Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
533,1 KB
Nội dung
PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán Thời gian: 90 phút I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị x biểu thức ( x - )2 = 0,25 là: 1 9 A ; B ; C ; D ; 4 4 4 4 Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với Ox số đo góc OAm là: A 500 B 1300 C 500 1300 D 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với x > Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) f(1) = Giá trị f(4) là: A B C D Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B, AB = , Â = 30 Phân giác góc C cắt AB D Khi độ dài đoạn thẳng BD AD là: A.2; B 3; C 4; D 1; Câu 5: Cho a2m = - Kết 2a6m - là: A -123 B -133 C 123 D -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có E = F Tia phân giác góc D cắt EF I Ta có: A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF , IDE = IDF C IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C Câu 7: Biết a + b = Kết phép tính 0, a (b) 0, b(a ) là: A B C, 0,5 D 1,5 Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36 Giá trị lớn x = a.b là: A B - C D Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN Biết AC > AB Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CN là: A BM ≤ CN B BM > CN C BM < CN D BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x : A M ( - 1; -2 ) B N ( 1; ) C P ( ; -2 ) D Q ( -1; ) Câu 11: Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p Nếu tiền gửi 175000 tiền lãi là: A 8850 đ B 8750 đ C 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, Â = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là: A 500 B 700 C 300 D 800 II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị A x = Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120 Câu 3.(5 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB A B Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho góc COD 900 AB a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD b) Chứng minh rằng: AC.BD 2 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng: HA + HB + HC < ( AB AC BC ) Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ A, biết :A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| ThuVienDeThi.com PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu Đ án A C C II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1(4 điểm) 2(4 điểm) A B D B A C 10 D Nội dung M= + +4 + 1) + 25 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100Vậy M 102 B, Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b n2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 = x2 – 4x + 2015 A, Với x = ta A = 2015 x B, A = 2015 => x2 – 4x = => x(x - 4) = x Gọi số ba lớp trồng a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề ta có b : c = 1,5: 1,2 b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy lớp trồng số 2400 75.(42017+ 42016+ 11 B 12 C Điểm 42 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 3(5 điểm) A, Vẽ tia CO cắt tia đối tia By điểm E Chứng minh AOC BOE g c g AC BE; CO EO Chứng minh DOC DOE c g c CD ED 0,25 Mà ED EB BD AC BD Từ : CD AC BD (đpcm) B, Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BOE BOD ta có: 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com OE OB EB OE OD 2OB EB DB 2 OD OB DB Mà OE OD DE ; Nên 0,25 DE 2OB EB DB 2OB EB DE BD DB.( DE BE ) 2OB EB.DE EB.BD DB.DE DB.BE 2OB EB.DE DB.DE BD.BE 0,5 2OB DE EB DB BD.BE 4(2 điểm) 2OB DE BD.BE Suy 2OB BD.BE BD.BE OB AB Mà BE AC ; OB 2 AB AB Vậy AC.BD (đpcm) Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ HE BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < BC + AC (6) Từ suy HA + HB + HC < ( AB AC BC ) đpcm Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| | xy + yz + zx - 2000| Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| Mà A = |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = x y Có: |7x – 5y| = 7x = 5y x z |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = xy + yz + zx = 2000 x 20; y 28; z 30 Từ tìm x 20; y 28; z 30 A 0, mà A = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GII NM HC 2016 -2017 mÔN: TON (Thi gian làm 120 phút) ThuVienDeThi.com A= Bài (5 điểm)a) Thực phép tính: 212.35 - 46.92 (22.3) + 84.35 - 510.73 - 255.492 (125.7) + 14 b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19 c) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục giảm chữ số hàng đơn vị n đơn vị số có chữ số gấp n lần số có chữ số ban đầu Bài (3 điểm)a) Tìm số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z xyz = 30 b) Tìm x biết: 3 + = - 1,6 + x- Bài (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = b) Cho m = Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 2) Cho đơn thức A = - 2 x yz , B = - xy2z2, C = x3y Chứng minh đơn thức A, B, C nhận giá trị âm · · Bài (7 điểm)Cho D ABC nhọn có góc A 600 Phân giác ABC cắt AC D, phân giác ACB cắt AB E BD cắt CE I a) Tính số đo góc BIC b) Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BE Chứng minh D CID = D CIF c) Trên tia IF lấy điểm M cho IM = IB + IC Chứng minh D BCM tam giác Bài (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11 BÀI HƯỚNG DẪN NỘI DUNG Ý A= A= a - 12 6 - 25 49 10 - (2 3) + (125.7) + 14 212.34 (3 - 1) 212.35 (3 + 1) - = ĐIỂM - - 212.36 + 212.35 59.73 + 59.23.73 12 12 10 510.73 (1 - 7) 5.(- 6) 3.4 - 10 A= = b 0.5 0.5 0.5 4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)+…+17.18.19.(20 – 16) 4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19 4B=17.18.19.20 B = 17.18.19.5 = 29070 Gọi số có chữ số cầìm tìm abc (a, b, c STN có chữ số, a 0) c 0.5 59.73 (1 + 23 ) A= (5đ) 10 Theo ta có: (a + n)(b - n)(c - n) = n.abc Þ 100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c) Þ 100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn Þ 100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n Þ 89n Mn – mà (89; n – 1) = nên n Mn – Tìm n = Số có chữ số cần tìm 178 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 Þ a x y y z x y z = ; = Þ = = = k Þ x = 8k, y = 6k, z = 5k xyz = 30 Þ 8k.6k.5k = 30 ị 240k3 = 30 ị k = ẵ Þ x = 4, y = 3, z = (3đ) (3đ) 0.25 0.25 0.5 0.5 3 + = - 1,6 + Þ x + = - + 5 Þ x+ =1 b 1 Þ x= Þ x = hoac x = 4 Vì f(2) – f(–1) =7 Þ (m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 1.a Þ 2m – + m – = Þ 3m – = Þ m = x- 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 Với m = ta có hàm số y = f(x) = 4x 1.b Vì f(3 – 2x) = 20 Þ 4(3 – 2x) = 20 Þ 12 – 8x = 20 Þ x = –1 Giả sử đơn thức A, B, C có giá trị âm Þ A.B.C có giá trị õm Mt khỏc: A.B.C = ( ẵ x2yz2).( ắ xy2z2) x3y = (1) 4 xyz x y z4 x, y Þ A.B.C x; y (2) Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) Þ điều giả sử sai Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y khơng thể có giá trị âm Vẽ hình đúng, ghi giả thiết, kết luận Vì 0.25 0.25 0.25 0.25 A D E I (7đ) 2 B C F N M ThuVienDeThi.com 0.5 a b c (2đ) BD phân giác góc ABC nên B1=B2= ½ ABC CE phân giác góc ACB nên C1=C2= ½ ACB Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy 600 + ABC+ACB = 1800 Þ ABC+ACB = 1200 Þ B2+C1= 600 Þ BIC = 1200 D BIE = D BIF (cgc) Þ BIE = BIF BIC = 1200 Þ BIE = 600 Þ BIE = BIF = 600 Mà BIE + BIF + CIF = 1800 Þ CIF = 600 CID = BIE = 600 (đ.đ) Þ CIF = CID = 600 Þ D CID = D CIF (gcg) Trên đoạn IM lấy điểm N cho IB = IN Þ NM = IC Þ D BIN Þ BN = BI BNM = 1200 Þ D BNM = D BIC (cgc) Þ BM = BC B2 = B4 Þ D BCM Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + …+ n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n) S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n) Đặt T = 23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n Tính T = 2T – T = 2n-1 – 23 Þ S = n.2n+1 – 23 – 2n-1 + 23 = (n – 1).2n+1 Þ (n – 1).2n+1 = 2n+11 Þ n – = 210 Þ n = 210 +1 = 1025 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2016 – 2017 Thời gian: 120 phút khơng tính thời gian ghi đề Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 212.35 46.92 3 4 a) A = : : b) B = (2 3) 11 11 11 11 5x 3y x y Cho Tính giá trị biểu thức: C = 10x 3y x y y z Câu 2: (4,5 điểm)1 Tìm số x, y, z, biết: a) ; x + y + z = 92 2016 2016 2017 b) (x – 1) + (2y – 1) + |x + 2y – z| =0 Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = Câu 3: (3,0 điểm) Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 Cho hàm số y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a – 1; a2 + a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x) Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: 600 IA tia phân giác DIE a) BE = CD b) BDE tam giác cân c) EIC Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số hữu tỉ x, cho tổng số với nghịch đảo có giá trị số nguyên Cho số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c.ĐÁP ÁN 3 4 3 11 4 11 Câu 1: 1.a) A = : : = 11 11 11 11 11 11 11 3 4 11 3 4 11 11 = = (1) 1 11 11 7 11 11 7 212.35 46.92 212.35 (22 )6 (32 ) 212.35 212.34 212.34 (3 1) 212.34.2 b) B = = 12 = B = (2 3) 3 (23 ) 35 212.36 212.35 212.35 (3 1) 212.35.4 A= ThuVienDeThi.com x 3k 5x 3y 5(3k) 3(5k) 45k 75k 120k x y Khi đó:C = = =8 =k 10x 3y 10(3k) 3(5k) 90k 75k 15k y 5k y x y x 10 15 x y z Câu 2: 1.a) Ta có: 10 15 21 y z y z 15 21 x y z xyz 92 Áp dụng tính chất dãy tỉ số x + y + z = 92, ta được: = 2 10 15 21 10 15 21 46 x 10 x 20 y y 30 15 z 42 z 21 b ) Ta có: (x – 1)2016 (2y – 1)2016 x y 2017 2016 |x + 2y – z| x, y, z (x – 1) + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 x, y, z x – 12016 2016 Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = nên dấu "=" xảy 2y – 1 2017 0 x 2y – z x x 1 y y 2 z 1 2 – z Ta có: xy + 3x – y = x(y + 3) – (y + 3) = – (x – 1)(y + 3) = = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 –3 y+3 –3 –1 x –2 y –2 –6 –4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên: a2 + a = a(a – 1) + a2 + a = a2 – a + 2a = a = b) Với a = y = f(x) = x + Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + = (1 – 2x) + 4x = x = Câu ABC, A = 90 , ABD ACE B 4:GT I = BE CD a) BE = CD b) BDE tam giác cân KL D I c) EIC 60 IA tia phân giác DIE Đặt A3 ThuVienDeThi.com 1 2 C 0 0 DAC A1 90 60 90 150 DAC BAE a) Ta có: 0 0 BAE A 90 60 90 150 Xét DAC BAE có: DA = BA (GT) DAC BAE (CM trên) AC = AE (GT) DAC = BAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng) 3 A BAC 3600 b) Ta có: A A 600 900 600 3600 A 1500 A = DAC A = 1500 Xét DAE BAE có: DA = BA (GT) = DAC A (CM trên) AE: Cạnh chung DAE = BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng) BDE tam giác cân E 1 = C (Hai góc tương ứng) c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a) E ICE 1800 (Tổng góc ICE) Lại có: I1 E ) (C 1 C ) 1800 E I1 (AEC I1 600 E 1 C 600 1800 I1 1200 1800 (Vì E 1 = C 1 ) I1 600 1 = E (Hai góc tương ứng) EA tia phân giác DEI Vì DAE = BAE (Cm câu b) E (1) DAC BAE 1 = D (Hai góc tương ứng) DA tia phân giác Vì DAC = DAE D DAE BAE EDC (2) Từ (1) (2) A giao điểm tia phân giác DIE IA đường phân giác thứ ba DIE hay IA tia phân giác DIE m (m, n Z, n 0, (m, n) = 1) Khi đó: n m n m2 n x+ (1) x n m mn Để x nguyên m2 + n2 mn x m2 + n2 m n2 m (Vì m2 m) nm Mà (m, n) = nên m = m = – *) Với m = 1: 12 n n Từ (1), ta có: x = Để x nguyên + n2 n n hay n = 1.n n x x *) Với m = – 1: Câu 5: Gọi x = ThuVienDeThi.com Từ (1), ta có: x (1) n n 1 = Để x nguyên + n2 (– n) (– n) hay n = n (1).n x x m 1 1 1 hay x = n 1 1 Ta có: a + 3c = 2016 (1) a + 2b = 2017 (2) Từ (1) a = 2016 – 3c 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = b = Khi đó: 6c 3c 2c c 3c P = a + b + c = (2016 – 3c) + + c = 2016 2016 Vì a, b, c khơng 2 2 c 1 âm nên P = 2016 2016 , MaxP = 2016 c = 2 2 PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 Khi x = 1 , với a a 2015 2014 2016 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số số nguyên x 1 Câu 2: (5 điểm)a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M F E trung điểm EF a) Chứng minh MDH b) Chứng minh EF - DE > DF - DH a a a a15 Câu 4: (2 điểm) Cho số a1 a2 a3 a15 Chứng minh 5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F Câu 1: (5 điểm)a) Tính giá trị biểu thức P = a 300 a) Tính số đo CIN thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM MIN b) Chứng minh CE + BF < BC HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 2.5 đ NỘI DUNG ĐÁP ÁN 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a , với a a 2015 2014 2016 1 1 Thay a vào biểu thức P = 2015 2015 2014 2015 2016 1 1 1 Ta có P P 2014 2015 2015 2016 2014 2016 2016 2014 1 P P= 2014.2016 2014.2016 1007.2016 2030112 x 1 số nguyên x 1 x 1 = x 1 Điểm 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số 2.5 đ Đặt A = x 1 x 1 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 2( x 1) x 1 2x x 1 2( x 1) x 1 2 x 1 Để A nhận giá trị nguyên x + Ư(4) = 1; 2; 4 0.25 0.25 0.5 Suy x 0; 2;1; 3;3; 5 2đ 3đ a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab a b 1 1 1 ab Từ a b Suy 1 a b a b ab Vậy ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1 , S , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng d1 , r1 ; d , r2 ; d3 , r3 theo đề ta có S1 S ; d1 d ; r1 r2 27; r2 r3 , d3 24 S S3 Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài S1 r1 r r r r 27 1 3 S r2 9 Suy chiều rộng r1 12cm, r2 15cm Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24 d2 21cm S3 d 8 3đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy diện tích hình thứ hai S d r2 21.15 315 cm 0.25 4 0.25 Diện tích hình thứ S1 S 315 252 cm 5 0.25 8 Diện tích hình thứ ba S3 S 315 360 cm 7 Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF F E a) Chứng minh MDH 0.5 Hình vẽ đúng, xác 0.25 Vì M trung điểm EF suy MD = ME = MF 0.25 MDE ∆MDE cân M E phụ với E F Mà HDE 0.25 0.25 Ta có MDH MDE HDE F E Vậy MDH ThuVienDeThi.com b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K cho EK = ED, cạnh DF lấy I cho DI = DH Ta có EF - DE = EF - EK = KF DF - DH = DF - DI = IF Ta cần chứng minh KF > IF EKD - EK = ED ∆DHK EDK - EDK KDI EKD HDK 900 (2đ) (5đ) HDK KDI - ∆DHK = ∆DIK (c-g-c) DHK 900 KID Trong ∆KIF vuông I KF > FI điều phải chứng minh Cho số a1 a2 a3 a15 a a a a15 Chứng minh 5 a5 a10 a15 Ta có a1 a2 a3 a4 a5 5a5 a6 a7 a8 a9 a10 5a10 a11 a12 a13 a14 a15 5a15 Suy a1 a2 a15 5(a5 a10 a15 ) a a a a15 Vậy 5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, 300 N cho BIM CIN a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC - Vẽ hình đúng, đủ, xác a) Tính số đo MIN Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600 1 1 B C 300 2 1500 BIC 300 Mà BIM CIN MIN 900 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 b) Chứng minh CE + BF < BC 0.5 0 - BIC 150 FIB EIC 30 0.5 Suy ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g) BF = BM 0.25 0.25 - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g) CN = CE Do CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ KỲ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Bài 1:( 4.0 điểm ) a.Tìm x; y; z biết : 2x = 3y; 4y = 5z x - y - z = 30 b Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị số nguyên y = ThuVienDeThi.com Bài 2:( 6.0 ) a Chứng minh với số nguyên dương n ta ln có 5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n chia hếtcho 24 b Cho số thực a; b; c; d ; e khác thỏa mãn c Cho hai đa thức f(x) = ax + b; g(x) = x2 – x + Hãy xác định a; b biết: f(1) = g(2) f(-2) = g(1) Hãy so sánh Bài 3: ( 4.0 điểm ) a Cho a; b; c; d số thực dương thỏa mãn b Cho số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 2016 Chứng minh giá trị biểu thức sau số nguyên A = Bài 4:( 6.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông A ( AB< AC ) ; đường cao AH Trên cạnh BC lấy M cho BM = BA Từ M kẻ MN vng góc với AC (N thuộc AC ) Chứng minh rằng: a Tam giác ANH cân b B c 2AC2 – BC2 = CH2 – BH2 PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN BÀI Bài 1: 4.0 điểm Ý 1.a 2.0 điểm NỘI DUNG 2x =3y ĐIỂM 0.5 0.5 4y = 5z 0.5 0.5 ; y = -100; z = -80 1.b 2.0 điểm Bài 2: 6.0 điểm 2.a 2.0 điểm 2.b 2.0 điểm Biểu thức y = 0.5 0.5 0.5 0.5 có giá trị nguyên Ta có 5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n = (5n+2 – 5n) + ( 3n+2 – 3n) = 5n.24 + 3n.8 Vì n nguyên dương nên5n.24 chia hếtcho 24; 3n.8 chia hết cho 24 Vậy5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n chia hếtcho 24 với số nguyên dương n Ta có = = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy 2.c 2.0 điểm Ta có f(1) = g(2) 0.5 f(-2) = g(1) 0.5 1.0 Từ (1) (2) suyra ThuVienDeThi.com Bài 3: 4.0 điểm 3.a 2.0 điểm 0.5 Vì a; b; c; d số thực dương thỏa mãn Mặt khác : nên ad < bc (1) 0.5 (2) 0.5 (3) 0.5 Từ (1); (2); (3) suy 0.5 3.b 2.0 điểm Bài 4: 6.0 điểm A= Ta có : 0.5 Mặt khác: 0.5 0.5 0.5 A N B H M C 0.5 4.a 2.0 điểm 4.b 2.0 điểm 0.5 0.5 0.5 Ta có BC – AB = BC – BM = MC AC – AH = AC – AN = NC Tam giác MNC vuôngtại N nên MC >NC Suyra BC – AB > AC – AH 4.c 1.5 điểm BC + AH > AB + AC Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng ABH ; ACH ; ABC ta có : CH2 – BH2 = ( AC2 – AH2 ) – ( AB2 – AH2 ) = AC2 – AB2 = AC2 – ( BC2 – AC2) = 2AC2 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Câu 1: (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 a A 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2015.2017 b B = 2x2 – 3x + với x 2015 c C = x y 13 x y x y 15y x x y , biết x – y = 2016 1 Tìm x, y biết: x y 12 6 3x y z x y 3z Tìm x, y, z biết: x + y + z = 18 Câu 3: (5,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – = Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 Tính f(100) Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu 4: (5,0 điểm) Cho ABC có B + C = 600, phân giác AD Trên AD lấy điểm O, tia đối tia AC lấy điểm M cho ABM = ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho ACN = ACO Chứng minh rằng: a AM = AN b MON tam giác Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm B C Gọi D, E thứ tự hình chiếu M AC, AB Tìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ a2 b2 Câu 5: (1,0 điểm) Cho x + y = 1, x 0, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (a b x y số dương cho) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP ) TRIỆU SƠN Câu 2: (4,0 điểm) Hướng dẫn chấm Câu (5,0đ) Nội dung 1 a A 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2015.2017 2 3 4 2016 2016 2015 2017 2 3 4 2016 2016 2016 2015 2017 2017 1 nên x = x = 2 1 Với x = B = 2.( )2 – + = 2 1 Với x = B = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy B = với x = B = với x = - 2 b Vì x ThuVienDeThi.com Điểm 0,75 0,75 0,5 0,75 0,75 2015 c C = x y 13 x y x y 15 y x x y 2016 2x y 13 x y x y 15 xy x y (vì x – y = 0) 2 1,5 1 Vì x với x; y 12 với y, đó: 6 0,5 1 x y 12 với x, y 6 2 (4,0đ) (5,0đ) 0,25 1 1 Theo đề x y 12 Từ suy ra: x y 12 6 6 Khi x y 12 x y 4 12 Vậy x y 4 12 3x y z x y 3z Ta có: 43 x y 32 z x 24 y z 12 x y z 12 x y z Suy ra: 0 16 29 3x y x y Do đó: (1) 3x y 2z 4x x z (2) 2z 4x x y z Từ (1) (2) suy Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x y z 18 23 Suy ra: x = 4; y = 6; z = Ta có: x – 2xy + y – = 2x – 4xy + 2y – = 2x – 4xy + 2y – = 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = (2x – 1)(1 – 2y) = Lập bảng : 2x – 1 – 2y x y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy x; y 1;2 , 3;0 , 0;3, 2;1 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 -1 -5 Thỏa mãn -5 -1 -2 Thỏa mãn Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 = x9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101) Suy f(100) = ThuVienDeThi.com 0,5 1,0 0,25 0,75 0,75 0,5 Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a1, a2, a3, …, a8 với a1 a2 … a8 20 Nhận thấy với ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c b + c > a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a1, a2, a3, …, a8 không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 a7 + a8 + = a5 a6 + a7 + = a4 a5 + a6 + = a3 a4 + a5 + = a2 a3 + a4 + = 13 a1 a2 + a3 13 + = 21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai Do đó, số nguyên cho chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác 0,25 0,25 0,25 0,25 a 0,5 0,75 0,5 (5,0đ) ABM = ABD (g.c.g) AM = AO (1) ACN = ACO (g.c.g) AN = AO (2) Từ (1) (2) suy AM = AN b AOM = AON (c.g.c) OM = ON (3) AOM = AMN (c.g.c) OM = NM (4) Từ (3) (4) suy OM = ON = NM Do MON tam giác 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 Hướng dẫn: DE = AM AH (AH đường cao ABC) Vậy DE nhỏ AM nhỏ M trùng với H Ta có: P (1,0đ) a b a b a x y b x y a2 y b2 x a2 b2 x y x y x y x y a2 y b2 x a b y x ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,25 Các số dương b2 x a2 y có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ y x 0,25 a a2 y b2 x a y b x ay bx a1 x bx x ab x y b Suy y ab a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức P a b x y ab ab PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Bài (5 điểm ) 1.Thực phép tính: 193 33 11 1008 1007 A : 2016 193 386 17 34 1008 2016 25 B ( 11) 77 : 73.116 77 7 a bc ca b a cb Cho số a, b, c khác thỏa mãn: 2b 2a 2c c b a 1 1 b a c x 3x Tính giá trị biểu thức: P Bài (5 điểm )a) Tìm x biết: b) Tìm hình chữ nhật có kích thước cạnh số ngun cho số đo diện tích số đo chu vi c) Tìm số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: Bài (3 điểm) x y y z Cho hàm số: y f x x a) Vẽ đồ thị hàm số (1) 3 x 2 2015 x z 2017 (1) b) Gọi E F hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ (-4) , xác định tọa độ hai điểm E, F Tìm trục tung điểm M để EM+MF nhỏ Bài (6 điểm)1 Cho tam giác ABC nhọn; vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân A tam giác ABD tam giác ACE a) Chứng minh DC = BE DC BE b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến ED M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh A, M, H thẳng hàng Cho tam giác ABC vng A có AB= 3cm; AC= 4cm Điểm I nằm tam giác cách ba cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB Bài (1 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n tổng: 15 n2 1 S số nguyên 16 n Cõu Đáp án biểu điểm chấm HSG môn toán nm hc 2015-2016 Bi 1(5im ) Nội dung ThuVienDeThi.com Điểm (3 điểm) 193 33 11 1008 1007 : a)Tính A 2016 193 386 17 34 1008 2016 25 33 11 1007 2 A : 17 34 34 25 50 2016 1007 A 1: 2016 2015 A 1: 2016 2016 A 2015 2016 Vậy A 2015 0,25 0,25 0,25 c b a b c a b c a b c a b c a với a,b,c P 1 1 1 b a c a c b b a c a b c a c b Khi a+b+c =0 b c a P 1 a c b c a b Khi a+b+c , áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: abc cab acb abccabacb 2b 2a 2c 2(c a b) ac cb ab ac cb ab 1 2 2b 2a 2c b a c P8 Với a,b,c P =-1 a+b+c =0; P = a+b+c Nội dung Câu a) a) Tìm x biết : (2 điểm) 0,75 0,5 b ) Tính B (11) 77 5. : 3\ 116 77 7 1 B 4.112.7 5.115 2 7 11 11 7 11 B 11 B 11 Vậy B 11 (1,5®iểm) 2® 1,5® 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Điểm x 3x x x 1 0,5 6x2 2 3x2 6 0,25 3x2 0,25 ThuVienDeThi.com 4 x x 10 x x 10 Vậy x ; 3 x2 b) (1,5điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm x,y (đơn vị độ dài ) (x,y N * ; x y ) Ta có diện tích chu vi hình chữ nhật : x.y 2(x+y) Theo ta có : x.y= 2(x+y) với x,y N * ; x y xy x y x( y 2) 2( y 2) ( y 2)( x 2) Ta có trường hợp sau : x x y y x x y y Có hai hình chữ nhật thỏa mãn tốn : Hình chữ nhật có kích thước 3; 0,25 0,25 0,25 Chứng minh: x y x y chia hết cho 0,25 y z y z chia hết cho z x z x chia hết cho 0,25 x y y z 2015 x z x y x y y z y z z x z x 2014 z x 0,25 Chia hết cho Mà 2017 không chia hết không tồn số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề Bài 3(3 điểm ) Nội dung Câu a) (1,5điểm) 0,25 0,25 Với x,y N * ta có ( y 2); ( x 2) Z y 2; x Ư(4)= 1;2;4 x-2 ; y-2 > -2 x y c) (1,5điểm) 0,25 x (1) ThuVienDeThi.com Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= x 0,5 0,25 Điểm x với x 1 y= x với x Cho x= y , ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) Cho x= -2 y , ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) Đồ thị hàm số (1) hai tia OAvà OB Từ hàm số (1) ,ta có : y= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) (1,5điểm) Câu x với x 1 y= x với x Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x= -4 0 5 nên tung đô điểm F y= F (1;2) Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M x = Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2 Để EM+FM nhỏ M nằm E F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M y=2 Vậy điểm M (0;2) Từ hàm số (1) ,ta có : y= Nội dung ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm ... (x – 1 )2016 (2y – 1 )2016 x y 2017 2016 |x + 2y – z| x, y, z (x – 1) + (2y – 1 )2016 + |x + 2y – z |2017 x, y, z x – 1? ?2016 2016 Mà (x – 1 )2016 + (2y – 1 )2016 + |x + 2y –. .. 3.1 = (– 1) (– 3) = (– 3) (– 1) Ta có bảng sau: x–1 –1 –3 y+3 –3 –1 x –2 y –2 –6 –4 Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4) Câu 3: Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2 A = x2 – 7xy... = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101 = x9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) + … + x(x – 100) – (x – 101)