có dạng cn  a1bn  a2bn1   anb1  Nói chung    cn   an  bn Tuy nhiên, hai chuỗi hội tụ, n 1 n 1 n 1  chuỗi hội tụ tuyệt đối ta ln có   c  a b n n 1 n n 1 n n 1 Công thức thỏa mãn trường hợp ba chuỗi hội tụ Hội tụ dãy hàm Dãy hàm f n ( x) gọi hội tụ hàm f ( x) khoảng X , với   tồn N  N ( ) (phụ thuộc vào  không phụ thuộc vào x ) cho với n  N ( ) thỏa mãn fn ( x)  f ( x)   , với x  X Trong trường hợp ta viết fn ( x)  f ( x) , x  X n Hội tụ chuỗi hàm Chuỗi hàm  u (x)  u ( x)  u ( x)   u (x)  k k k 1 gọi hội tụ tới hàm S ( x) khoảng X dãy tổng riêng n Sn ( x)   uk ( x) , n  1, 2, hội tụ, đồng thời lim S (x)  S (x) n  n k 1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 71 - n Hội tụ chuỗi hàm Chuỗi hàm  u (x)  u ( x)  u ( x)   u (x)  k k k 1 gọi hội tụ tới tổng S ( x) khoảng X dãy tổng riêng Sn ( x) chuỗi hội tụ tới hàm S ( x) X  Dấu hiệu Abel Chuỗi hàm  u (x)v ( x) k k hội tụ khoảng X chuỗi k 1   v ( x) hội tụ k X , hàm uk ( x) , k  1, 2, giới nội với k 1 x lập thành dãy đơn điệu  Chuỗi lũy thừa biểu thức  a ( x  a) n n , an hệ số chuỗi n 0 (không phụ thuộc vào x ), a điểm cố định trục số Miền hội tụ chuỗi lũy thừa khoảng x  a  R , R bán kính hội tụ chuỗi ( R  ) Bán kính hội tụ chuỗi xác định theo công thức Cauchy-Adama (a) an n a , (b) R  lim  lim , n n  n  R an1 giới hạn tồn Trong trường hợp giới hạn (a) giới hạn (b)  chuỗi lũy thừa hội tụ tồn trục số Để tìm dáng điệu chuỗi lũy thừa điểm mút khoảng hội tụ cần sử dụng dấu hiệu hội tụ chuỗi số Nếu hàm f ( x) khai triển khoảng (a  R; a  R) thành chuỗi lũy thừa chuỗi gọi chuỗi Taylor hàm f ( x) Điều kiện cần đủ để hàm f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor khoảng (a  R; a  R) hàm f ( x) khả vi vô hạn phần dư công thức Taylor hàm tiến tới n   khoảng  Khai triển có dạng f ( x)   k 0 f ( k ) (a) ( x  a)k k! Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (2) http://www.lrc-tnu.edu.vn - 72 - Hàm giải tích Hàm f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor gọi hàm giải tích khai triển (2) Trong thực hành, trường hợp quan trọng trường hợp biểu diễn phần dư khai triển (2) (hay phần dư chuỗi (2)) dạng Lagrange n Rn ( x)  f ( x)   k 0 f (k ) (a) f ( n1) (a   ( x  a)) ( x  a)k  ( x  a)n 1 , k! (n  1)! dạng Cauchy f ( n1) (a  1(x  a)) Rn (x)  (1  1)n ( x  a)n1 ,    1;  1  n! 5.2 Một số kết bổ trợ  Mệnh đề 5.1 Chuỗi số a n hội tụ thỏa mãn điều kiện sau: n 1 i) Số hạng tổng quát an  n    ii) Chuỗi A n nhận cách nhóm số hạng chuỗi cho theo n 1 thứ tự tự nhiên nó, hội tụ pn 1 1 iii) Số phần tử có mặt tổng An   ,  p1  p2  hữu hạn i  pn  Chứng minh Giả sử SnkA dãy tổng riêng chuỗi  An Khi n 1 SnkA  a1  a2   a p2 1  a p2  a p2 1   a p3 1   a pn  a pn 1   ak  ak 1   a pn 11  Sk  ak 1   a pn11 ,  với pn  k  pn1  1, Sk dãy tổng riêng chuỗi  an n 1 Vì an  số hạng dãy ak 1   a pn 1 1  Ck theo điều kiện hữu hạn nên Ck  k   Do lim S nkA  lim Sk n  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên k  http://www.lrc-tnu.edu.vn - 73 - Mệnh đề 5.2 Chuỗi số a1  a2   a p2 1  a p2   a p3 1  a p3  (3) hội tụ hay phân kỳ đồng thời với chuỗi   (1) n 1 n 1  pn11     ,  ,  p1  p2   i  pn  (4) Chứng minh Giả sử chuỗi (3) hội tụ Khi dãy tùy ý dãy tổng riêng   (1) hội tụ, số có dãy n 1 n 1  pn11     , tức dãy tổng  i  pn  riêng chuỗi (4) hội tụ Do chuỗi (4) hội tụ pn 1 1  Bây giờ, giả sử chuỗi (4) hội tụ,  n   Điều có i  pn nghĩa là, dương nên tổng ak 1   a pn11 tiến tới lim S nkA  lim Sk , tức chuỗi (3) hội tụ n  k  5.3 Một số tập chuỗi số chứa phần nguyên  n  (1) Thí dụ 3.18 Xét hội tụ chuỗi sau  n n 1  Giải Ta có  n   k  k  n  k   k  n  (k  1)2 Xét chuỗi nhận việc nhóm số hạng dấu chuỗi cho 1 1 1  1   1                  10 15   3  1 1   ( 1)k      ( k  1)  1  k k 1 Bởi Ak  1 2k      k   ,  2 k k 1 (k  1)  k Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 74 - 1   2 k  4k  k  4k  m  (k  m)((k  1)  m) 2k Ak  Ak 1  (2k  1)  (2k  1)2 1   0 2 (k  2k )(k  4k  1) k  4k  k  4k  với k  k0 nên chuỗi  (1) k Ak hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz Do chuỗi cho hội tụ  n (1)  Thí dụ 3.19 Xét hội tụ, hội tụ có điều kiện hay phân kỳ  np n 1  Giải Hiển nhiên p  chuỗi hội tụ tuyệt đối phân kỳ p  Ta  p  chuỗi hội tụ có điều kiện Ta thấy rằng, số hạng chuỗi số âm, năm số hạng số dương, … Để tìm  miền hội tụ có điều kiện, ta xét chuỗi đan dấu  (1) n An , n 1 ( n 1)2 1 An   k  n2 1 1 nhận cách nhóm p  p  p   k (n ) (n  1) (n  2n) p số hạng dấu chuỗi cho ( n1) 1 Hơn nữa, với a  An  p   p dt  p  ((n  1)22 p  n2 p ) n t n 1 p n Do  p  nên   p     (n  1)  n  n  1    1  n p  1    1  1 p  n    n   n  n   p p p Vì vậy, lim An  n  Với p  ta có  p  2 2n  1  An  , lim A  với  p  n n  n 1 n Ta với  p  dãy  An đơn điệu giảm Thật vậy, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 75 - ( n 1)2 1  An  An 1  k  n2 ( n 1)2 1   k  n2 2 ( n 2) 1 ( n1) 1 ( n1) 1 p   p   p   p k k ( n1) k k k n k ' n (k ' 2n  1) 2 1 1   k p  (k ' 2n  1) p   ((n  2)2  2) p  ((n  2)2  1) p   2n 1 1     p  p  p  ((n  1)  k )  ((n  2)  2) ((n  2)2  1) p k   (n  k )  , bất đẳng thức cuối suy từ tính đơn ((n  2)2  1) p điệu hàm g ( x)  1 0;2n Với n đủ lớn, ta có p  (n  x) ((n  1)2  x) p 1 1   An  An 1  (2n  1)  p  p  p  p  (n  2n) (n  4n  1)  (n  4n  2) (n  4n  3) 1    (2n  1)  p  p  2p  (n  2n) (n  4n  1)  (n  1) p p 2 p   1      2 p   p   n     n    1     1     n (2 p  1)  , n   2  n n   n   p( p  1) x2 (vì (1  x)   px (1  x)   px  , p, x  , hai bất đẳng p p thức chứng minh đạo hàm)  Vì vậy, theo dấu hiệu Leibnitz chuỗi  (1) n 1 chuỗi cho hội tụ xác định Mặt khác, An    (1) n 1 n n An hội tụ với  p  Do  p  Miền hội tụ chuỗi cho  p  (2n  1) không tiến tới với  p  Vì chuỗi p (n  2n) An phân kỳ  p  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 76 -  x Thí dụ 3.20 Tính tổng chuỗi n    n 1 y , với xy  n 0  Giải Do chuỗi  ( xy) n hội tụ, ta nhóm số hạng sau n 0  x n   2  n 1  y   y  xy  xy2  x2 y  x y  n 0    n 0 n 0 n 0   ( xy)n  y  ( xy)n  (1  y)  ( xy)n  1 y  xy (1)ln n  n n 1  Bài tập 3.12 Xét hội tụ chuỗi  Bài tập 3.13 Tính ln n  n  n  ln n  n 1   Bài tập 3.14 Cho an xác định công thức: a0  , an1  an   Tính   1 n 0  n 1    (1)n a 1 n xn  Bài tập 3.15 Xét hội tụ chuỗi  n 1  ! n  Bài tập 3.16 Xét hội tụ chuỗi  n 1 , với x  a , a   n   1 n(n  x) , với  x   Bài tập 3.17 (chuỗi Prinxgay) Xác định bán kính, khoảng hội tụ nghiên  n ( 1)   x n cứu dáng điệu điểm biên khoảng hội tụ chuỗi  n 1 n  (1) n n 1  Bài tập 3.18 Xét hội tụ, hội tụ tuyệt đối chuỗi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên   n   http://www.lrc-tnu.edu.vn - 77 - KẾT LUẬN Luận văn trình bày tương đối đầy đủ hàm phần ngun dạng tốn có tham gia phần nguyên số học, đại số giải tích Nhiều vấn đề lí thuyết phần nguyên liên quan đến tính chia hết, nhị thức Newton, phương trình sai phân hệ đếm Theo chúng tôi, phần nguyên chuyên đề tốt giúp học sinh, sinh viên thành thạo kĩ thuật thao tác với phần nguyên, mà cịn giúp nâng cao kiến thức trình độ tốn nói chung Bài tập phần ngun nhiều đòi hỏi lời giải đặc thù độc đáo Trong luận văn cố gắng tập hợp, phân loại dạng tập phương pháp giải chúng Số lượng lớn ví dụ minh họa, tập thi (được giải chi tiết [2]) chứng tỏ hàm phần nguyên nhiều tác giả đề thi Olympic quốc gia quốc tế, nhiều tạp chí tốn phổ thơng quan tâm Chúng tơi hi vọng luận văn với [2] giáo viên học sinh phổ thông, sinh viên đại học quan tâm Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 78 - TÀI LIỆU THAM KHẢO X V Cônhiagin, G A Tônôian, I F Sarưghin Các đề thi vơ địch tốn nước (Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên dịch từ tiếng Nga), Nhà xuất Hải Phòng, 1993 Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Nguyễn Thị Bình Minh, Tạ Duy Phượng, Hàm phần nguyên toán sơ cấp (Bản thảo, 256 trang), 2010 Phan Huy Khải, Các toán hàm số học (Trong sách: Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học), Nhà xuất Giáo dục, 2006 Y Y Liaskô, A C Bơiatruc, Ia G Gai, G P Gơlơvac, Giải tích tốn học, Các ví dụ tốn, Phần I, Tập II, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1979 Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng, Các giảng số học (Tập II), Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2006 Nguyễn Sinh Ngun, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị, Tuyển tập dự tuyển Olympic toán học Quốc tế, Nhà xuất Giáo dục, 2003 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc, Nhà xuất Giáo dục, 2003 Nguyễn Văn Nho, Chuyên đề Số học, Nhà xuất Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2005 Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập toán từ thi Mỹ Canađa, Nhà xuất Giáo dục, 2002 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 79 - 10 Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, Nhà xuất Giáo dục, Các năm xuất bản: 2001 đến 2010 11 Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Zuming Feng, 104 Number Theory Problems from the Training of the USA IMO Team, Birkhăauser, 2007, 204 p., Softcover, ISBN: 978-0-8176-4527-4 12 P Vandendriessche, Hojoo Lee, Problems in Elementary Number Theory, 2007 http://www.problem-solving.be/pen/ 13 Các Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ; Kvant; Tốn học nhà trường; CRUX, Mathematical Excalibur, 14 Các trang WEB tốn (tiếng Việt tiếng Anh) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương Các kiến thức hàm phần nguyên .5 §1 Khái niệm phần nguyên §2 Các tính chất phần nguyên .6 §3 Hàm phần nguyên đồ thị hàm phần nguyên 11 Chương Phần nguyên toán số học... học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 §3 HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM PHẦN NGUYÊN Từ định nghĩa phần nguyên (sàn), trần, phần dư, số làm trịn §1, ta đưa định nghĩa sau Hàm sàn Hàm f :...   §3 CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC CHỨA PHẦN NGUYÊN Chứng minh hệ thức chứa phần nguyên thực chất coi chứng minh tính chất phần nguyên Để chứng minh hệ thức chứa phần nguyên ta phải sử dụng tính