Đề thi học sinh giỏi khối 9 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán39801

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP ĐỀ THI HS GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 Ngày 24 tháng 10 năm 2015 Mơn thi : TỐN Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,5 điểm) 1   x 1 x 3     :  x   x 3 x    x 1  Cho biểu thức: P  a) Tìm điều Kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tìm x để P   Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2x  b) Cho x, y số thoả mãn:  x   x  y   y  2 Hãy tính giá trị biểu thức: A  x 2011  y 2011  Bài 3: (4,0 điểm) 11 1     Dấu “=” xảy nào? ab 4a b 1 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn:    x y z 1 Tìm giá trị lớn M    2x  y  z x  2y  z x  y  2z a) Với a, b > chứng minh: Bài 4: (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vng góc với AD (HAD); kẻ CK vng góc với AB (KAB) a) Chứng minh KBC đồng dạng HDC b) Chứng minh HCK đồng dạng ABC , suy HK = AC.sinBAD c) Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2 Bài 5: (2,0 điểm) Cho ABC vuông A điểm M nằm cạnh huyền BC Gọi H K hình chiếu M lên cạnh AB AC Chứng minh rằng: AC AB  4 MH MK -Hết Lưu ý : Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com LIÊN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học : 2015 – 2016 Mơn : TỐN ngày: 24/10/2015 (Chú ý: Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Bi 1: (4,5 im) a) Tìm ĐKXĐ x  0; x  1; x  b) Với x  0; x  1; x  , ta có: (0,5 điểm) 1   x 1 x 3     :  x   x 3 x    x 1 x  x 1  x  x  x 1  : x x 1 x  x 1  P   (0,75 điểm)   : x x         x  3  x 1  x  x  x 1 (0,5 điểm)     x  1  x  3 : x  x  1 Vậy Với x  0; x  1; x  th× P  (0,5 điểm) x 3 x (0,25 điểm) c) Với x  0, x  1& x  , ta có: x 3 P     x   8 x 2 x  x 3   x  x  3  x x (TMĐK) 25 Vậy với x  P   25   (0,50 điểm) (0,50 điểm) (0,50 điểm) (0,25 điểm) Bài 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 6x + 10 = 2x  5 Điều kiện 2x    x   (0,25 điểm) Ta có: x2 + 6x + 10 = 2x   (x  4x  4)  (2x  5)  2x     (x  2)2   2x  1  (1,25 điểm)  x     x  2  2x    b) Cho x, y số thoả mãn: (0,75 điểm)  x   x  y   y  (*) 2 Hãy tính giá trị biểu thức: A  x 2011  y 2011   x   x  x   x  y   y   x   y   y   x   x  Từ (*)  2 2 ThuVienDeThi.com 9 x  (0,75 điểm)  y   y  x   x (1) (0,75 điểm) Tương tự ta có: x   x  y   y (2) Lấy (1) cộng với (2) ta có : y =  x Suy A  x 2011  y 2011   x 2011  x 2011   Vậy A = (0,75 điểm) Bài 3: (4,0 điểm) 11 1     Dấu “=” xảy nào? ab 4a b 2 Với a, b > ta có: (a – b)   a + b2  2ab  ( a + b )2  4ab (0,75 điểm) 4ab ab ab (0,75 điểm)   ab a  b 4ab 11 1      Dấu “ = ” xảy  a = b (0,50 điểm) ab 4a b a) Với a, b > chứng minh: 1   8 x y z 1 Tìm giá trị lớn M    2x  y  z x  2y  z x  y  2z b) Cho x, y, z số dương thoả mãn: Vì x, y, z số dương, áp dụng bất đẳng thức câu a) ta có : 1 1 1   1 1   1  (1)               2x  y  z x  y  x  z  x  y x  z  16  x y x z  16  x y z  (0,50 điểm) 1 1 1   1 1    (2)               x  2y  z x  y  y  z  x  y y  z  16  x y y z  16  x y z  (0,50 điểm) 1 1 1   1 1   1  (3)               x  y  2z x  z  y  z  x  z y  z  16  x z y z  16  x y z  (0,50 điểm) 1 11 1 Từ(1); (2); (3) suy M           2x  y  z x  2y  z x  y  2z  x y z  1 (    ) Dấu “=” xảy  x = y = z = x y z Vậy M max   x  y  z  (0,50 điểm) Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình đúng: (0,25 điểm) ThuVienDeThi.com K B A N M C D H a) Chứng minh ∆KBC ~ ∆HDC (g.g) b) Chứng minh ∆HCK ~ ∆ABC (c.g.c) Từ ∆HCK ~ ∆ABC  (1,25 điểm) (1,25 điểm) HK CK = AC BC  KH = AC CK BC (0,50 điểm) = AC.sinKBC Mà KBC = BAD (2 góc đồng vị)  KH = AC.sinBAD c) Kẻ BM  AC M (hoặc DN  AC N ) hình vẽ Ta có: ∆ABM ~ ∆ACK (g.g) ∆CMB ~ ∆AHC (g.g)  AB.AK = AM.AC BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vì AD = BC)  AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC)  AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC Bài 5: (2,0 điểm) Ta có AB.MH + AC.MK = 2SABC 2.SABC AC AB    MH MK MH.MK AC AB  4 MH MK B (0,50 điểm) (0,75 điểm) Vẽ hình H A (0,75 điểm) (0,50 điểm) (0,50 điểm) Đặt S = SABC ; S1 = SAMB ; S2 = SAMC Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương ta có: S  S1  S2  S1S2  4S1S2  S2 Do đó: 2.SABC AC AB 2.S 4.S2 4.S2       (Vì AB.AC = 2S) MH MK 2S1 2S2 4S1S2 4S1S2 S AB AC 2S Vậy: (0,50 điểm) M K C ThuVienDeThi.com (0,25 điểm) */ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, cho điểm tối đa - Điểm toàn khơng làm trịn ThuVienDeThi.com ...LIÊN TRƯỜNG THCS NGA THI? ??N-NGA GIÁP HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học : 2015 – 2016 Mơn : TỐN ngày: 24/10 /2015 (Chú ý: Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Bài... AC 2S Vậy: (0,50 điểm) M K C ThuVienDeThi.com (0,25 điểm) */ Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án, cho điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn ThuVienDeThi.com ... 2011   x   x  x   x  y   y   x   y   y   x   x  Từ (*)  2 2 ThuVienDeThi.com ? ?9 x  (0,75 điểm)  y   y  x   x (1) (0,75 điểm) Tương tự ta có: x   x  y   y (2)