Tư liệu ôn thi vào chuyên Toán39636

www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng C u h c sinh tr ng THCS Gi y-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Th Sinh viên i h c Bách Khoa Hà N i Blog: http://360.yahoo.com/khongtu19bk T Li u Ơn Thi Vào Chun Tốn 53 thi & áp án vào Chuyên Toán thi HSG c p T nh (Thành Ph ) -B t c s chép di n đàn ph i xin phép đ c s cho phép c a Ban Qu n Tr Di n àn Mathnfriend.org m i đ c phép upload lên di n đàn khác c ng nh trang web khác -B t c s chép c a cá nhân ph i xin phép tác gi đ c s cho phép c a tác gi , th hi n s tôn tr ng quy n tác gi DeThiMau.vn www.VNMATH.com L i Nói u Cho t i nay, m t cu n tài li u sát th c cho em ơn thi vào Chun Tốn v n ch a đ c ban hành, đ ng th i c ng ch a có m t sách tốn h th ng đ y đ v n i dung, phong phú v t li u, đa d ng v th lo i ph ng pháp gi i, dành cho em luy n thi vào Chuyên Toán c ng nh cho giáo viên b i d ng h c sinh gi i áp ng nhu c u c p bách nói c ng nh theo yêu c u c a đông đ o giáo viên h c sinh, biên so n cu n "T Li u Ơn Thi Vào Chun Tốn" nh m cung c p thêm m t tài li u ph c v cho vi c d y h c Cu n sách l n đ u m t b n đ c vào n m 2002, tác gi h c l p 11-THPT Chuyên Hùng V ng-Phú Th K t cho t i nay, cu n sách v n cịn mang tính th i s c a Trong l n m t này, cu n sách đ c ch nh s a b sung, có nhi u khác bi t so v i b n m t n m 2002 Cu n sách g m 53 Thi, g m: 50 Thi vào tr ng Chuyên Hùng V ng-Phú Th , Kh i Ph Thơng Chun Tốn Tin- HSP HN ( sách này, tác gi vi t t t S Ph m I ), Kh i Ph Thơng Chun Tốn Tin- HKHTN- HQG HN ( sách này, tác gi vi t t t T ng H p ) Thi HSG c p t nh-Phú Th , Thi HSG c p Thành Ph -Hà N i Nh ng toán Thi r t đa d ng phong phú, địi h i h c sinh ph i có ki n th c c b n t t, phát huy kh n ng sáng t o c ng nh t cho h c sinh quan tr ng nh t gây lịng say mê h c tốn cho h c sinh Qua cịn giúp em h c sinh làm quen d n v i d ng Thi vào Chuyên Toán c a tr ng: Chuyên Hùng V ng-Phú Th , KPTCTT- HSPHN, KPTCTT- HKHTN- HQGHN M i đ thi đ u có l i gi i, chi ti t ho c v n t t tùy theo m c đ khó d Hi v ng cu n sách s đáp ng đ c yêu c u c a b n đ c Chúng xin trân tr ng c m n Cô giáo Tr n Th Kim Diên-GV THPT Chuyên Hùng V ng-Phú Th đ c b n th o cho nhi u ý ki n xác đáng c bi t, tác gi xin bày t lòng bi t n đ i v i Cơ giáo Nguy n Th Bích H ng, giáo viên Toán c a Tr ng THCS Gi y-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Th ( tr c tên tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh, Phú Th ) Cơ giáo Nguy n Th Bích H ng dìu d t tơi tơi cịn m t h c sinh y u kém, trang b cho n n t ng ki n th c v Toán r t quan tr ng Cu n sách này, tác gi vi t dành t ng Cô giáo Nguy n Th Bích H ng Các gi ng c a Cơ giáo Nguy n Th Bích H ng ti n đ cho vi t nên cu n sách T t c l i gi i toán cu n sách đ c vi t d a ph ng pháp mà Cô giáo Nguy n Th Bích H ng d y cho su t n m c p II M i ý ki n đóng góp cho cu n sách, b n g i v : GV Nguy n Th Bích H ng- Tr ng THCS Gi y-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Th Tác gi : Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh THCS Gi y-Phong Châu, Phù Ninh-Phú Th ( Khóa 1996-2000) (C u h c sinh Chuyên Toán-THPT Chuyên Hùng V ng-Phú Th ) Hi n Sinh Viên Khoa i n T Vi n Thông- i H c Bách Khoa HN DeThiMau.vn www.VNMATH.com Tác gi Ph m Minh Hoàng: Sinh ngày 19.03.1985 (Phú Th ) a ch mail: khongtu19bk@yahoo.com Tham gia di n đàn: http://mathnfriend.org v i nick khongtu19bk Ch c v hi n Mod-MS M t s thành tích: -N m l p 9,10,12: t gi i nh t mơn tốn c p T nh -N m l p 11: t gi i nhì mơn tốn c p t nh dành cho h c sinh l p 12- Thi v t c p toán QG đ t gi i khuy n khích - t gi i ba cu c thi gi i tốn T p chí toán h c tu i tr n m h c 1999-2000 Mathnfriend.org DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 1:Thi Chuyên Hùng V ng(2000-2001) Vòng 1: Câu 1: a).CMR: n3 − n v i ∀ n ≥ b).Cho x = ( ) + + − : 20 Hãy tính giá tr c a bi u th c: ( ) P = x5 − x + 2000 Câu 2: Xác đ nh giá tr nguyên c a m đ h ph ( x, y ) v i x, y s ngun: ng trình sau có nghi m nh t ⎧(m + 1).x + (3m + 1) y + m − = ⎨ ⎩2 x + (m + 2) y − = (1) (2) Câu 3: a).Cho x > y x y = 1000 Hãy tính giá tr nh nh t c a bi u th c: P = b).Gi i ph ng trình : ( x − 1) 2000 + ( x − 2) 2000 x2 + y x− y =1 Câu 4: G i a,b,c đ dài ba c nh m t tam giác: , hb , hc đ dài ba đ ng cao t ng v i ba c nh đó; r bán kính đ ng trịn n I ti p tam giác 1 1 a).CMR: + + = hb hc r b).CMR: ( a + b + c ) ≥ ( ha2 + hb2 + hc2 ) H ng d n gi i : Câu 1: ( ) a).Có: P = n3 − n = n n − = ( n − 1) n ( n + 1) Vì n, n + hai s nguyên liên ti p nên P - N u n ⇒ P - N u n chia cho d (n-1) ⇒ P - N u n chia cho d (n+1) ⇒ P V y P mà ( 2,3) = ⇒ P b).Có : x = ( ) + + − : 20 = ( ) + + − : 20 = 1 DeThiMau.vn ng www.VNMATH.com Ph m Minh Hồng-C u h c sinh tr T : P = (1 − + 1) 2000 ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th = Câu 2: (1) ⎧(m + 1).x + (3m + 1) y + m − = Theo ta có: ⎨ (2) ⎩2 x + (m + 2) y − = ⎧2(m + 1) x + 2(3m + 1) y + 2m − = ⇒⎨ ⎩2(m + 1) x + (m + 1)(m + 2) y − 4(m + 1) = ( ) (3) (4) L y (4) tr (3) theo v ta có: m − 3m y − 6m = hay m ( m − 3) y = 6m (5) h có nghi m nh t (5) ph i có nghi m nh t.Khi m ≠ 0, m ≠ m + 12 15 Ta có : y = (*) ⇒ x = (6) = 1− m−3 m−3 3− m T (*) suy : Mu n y nguyên ( m − ) t (6) mu n x nguyên 15 (m − 3) Suy (m-3) ⇒ m = 2, 4, (theo (*)) Th l i th y th a mãn Nh n xét: H c sinh có th dùng ki n th c v đ nh th c đ gi i quy t toán này.Tuy nhiên theo ,đi u y không c n thi t.Chúng ta không nên l m d ng ki n th c ngồi ch ng trình,”gi t gà c n ph i dùng t i dao m trâu” Câu 3: ( x − y ) + xy 2000 2000 = x− y+ a).Có P = Vì x > y nên x − y > >0.Áp d ng x− y x− y x− y 2000 b t đ ng th c Côsi cho hai s d ng x − y đ c: P ≥ 2000 = 40 x− y 2000 ng th c x y ⇔ x − y = ⇔ x − y = 20 K t h p v i x y = 1000 ta tìm đ c x− y ⎡ x = 10 − 10 15 , y = −10 − 10 15 ⎢ ⎣⎢ x = 10 + 10 15 , y = −10 + 10 15 b).Có: (x − 1) 2000 + (x − 2) 2000 = x −1 2000 + x−2 2000 -Th v i x = 1, x = th y th a mãn -N u x < x − >1.Do : x − 2000 + x−2 2000 -N u x > x − >1.Do : x − 2000 + x−2 2000 -N u < x < x − < ; x − < Do đó: x − V y nghi m c a ph >1 >1 2000 ⎡x = ng trình ⎢ ⎣x = Câu 4: a).Có: a.ha = b.hb = c.hc = ( a + b + c ) r = S DeThiMau.vn + x−2 2000 < ( x − 1) + (2 − x) = www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th (S di n tích tam giác cho) Suy ra: a.ha a a =1⇒ = 2S a.ha S Hoàn toàn t ng t v i b,c ta thu đ c: a b c a+b+c + + = = 2S a.ha b.hb c.hc r 1 1 ⇒ + + = (đpcm) hb hc r b) Xét tam giác ABC có: AB = c, BC = a, AC = b T A d ngđ ngth ng d // BC L y B ' đ i x ng v i B qua d Ta nh n th y BB ' = 2.ha Ta có: (1) BB '2 + BC = B ' C ≤ ( B ' A + AC ) Suy ra: 4.ha2 ≤ (c + b) − a Hoàn toàn t ng t ta có: 4.hb2 ≤ (c + a) − b (2) 4.hc2 ≤ (a + b) − c (3) T (1), (2), (3) ta có : (c + b )2 − a + (c + a) − b + (b + a) − c ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) ⇒ (a + b + c ) ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) (đpcm) *Nh n xét: Ngoài cách gi i cịn có th gi i toán theo ph ng pháp đ i s nh sau: a+b+c tp= Theo cơng th c HêRơng ta có: S = ha2 a = p.( p − a).( p − b).( p − c) p−b+ p−c p( p − a)( ) p ( p − a )( p − b)( p − c) 2 ⇒ ha2 ≤ p( p − a ) ⇒ = ≤ 2 a a T ng t : hb ≤ p ( p − b) hc2 ≤ p ( p − c) Suy ra: p.( p − a) + p.( p − b) + p.( p − c) ≥ ha2 + hb2 + hc2 ⇒ (a + b + c ) ≥ 4(ha2 + hb2 + hc2 ) DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 2:Thi Chuyên Hùng V ng(2000-2001) Vòng 2: Câu 1: CMR: a).Khơng th có s ngun l a1 , a , , a 2000 th a mãn đ ng th c: 2 a12 + a 22 + + a1999 = a 2000 b).Tích c a s nguyên d Câu 2: Cho bi u th c: P = ng liên ti p khơng th m t s ph ng a2 b2 a b − − (a + b)(1 − b) (a + b)(1 + a ) (1 + a ).(1 − b) a).Rút g n P b).Tìm c p s nguyên (a, b ) đ P = ng trình ax + bx + c = có hai nghi m thu c đo n [0;1] Xác đ nh (a − b)(2a − c) a, b, c đ bi u th c P có giá tr nh nh t,l n nh t Trong đó: P = a(a − b + c) Câu 3: Gi s ph Câu 4: a).Cho đ ng tròn tâm O có hai đ ng kính AB CD vng góc v i Trên đo n CD l y m M đo n OD l y m N cho MN b ng bán kính R c a đ ng trịn ng th ng AN c t đ ng tròn t i m P khác A.H i tam giác AMP có vng M khơng? b).Trong đ ng trịn l y 2031 m tùy ý CMR:Có th chia hình trịn thành ph n b i dây cung cho ph n th nh t có 20 m,ph n th hai có 11 m, ph n th có 2000 m H ng d n gi i: Câu 1: a) Nh n xét: N u a s nguyên l a2 chia cho d 1.Th t v y: t a = 2k + th thì: a = ( 2k + 1) = 4k + 4k + = 4m + (trong k,m ∈ Ζ ) Áp d ng nh n xét vào tốn ta có: N u a1 , a , , a 2000 đ u s nguyên l thì: a12 + a 22 + + a1999 ≡ + + + ≡ 1999 ≡ 3(mod 4) (1) Mà a 2000 ≡ 1(mod 4) (2) T (1) (2) suy u ph i ch ng minh DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr b).Gi s ta có s nguyên d ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th ng liên ti p n, n + 1, n + 2, n + Có: P = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) = ( n + 3n ) ( n + 3n + ) = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) T d dàng nh n th y: ( n + 3n ) < P < ( n + 3n + 1) Suy P khơng th s ph ng Câu 2: i u ki n a ≠ −1, a ≠ −b (do b ≠ ) a (1 + a) − b (1 − b) − a b (a + b) = a − b + ab a).Khi đó: P = (a + b)(1 + a)(1 − b) V y P = a − b + ab b).Có: P = ⇔ a − b + ab = ⇔ (a − 1).(1 + b) = Ta xét tr ng h p: ⎧a − = ⎧a = ⎧a − = −1 ⎧a = ⇔⎨ 4i) ⎨ ⇔⎨ 1i) ⎨ ⎩1 + b = ⎩1 + b = −4 ⎩b = −5 ⎩b = ⎧a = ⎧a − = ⎧a = −1 ⎧a − = −2 (lo i) 2i) ⎨ ⇔⎨ (l ai) 5i) ⎨ ⇔⎨ ⎩b = ⎩1 + b = ⎩b = −3 ⎩1 + b = −2 ⎧a − = ⎧a = ⎧a = −3 ⎧ a − = −4 ⇔⎨ 3i) ⎨ 6i) ⎨ ⇔⎨ ⎩1 + b = ⎩b = ⎩b = −2 ⎩1 + b = −1 Ta có c p (a, b ) c n tìm: ( 2;3) , ( 5;0 ) , ( 0; −5 ) , ( −3; −2 ) Câu 3: b c (1 − )(2 − ) (a − b)(2a − c) a a Có: P = = b c a (a − b + c) 1− + a a b ⎧ ⎪⎪ x1 + x = − a Áp d ng đ nh lý Vi-et ta có: ⎨ ⎪ x x = c ⎪⎩ a V y P = − A ( x1 , x nghi m c a ph ng trình cho: x1 , x ∈ [0;1] ) x x (3 + x1 + x2 ) V i A= + x1 + x2 + x1.x2 D th y A ≥ nên P = − A ≤ − = ⎧c = ⎪ ng th c x y ⇔ x1 x = ⇔ ⎨ b ⎪⎩− a ∈ [0;1] DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr L i có: A= 3x1 x2 + x1 x2 ( x1 + x2 ) ≤ ( x1 + 1).( x2 + 1) ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th (x + x ) (x + x ) + 2 ( x1 + 1).( x2 + 1) ( x1 + x2 ) = (x + x ) ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) ( x + x ) = ≤ ( x1 + 1).( x2 + 1) 1+1 ( x1 + 1).( x2 + 1) + ( x1 + 1).( x2 + 1) ≤4 = ( x + 1).( x + 1) ⎧b = 4ac ng th c x y ⇔ x1 = x = ⇔ ⎨ ⎩− b = a Suy ra: P = − A ≥ − = D u “=” x y ⇔ 4 ⎧b = 4ac ⎨ ⎩− b = a ⎧ Pmax = ⎪ V y: ⎨ ⎪⎩ Pmin = Câu 4: a) - N u M ≡ C N ≡ O Do Δ AMP vng M - N u M ≡ O N ≡ D Do Δ AMP vng M - N u M n m gi a C O N n m gi a O D.Ta ch ng minh tr ng h p Δ AMP không vuông Th t v y,n u Δ AMP vng M ta h MH ⊥ AP t i H Có: ΔPBC (g-g) BAP = DMH ⇒ ΔMHN MH MN AP ⇒ = = ⇒ MN = (1) AP AB 2 H OI ⊥ AP t i I IA=IP AP Trong Δ AMP vng có: MI = AP V y MH = MI = ⇒ H ≡ I ⇒ M ≡ O (vơ lý) b) +Vì s m đ ng tròn h u h n nên s đ ng th ng qua hai s m cho h u h n.Do s giao m c a đ ng th ng v i đ ng tròn h u h n.Vì v y t n t i A thu c đ ng trịn nh ng khơng n m b t c đ ng th ng s xét DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th +V tia g c A qua 2031 m cho, tia c t đ ng tròn t i m B1,B2, ,B2031(theo chi u kim đ ng h k t A).Rõ ràng tia phân bi t +V tia n m gi a hai tia AB20 AB21 c t đ AB32 c t đ ng tròn t i C ng tròn t i B,tia n m gi a hai tia AB31 +Rõ ràng dây AB AC chia hình trịn thành ph n:ph n th nh t có 20 m,ph n th hai có 11 m,ph n th ba có 2000 m DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 3:Thi S Ph m I(2000-2001) Vòng 1: 3x x3 + − = ( x − 1) x − ⎧x + y + z = Câu 2: Cho x,y,z ∈ R th a mãn: ⎨ ⎩− ≤ x , y , z ≤ Câu 1: Gi i ph ng trình: x + CMR: x + y + z ≤ Câu 3: Tìm t t c s nguyên t có d ng: p = n n + Trong n ∈ N*,bi t p có khơng nhi u h n 19 ch s Câu 4: Gi s P m t m b t k n m m t ph ng c a m t tam giác đ u ABC cho tr c.Trên đ ng th ng BC,CA,AB l n l t l y m A ', B ', C ' cho PA ', PB ', PC ' theo th t song song v i BA,BC,CA 1.Tìm m i quan h gi a đ dài c nh c a tam giác A ' B ' C ' v i kho ng cách t P t i đ nh c a tam giác ABC.CMR:T n t i nh t m t m P cho tam giác A ' B ' C ' tam giác đ u 2.CMR:V i m i m P n m tam giác ABC ta có: BPC - B ' A'C ' = CPA - C ' B ' A' = APB - A'C ' B ' ( = q );và giá tr chung q c a hi u không ph thu c vào v trí c a P 3.Tìm qu tích m P n m tam giác ABC cho tam giác A ' B ' C ' vuông A ' , ch rõ cách d ng qu tích H ng d n gi i: Câu 1: i u ki n: x ≠ 1, x ∈ R Ta có: x3 3x x + + −2=0 ( x − 1) x − x2 x2 x ⎞⎛ ⎛ + ⇔ ⎜x + ⎟⎜⎜ x − x − ( x − 1) x − ⎠⎝ ⎝ ⎞ 3x ⎟⎟ + − = ⎠ x −1 3x ⎛ ⎛ x ⎞⎞ x ⎞ ⎛ ⎜⎜1 − ⎜ x + ⇔ ⎜x + ⎟ + ⎟⎟ − = x − ⎠ ⎟⎠ x −1⎠ x −1⎝ ⎝ ⎝ 3 x ⎞ x ⎞⎛ x ⎞ ⎛ ⎛ ⇔ ⎜x+ ⎟ − = ⎟⎜1 − x − ⎟ + 3⎜ x + x −1⎠ x − ⎠⎝ x −1⎠ ⎝ ⎝ DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th x ⎞ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ ⎛ ⇔ ⎜x + ⎟ −2 = ⎟ − 3⎜ x + ⎟ + 3⎜ x + x −1⎠ x −1⎠ ⎝ x −1⎠ ⎝ ⎝ x ⎞ ⎛ ⇔ ⎜x + − 1⎟ = x −1 ⎠ ⎝ x ⇔ x+ = ⇔ x − 2x + = x −1 ⇔ ( x − 1) + = (vô nghi m) V y h cho vô nghi m Câu 2: Trong ba s x,y,z t n t i hai s cho tích c a chúng m t s không âm +) N u xz ≥ ta có: x + y + z ≤ ( x + z ) + y = y ≤ ⇒ x + y + z ≤ x + y + z ≤ 2 ng th c x y z = 0, x = −1, y = Các tr ng h p cịn l i hồn toàn t ng t Câu 3: Th v i n = (th a mãn) V i n > ta có: +) N u n l n n + ( ) ( n + 1) ( n n ) + > ( n + 1) α α +) N u n = 2α t v i α > 0, t l Khi đó: n n = n t ⇒ n n + n + +) N u n = 2α Có: 1616 + = ( 210 ) 16 + > (103 ) 10 = 1019 ⇒ n < 16 6 Th v i n=2,4,8 th y th a mãn Câu 4: ây khơng khó, đ ngh b n đ c t gi i DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 4:Thi S Ph m I(2000-2001) Vòng 2: Câu 1: CMR: 2000 < ( ( ( ) ) ) ⎧x y + y + = y ⎪ Câu 2: Gi i h : ⎨ y z + 3z + = z ⎪ z x + 3x + = 3x ⎩ Câu 3: Tìm t t c b s t nhiên l n h n th a mãn: Tích c a hai s b t k ba s y c ng v i 1chia h t cho s cịn l i Câu 4: Tam giác XYZ có đ nh X,Y,Z l n l t n m c nh BC,CA,AB c a tam giác ABC g i n i ti p tam giác ABC 1.G i Y ', Z ' hình chi u vng góc c a Y Z lên c nh BC BC CMR: N u có ΔXYZ ΔABC Y ' Z ' = 2.Trong s nh ng tam giác XYZ n i ti p tam giác ABC theo đ nh ngh a đ ng d ng v i tam giác ABC, xác đ nh tam giác có di n tích nh nh t H ng d n gi i: Câu1: Có: 1999 2000 < 1999.2001 = 1998 20002 − < < 1998.2000 = 1997 19992 − < < 2.4 < 3.(đpcm) Câu 2: ( ( ( ) ) ) ⎧x y + y + = y ≥ ⎪ Theo ta có: ⎨ y z + z + = z ≥ ⎪ +3 +3 =3 ≥ x x ⎩z x 3t Xét hàm s : f (t ) = [0;+∞ ) L y t1 < t ∈ [0;+∞ ) Xét: t + 3t + 3(t − t 22 ) + 3t1t (t1 − t ) < V y f (t ) đ ng bi n [0;+∞ ) f (t1 ) − f (t ) = (t1 + 3t1 + 3)(t 22 + 3t + 3) T suy đ [ ] 3x ⇔ x ( x + 1) − = c x = y = z Khi đó: x = x + 3x + 3 10 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th ⎡x = ⇔⎢ ⎣ x = −1 ⎡ x1 = y1 = z1 = V y h cho có nghi m là: ⎢ ⎣ x2 = y = z = − Câu 3: G i ba s c n tìm a, b, c Ta gi s < c ≤ b ≤ a Ta có: ⎧ab + c ⎪ ⎨bc + a Suy ra:c ≠ a ≠ b ≠ c ⇒ < c ≤ b ≤ a Có: ⎪ca + b ⎩ ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) abc(1) ⇒ abc ≤ ab + bc + ca + ⇒ abc ≤ 3ab ⇒ < c ≤ + N u c = Khi đó: ( ab + 1) c ⇒ a, b s l T (1) ⇒ 2a + 2b + ab ⇒ 2a + 2b + ≥ ab ⇒ ( a − ) ( − b ) + ≥ ⇒ ( a − ) ( − b ) = −1, −3, −5 T ta tìm đ c a=7,b=3 th a mãn ⎧3b + a + N u c = Khi đó: ⎨ ⇒ 3b + = a; 2a ⎩3a + b Xét: -N u 3b + = a ⇒ a : d 1, a > 4,3a + b ⇒ 9a + a − ⇒ 12 a − ⇒ a = 7, b = < c = (lo i) -N u 3b + = 2a Hoàn toàn t ng t nh trên, khơng có b s th a mãn V y ba s t nhiên c n tìm:7,3,2 Câu 4: L y C ' đ i x ng v i C qua Y ' Có: YC 'C = ACB = YZX ⇒ T giác ZYXC ' n i ti p ⇒ ZC ' B = ZYX ⇒ ZC ' B = ABC ⇒ Z'B=Z'C BC ⇒ Y 'Z ' = 2 ' ' S ⎛ YZ ⎞ ⎛ Y Z ⎞ Có XYZ = ⎜ ≥ ⎟ = ⎟ ⎜ S ABC ⎝ Bc ⎠ ⎝ BC ⎠ ng th c x y XB = XC , YA = YC & ZA = ZB 11 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 5:Thi T ng H p (1999-2000) Vòng 1: ⎧a + b + c = Câu 1: Các s a,b,c th a mãn: ⎨ 2 ⎩a + b + c = 14 Tính P = + a + b + c Câu 2: ng trình: x + − − x = x − 1 ⎧ ⎪x + y + x + y = ⎪ 2.Gi i h : ⎨ ⎪ xy + = xy ⎩⎪ 1.Gi i ph Câu 3: Tìm t t c s nguyên d Câu 4: Cho vòng tròn(O) m I ng n đ : ( n + 9n − ) ( n + 11) vòng tròn.D ng qua I hai dây cung b t k MIN, EIF G i M ', N ', E ', F ' trung m c a IM , IN , IE , IF 1.CMR: T giác M ' E ' N ' F ' t giác n i ti p 2.Gi s I thay đ i,các dây MIN, EIF thay đ i CMR:Vòng tròn ngo i ti p t giác M ' E ' N ' F ' có bán kính khơng đ i 3.Gi s I c đ nh,các dây MIN, EIF thay đ i nh ng ln vng góc v i nhau.Tìm v trí c a dây MIN EIF cho t giác M ' E ' N ' F ' có di n tích l n nh t Câu 5: Cho x, y > th a mãn: x + y = Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ⎛ ⎞⎛ ⎞ P = ⎜⎜ x + ⎟⎟⎜ y + ⎟ y ⎠⎝ x ⎠ ⎝ H ng d n gi i: 2 2 2 ⎧a + b + c = ⎧ab + bc + ca = −7 ⎪⎧a b + c a + b c = 49 Câu 1: Có: ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩a + b + c = 14 ⎩a + b + c = 14 ⎩a + b + c = 14 ⎧a + b + c = ⇔⎨ V y P=99 4 ⎩a + b + c = 98 Câu 2: ây toán đ n gi n,đ ngh b n đ c t gi i 12 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th i u ki n: xy ≠ ⎡ xy = ⎢ T gi thi t: xy + = ⇔ ( xy − 1) ( xy − ) = ⇔ ⎢ xy = xy ⎣ 1 3y + N u xy = ⇒ x = ⇒ x + y + + = + = y x y y 2 ⎡y = 1⇒ x = ⇒ y2 − 3y + = ⇒ ⎢ ⎣y = ⇒ x = 1 ⎡ y =1⇒ x = ⎢ 1 1 ⇒ x + y + + = ⇒ y2 − y +1 = ⇒ ⎢ + N u xy = ⇒ x = 2y x y ⎢y = ⇒ x = ⎢⎣ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ V y nghi m ( x; y ) c a h là: ( 2;1) , (1; ) , ⎜1; ⎟ , ⎜ ;1⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ Câu 3: Có: n + 9n − n + 11 Mà n + 11n n + 11 ⇒ ( 2n + ) ( n + 11) Mà ( 2n + 22 ) ( n + 11) ⇒ 20 ( n + 11) ⇒ n = V y n = đáp s c n tìm Câu4: D th y: E ' N ' M ' = ENM = E ' F ' M ' V y t giác M ' N ' E ' F ' n i ti p Vòng tròn ngo i ti p t giác M ' E ' N ' F ' đ ΔM ' N ' F ' Gi s có bán kính R ' Do ΔM ' N ' F ' ΔMNF ( g − g ) Suy ra: R' M ' N ' = = R MN R ⇒ R ' = (đpcm) H OT ⊥ MN; OQ ⊥ EF Có: 13 DeThiMau.vn ng trịn ngo i ti p www.VNMATH.com Ph m Minh Hồng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 1 1 S MENF = MN EF = MT EQ = R − OQ )( R − OT ) ( 2 1 ≤ ( R − OQ + R − OT ) = ( R − OI ) 4 ng th c x y ch OQ = OT ⇔ OIF = 450 SM 'E'N 'F ' = Câu 5: Cách 1: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x+ y⎞ ⎜⎜ x + ⎟⎟⎜ y + ⎟ = ⎜⎜ xy + ⎟⎟ D th y < xy ≤ ⎜ ⎟ = xy ⎠ y ⎠⎝ x ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ Xét hàm s : f (t ) = t + ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎜ 0; ⎥ L y t1 < t2 ∈ ⎜ 0; ⎥ t ⎝ 4⎦ ⎝ 4⎦ ⎛ Xét : f (t1 ) - f (t1 ) = (t1 − t )⎜⎜1 − ⎝ t1t ⎞ ⎛ 1⎤ ⎟⎟ Vì t1 , t2 ∈ ⎜ 0; ⎥ ⇒ < t1 t ⎝ 4⎦ ⎠ ⎛ 1⎤ T d dàng nh n ra: f (t1 ) − f ( t2 ) > V y f (t ) ngh ch bi n ⎜ 0; ⎥ ⎝ 4⎦ 17 ⎛ 1⎤ ⎛ 1⎤ ⎛1⎞ ≤ f (t ) v i ∀ t ∈ ⎜ 0; ⎥ Do mà: f ⎜ ⎟ ≤ f (t ) v i ∀ t∈ ⎜ 0; ⎥ Hay ⎝ 4⎦ ⎝ 4⎦ ⎝4⎠ 17 289 ⎛ ⎞ ⇒ ≤ xy + ⇒ ≤ ⎜⎜ xy + ⎟⎟ = P xy xy ⎠ 16 ⎝ ng th c x y x = y = ⇒ Pmin = 289 16 Cách 2: Có : P = + x y + Mà: x y + (1) x y2 x2 y 1 ≥ = (2) 2 2 256 x y 256 x y 14 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hồng-C u h c sinh tr Vì 255 ≥ x y nên: ≥ 16 256 x y T (1),(2),(3) suy P ≥ 289 16 ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 255 255 (3) = 16 256 16 ⎧ 2 ⎪ x y = 256 x y ⎪ 1 ⎪ ng th c x y ra: ⇔ ⎨ x y = ⇔x=y= 16 ⎪ ⎪x + y = ⎪ ⎩ 15 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th 6:Thi T ng H p (1999-2000) Vòng 2: Câu 1: Gi i ph x+7 + = 2x + 2x − x +1 ng trình: Câu 2: Các s a1 , a2 , , a9 đ ak = 3k + 3k + (k c xác đ nh b i công th c: i =9 v i ∀k ≥ Hãy tính P = + ∑ i =1 + k) Câu 3: CMR: T n t i m t s chia h t cho 1999 t ng ch s c a s b ng 1999 Câu 4:Cho vòng tròn (O,R).Gi s A,B hai m c đ nh vòng tròn AB = R 1.Gi s M m t m thay đ i cung l n AB c a đ ng tròn.Vòng tròn n i ti p tam giác MAB ti p xúc v i MA t i E ti p xúc v i MB t i F ng th ng EF ti p xúc v i m t đ CMR: 2.Tìm t p h p m P cho đ đo n th ng AB ng tròn c đ nh M thay đ i ng th ng (d) vng góc v i OP t i P c t Câu 5: Cho hình trịn (O) bán kính b ng Gi s A1,A2, ,A8 tám m b t k n m hình trịn (k c biên) CMR: Trong m cho t n t i hai m mà kho ng cách gi a chúng nh h n H ng d n gi i: Câu 1: -V i ⎧2 x − ≥ ⎪x + ⎪ i u ki n: ⎨ ≥0⇔ x≥ ⎪ x +1 ⎪⎩ x ≠ −1 x+7 ≤ x < thì: + = 1+ +8 >8+ x +1 x +1 Mà: x + x − < + ⇒ x + x − ≠ -V i x > thì: x+7 +8 x +1 x+7 + = 1+ + < + Và đó: x + x − > + x +1 x +1 ⇒ 2x + 2x − ≠ x+7 +8 x +1 16 DeThiMau.vn www.VNMATH.com Ph m Minh Hoàng-C u h c sinh tr ng THCS Phong Châu-Phù Ninh-Phú Th -Th v i x = th y th a mãn V y ph ng trình cho có nghi m nh t x = Câu 2: V i k ≥ ta có: 3k + 3k + (k + 1) − k 1 ak = = = 3− 3 k (k + 1)3 k (k + 1) k2 + k 1 1 1 999 Thay k = 1, 2, ,9 ta đ c: P = + − + − + + − = − = 1000 2 10 10 ( ) Câu 3: Có 3998 = 2.1999 Ta th y r ng s :A = 19991999 1999 39983998 3998 ln chia h t cho 1999 (s A có x s 1999, y s 3998) T ng ch s c a A là: (1 + + + ) x + ( + + + ) y = 28 x + 29 y Ta c n tìm hai s nguyên d ng x,y đ : 28 x + 29 y = 1999 Khi có: 11 − y 11 − y 1999 − 29 y ∈ Ν ⇒ y = 11 ⇒ x = 60 = 71 − y + Vì x ∈ Ν nên 28 28 28 Ta có s A = 19991999 1999 39983998 3998 th a mãn (s A có 60 s 1999,11 s 3998) x= Câu 4: 1.G i I trung m c a AB.Có: AI AB sin AOI = = = ⇒ AOI = 600 ⇒ AMB = 600 AO 2AO H IH ⊥ EF,AT ⊥ EF,BQ ⊥ EF.Có: ME = MF ⇒ ΔMEF đ u ⇒ TEA = BFQ = 600.Có: AT BQ 3 ⇒ AT + BQ = ( AE + BF ) = AB = = cos 30 o = AE BF 2 3 AB ⇒ IH = AB ⇒ IH = AT + BQ = AB c đ nh V y EF ti p xúc v i đ ng trịn (I) bán kính 2.Ta tìm m P đ đ ng th ng (d) c t đo n AI Khi y có: OPI = OTI ≥ OAI = 30o Nh v y P ph i n m mi n m t 17 DeThiMau.vn ... sung, có nhi u khác bi t so v i b n m t n m 2002 Cu n sách g m 53 Thi, g m: 50 Thi vào tr ng Chuyên Hùng V ng-Phú Th , Kh i Ph Thông Chuyên Toán Tin- HSP HN ( sách này, tác gi vi t t t S Ph m I ),... em ơn thi vào Chun Tốn v n ch a đ c ban hành, đ ng th i c ng ch a có m t sách tốn h th ng đ y đ v n i dung, phong phú v t li u, đa d ng v th lo i ph ng pháp gi i, dành cho em luy n thi vào Chuyên. .. Qua cịn giúp em h c sinh làm quen d n v i d ng Thi vào Chuyên Toán c a tr ng: Chuyên Hùng V ng-Phú Th , KPTCTT- HSPHN, KPTCTT- HKHTN- HQGHN M i đ thi đ u có l i gi i, chi ti t ho c v n t t tùy