Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên Hùng Vương năm học 20152016 môn Toán39463

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn Tốn (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n  n  16 số nguyên tố n chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y ( x  y )  2( x  1) Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3  2  3 b) Tìm m để phương trình: x  x  3x  x    m có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x  1  x   x  xy  10 y  b) Giải hệ phương trình:   x  y  10 Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC  R cố định Điểm A di động cung ฀ cho tam giác ABC nhọn Gọi E điểm đối xứng với B qua AC F điểm lớn BC đối xứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H giao điểm BE CF ฀ a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ giác theo R c) Chứng minh AK qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1    Tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức: P y2 z2 z x2 x2 y   x y  z  y z  x  z x  y  HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, cán chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lơ-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm theo cách khác với Hướng dẫn mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án-thang điểm Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n lớn thoả mãn n  n  16 số nguyên tố n chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y ( x  y )  2( x  1) Nội dung Điểm a) (0,5 điểm) Ta có với số nguyên m m chia cho dư , 0,25 + Nếu n chia cho dư n  5k   n   5k   5; k  ฀ * nên n  không số nguyên tố + Nếu n chia cho dư n  5k   n  16  5k  20 5; k  ฀ * nên n  16 không số nguyên tố Vậy n 5 hay n chia hết cho b) (1,0 điểm) x  y ( x  y )  2( x  1)  x  2( y  1) x  2( y  1)  (1) Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x  ' theo y phải số phương Ta có  '  y  y   y    y  y     y  1   ' phương nên  '  0;1;4 0,25 0,25 0,25 + Nếu  '    y  1   y  thay vào phương trình (1) ta có : x  x  x   x x      x  + Nếu  '    y  1   y  ฀ 0,25 y  + Nếu  '    y  1     y  1 + Với y  thay vào phương trình (1) ta có: x  x  16   x     x  + Với y  1 thay vào phương trình (1) ta có: x   x  Vậy phương trình (1) có nghiệm ngun : x; y  0;1; 4;1; 4;3; 0; 1 ThuVienDeThi.com 0,25 Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3  2  3 b) Tìm m để phương trình: x  x  3x  x    m có nghiệm phân biệt Nội dung a) (1,0 điểm) A 2(3  5) 4 62  2(3  5) Điểm 0,25 4 62  3 3  2    (  1)  (  1)  (3  5)(5  5)  (3  5)(5   2 (5  5)(5  5)  20   Vậy A  20   3 3    2          15   5   15   5   5)      25     0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Phương trình x  x  3x  x    m  ( x  x  8)( x  x  15)  m 1 0,25 Đặt x  x   x  1  y  y  , phương trình (1) trở thành:  y   y  16   m  y  25 y  144  m  (2) Nhận xét: Với giá trị y  phương trình: x  1  y có nghiệm phân biệt, phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt  '   '  4m  49  49     S    25    m  144 P  144  m    49 Vậy với   m  144 phương trình (1) có nghiệm phân biệt Câu (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 a) Giải phương trình: x  x   x  1  x   x  xy  10 y  b) Giải hệ phương trình:  2  x  y  10 Nội dung a) (1,0 điểm) Điều kiện: x  (*) 2 Ta có: x  x   x  1  x   x  x x   x   2( x  x  1)   Đặt x  x   y (Điều kiện: y  ** ), phương trình trở thành y  y    y  1 y  y     y  1 y  3    y  +Với y  1 không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y  ta có phương trình: Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com x  x  x   x 1   x      x   x  2 x    6x  x  x  x  10   x   x  x 1   thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm x  b) (1,0 điểm)  x  xy  x  y y  (1)   x  xy  10 y     2 2  x  y  10 (2)    x  y  10 Từ phương trình (1) ta có x3  xy  x  y y   x3  xy  x y  y     x  x y  x y  xy  xy  y   x  y x  xy  y 2 2 0,25  x  2y x  y x  xy  y    0,25 2  x  xy  y  y  11 y  + Trường hợp 1: x  xy  y    x    0 x y 0 2  Với x  y  không thỏa mãn phương trình (2) + Trường hợp 2: x  y thay vào phương trình (2) ta có: y 1 x  y  y  12  y     y  1  x  2 0,25 2 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm x ; y  2;1; 2; 1 Câu (3,5 điểm) ฀ Cho đường tròn (O; R) dây cung BC  R cố định Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi E điểm đối xứng với B qua AC F điểm đối xứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H giao điểm BE CF ฀ a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ giác theo R c) Chứng minh AK qua điểm cố định Nội dung ThuVienDeThi.com Điểm E A F P Q H B O I M C N K a) (1,5 điểm) Ta có ฀AKB  ฀AEB (vì chắn cung ฀AB đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB) Mà ฀ABE  ฀AEB (tính chất đối xứng) suy ฀AKB  ฀ABE (1) ฀AKC  ฀AFC (vì chắn cung ฀AC đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC) ฀ACF  ฀AFC (tính chất đối xứng) suy ฀AKC  ฀ACF (2) ฀ Mặt khác ฀ABE  ฀ACF (cùng phụ với BAC ) (3) Từ (1), (2) , (3) suy ฀AKB  ฀AKC ฀ hay KA phân giác góc BKC Gọi P, Q giao điểm BE với AC CF với AB 1฀ ฀ Ta có BC  R nên BOC  1200 ; ฀BAC  BOC  600 Trong tam giác vuông ABP ฀ 0 ฀ ฀ có APB  90 ; BAC  60  ABP  30 hay ฀ABE  ฀ACF  300 Tứ giác APHQ có ฀AQH  ฀APH  1800  PAQ ฀ ฀ ฀ ฀  PHQ  1800  PHQ  1200  BHC  1200 (đối đỉnh) Ta có ฀AKC  ฀ABE  300 , ฀AKB  ฀ACF  ฀ABE  300 (theo chứng minh phần a) ฀ ฀ ฀  ฀AKC  ฀AKB  ฀AFC  ฀AEB  ฀ACF  ฀ABE  600 suy BHC  BKC  1800 Mà BKC nên tứ giác BHCK nội tiếp b) (1,5 điểm) Gọi (O’) đường tròn qua bốn điểm B, H,C, K Ta có dây cung BC  R 3, ฀ ฀ BKC  600  BAC nên bán kính đường trịn (O’) bán kính R đường trịn (O) Gọi M giao điểm AH BC MH vng góc với BC, kẻ KN vng góc với BC (N thuộc BC), gọi I giao điểm HK BC 1 Ta có S BHCK  S BHC  S BCK  BC.HM  BC.KN  BC HM  KN  2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 BC ( HI  KI )  BC.KH (do HM  HI; KN  KI ) 2 Ta có KH dây cung đường tròn (O’; R) suy KH  R (không đổi) nên S BHCK lớn KH  R HM  KN  HK  R Giá trị lớn S BHCK  R 3.2 R  R Khi HK đường kính đường trịn (O’) M, I, N trùng suy I trung điểm ฀ BC nên ABC cân A Khi A điểm cung lớn BC c) (0,5 điểm) ฀ ฀ ฀  1200 ; ฀BKC  600 suy BOC  BKC  1800 Ta có BOC nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn ฀ ฀  OC ฀  BKO ฀ ฀ Ta có OB=OC=R suy OB  CKO hay KO phân giác góc BKC ฀ theo phần (a) KA phân giác góc BKC nên K ,O, A thẳng hàng hay AK qua O cố định Câu (1,0 điểm) 1 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn:    Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z 2 2 y z z x x2 y P   x y  z  y z  x  z x  y  S BHCK  Nội dung P Ta có  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm    1   1   x   y   z   x  y  y  z z x 1 Đặt  a;  b;  c a, b, c  a  b  c  x y z a b c a2 b2 c2     P 2  b  c c  a a  b a 1  a  b 1  b  c 1  c  0,25 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có  2a   a   a  2 2 a 1  a   2a (1  a )(1  a )     2  27 3 a2  a (1  a )    a (1) 2 a (1  a ) 3 3 3 b2 c2 Tương tự: (2);  b  c 2 2 b(1  b ) c(1  c ) 2 (3) 3 3 a  b2  c2  Đẳng thức xảy  a  b  c   2 3 Vậy giá trị nhỏ P 0,25 Từ (1); (2); (3) ta có P  hay x  y  z  HẾT ThuVienDeThi.com 0,25 ... DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Toán) (Hướng... chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi, cán chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lơ-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm theo cách... trình có nghiệm x  b) (1,0 điểm)  x  xy  x  y y  (1)   x  xy  10 y     2 2  x  y  10 (2)    x  y  10 Từ phương trình (1) ta có x3  xy  x  y y   x3  xy  x y  y