Một số đề ôn thi vào chuyên toán Đề số 1 Bài 1: (8 điểm) Cho parabol (P) : y x Viết phương trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 1) Gọi d đường thẳng ®i qua ®iĨm A(2; 1) vµ cã hƯ sè gãc m Với giá trị m đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M N, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích điểm M0 từ kẻ hai tiÕp tun cđa parabol (P) vµ hai tiÕp tun vuông góc với x y xy 19 Bài 2: (4điểm) Giải hệ phương trình: x y xy Bài 3: (8 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C điểm thuộc nửa đường tròn phía tam giác ABC, vẽ hình vuông BCĐề Sẩ ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa đường tròn Chứng minh C di chuyển nửa đường tròn đà cho đường thẳng ED qua điểm cố định đường thẳng FG qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích điểm E G C di chuyển nửa đường tròn đà cho Tìm quĩ tích điểm D F C di chuyển nửa đường tròn đà cho Đề số Bài 1: (7 ®iĨm) x 1 x x 64 x Giải phương trình: Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có: 1 a b b c c a Bµi 2: (6 điểm) Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt cđa y x 3x x2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y 3xy x y Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB CD vuông góc với E điểm cung AD Nối EC cắt OA M, nối EB cắt OD t¹i N Chøng minh r»ng tÝch OM ON số Suy giá trị nhỏ nhÊt cđa tỉng AM DN OM ON , ®ã cho biÕt vÞ trÝ cđa ®iĨm E ? AM DN Gọi GH dây cung cố định đường tròn tâm O bán kính R đà cho GH đường kính K điểm chuyển động cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lớn ThuVienDeThi.com Đề số Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình x 2mx m (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mÃn hệ thức x13 x23 Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị m để nghiệm dương phương trình đạt giá trị lớn Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: x x x x (2) Bài 3: (8 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC = 600, BC= a, AB = c ( a, c hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Đề số Bài 1: (7 điểm) x4 y Giải hệ phương trình: y 4x Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số thoả mÃn bất ®¼ng thøc: a2 b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2 th× | a | | b | | c | ab bc ca ab bc ca ab bc ca Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh số nguyên diện tích số nguyên gồm chữ số, chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm gièng A, B, C lµ mét nhãm ba người thân thuộc Cha A thuộc nhóm đó, gái B người song sinh C nhóm Biết C người song sinh C hai người khác giới tính C B Hỏi ba người A, B, C người khác giíi tÝnh víi hai ngêi ? Bµi 3: (7 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB CD vuông góc với Đường tròn (O1) nội tiếp tam giác ACD Đường tròn (O2) tiếp xúc với cạnh OB OD tam giác OBD tiếp xúc với đường tròn (O) Đường tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB OC tam giác OBC tiếp xúc với đường tròn (O) Đường tròn (O4) tiếp xúc víi tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoµi với đường tròn (O1) Tính bán kính đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R ThuVienDeThi.com Đề sè Câu 1: (1,5 điểm) So sánh số thực sau ( Khơng dùng máy tính gần đúng) Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2 1 x2 x2 1 Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ A x 1 2 x y Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 x y Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ - Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ - Số người tổ khơng q 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ? Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M khác Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) N điểm P Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P nằm đường tròn b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM.CN = 2R2 d) Khi M di chuyển đoạn AB P di chuyển đâu ? Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C điểm đường tròn (O, R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Khi C chuyển động đường trịn (O, R) D chuyển động đường nào? §Ị sè + Bài ( điểm ) Cho biểu thức A = x +1 x x +1 x - x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A Bài ( điểm ) Cho hàm số y = - 2x + có đồ thị (d) hàm số y = -4 có đồ thị (H) x a) Tìm toạ độ giao điểm (d) (H) b) Tìm (H) điểm A(xA, yA) (d) điểm B(xB , yB) thoả mÃn điều kiện : xA+ xB = vµ 2yA - yB = 15 Bài ( điểm) Tìm cặp số nguyên (x , y) cho: x 2x y x Bài (4 điểm) Cho (O , R) điểm A với OA = 2R Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AE vµ AF với (O) (E, F tiếp điểm ) Đường thẳng OA cắt (O) C D (O nằm A C) a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF M Tính tỉ số diện tích hai tam giác OAM OFM c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC Q Chứng minh đường thẳng AC, EF QM đồng quy ThuVienDeThi.com đề số Bài (4đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 x2 x 2x Bài (4đ) Cho biÓu thøc A x x x 10 x a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình a) x 3x b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (7) ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh : GH qua trung điểm M BC b) Chứng minh : ∆ABC ~ ∆AEF c) Chứng minh : BDˆ F CDˆ E d) Chứng minh : H cách cạnh tam giác DEF Bài (1) Giải bất phương trình 2007 2008 x §Ị sè Bài 1: a) Giải phương trình: x - x3 + x - 11x + 10 = b) Tìm x, y thoả mãn: x - x - = - y + y - Bài Rút gọn A = 3- 2- 3+ 2 + 3+ 2+ - 2 Bài Tìm GTNN (nếu có) biểu thức sau: P = x + 12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I J đối xứng qua O M điểm (khác A B) (O); đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D K Gọi H trung điểm FG a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp b) Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (O) ThuVienDeThi.com Đề số Bài (2 điểm): Cho biểu thức A y 10 3x y 31xy 10 x 3x a) Ph©n tÝch A thành nhân tử b) Tìm cặp số x, y thoả mÃn điều kiện y - x = đồng thời A = Bài (2 điểm): Cho biÓu thøc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t số nguyên không âm 2 2x - 2y 5t 30 Tìm giá trị x, y, z, tõ biĨu thøc M cã GTNN tho¶ m·n : 2 x 8y 9z 168 x 2x Bµi (2 điểm): Cho hàm số f(x) = (x R) x 2x f(x2) a) Chøng minh với giá trị x1, x2 tuỳ ý x cho 1≤ x1< x2 th× f(x1) < b) Với giá trị x f (x) Bài (4 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M E cho ME = BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DEF cắt đường thẳng AH N a) Chứng minh: BM BH = MD HN b) Chøng tá N điểm cố định c) Biết AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đề số 10 Bi 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức x2 y x x2 y y x2 y với x > 0, y > Bài 2: (4 điểm) a Xác định m để phương trình sau vơ nghiệm x x xm x b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Việt b Người biết tiếng Nga, tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, tiếng Pháp phải phiên dịch cho người người d Người tiếng Nga, tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người Hỏi người biết thứ tiếng ? Bài 4: (4 điểm) a Cho a b, x y Chứng minh (a + b) (x + y) 2(ax + by) (1) b Cho a + b Chứng minh a2006 + b2006 a2007 + b2007 ThuVienDeThi.com (2) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a a Nêu cách dựng dựng ABC cho gãc BAC = 600 trực tâm H ABC trung điểm đường cao BD (2 điểm) b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK BC (2 điểm) c Chứng minh AOH cân tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC theo a d Tính diện tích tam giác ABC theo a (2 điểm) §Ị sè 11 Câu 1:(1đ) Cho x = 3 125 27 3 125 CMR : x số nguyên 27 Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh : NÕu xy y yt t xt x x= y= t x.y.t =1 Cõu 3/(1,5đ) Cho đa thức f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n thỏa mãn m + n Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng Câu 5/(4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Lấy A E hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vng góc với AE cắt đường trịn (O; R) B C Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khơng phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động đường tròn (O; r) A≠ E đường thẳng CM ln qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động đường trịn (O;r) điểm H di động đường ? Chứng minh nhận xét ? §Ị sè 12 Bài 1: (3 điểm) 1 1 a Cho n số nguyên dương Hãy so sánh: 1 + + 2 n n n+1 n+1 b Tính: 1+ 1 + + 2 1+ 1 + + 1+ 1 + + + 1+ 1 + 2005 20062 n 1 + + + + n n ( với n N n > ) 2 -1 Bài 3: (4 điểm) Cho đường trịn tâm O có đường kính AB CD vng góc với Gọi M N trung điểm OA OB Đường thẳng CN cắt (O) I Chứng minh : gãc CMI < 900 Bài 2: (3 điểm) CMR : ThuVienDeThi.com ... Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Đề số Bài 1: (7 ®iĨm) x4 y Giải hệ phương trình: y 4x Chøng minh r»ng nÕu a, b, c số thoả mÃn bất... bc ca ab bc ca ab bc ca Bµi 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh số nguyên diện tích số nguyên gồm chữ số, chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm giống A, B, C nhóm ba người... nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ - Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ - Số người tổ không q 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ? Câu 6: