Phòng GD & ĐT sơn động Đề thi chọn học sinh giỏi cấp HUYệN Năm học 2011 - 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài I ( 5,5 ®iĨm ): x2 4 x 1) Cho biÓu thøc: P x 1 x x 1 a Rót gän P c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P 23 513 23 513 2) Tính giá trị biểu thức K = 2x3 + 2x2 +1 t¹i x = 1 3 4 3) Gi¶i phương trình: x x x 12 x 14 Bµi II( 2,5 ®iĨm ): 1) Chøng minh r»ng víi n N n n không chia hÕt cho x y y 2) Cho x, y, z tháa m·n TÝnh Q = x2 + y2 2 x x y y Bài III ( điểm ): 1) Tìm x, y nguyên thỏa mÃn 23x + 7y =17 x4 y4 2 2) Cho a, b, x, y số thực thoả mÃn: x y vµ a b ab x 2006 y 2006 Chøng minh r»ng: 1003 1003 a b (a b)1003 Bµi IV ( ®iĨm ): x m 1 y 1) Cho hệ phương trình m 1 x y m 1 a) Giải hệ phương trình m = b) Xác định giá trị m để hệ phương trình cã nghiÖm nhÊt (x,y) tháa m·n x > y 2) Cho x , y, z số dương tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y + z = x2 y2 z2 CMR: 1 yz zx x y Bài V ( điểm ): 1) Cho (O, R) điểm K nằm bên đường tròn HÃy tìm dây cung ngắn (O) qua K 2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC điểm A nửa đường tròn( A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB HC, chúng cắt AB AC E vµ F a Chøng minh r»ng: AE.AB = AF.AC b Chøng minh r»ng EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nửa đường tròn đường kính HB HC c Gọi I K hai điểm đối xứng víi H qua AB vµ AC Chøng minh r»ng ba điểm I, A, K thẳng hàng d Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đường tròn (O) M Chứng minh MC, AH, EF đồng quy ThuVienDeThi.com Đáp án Môn Toán Câu Nội dung I/1 x2 1) Cho biÓu thøc: P x x 1 4 x x 1 §iĨm 2,5 a Rót gän P c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P * §KX§: x 0,75 HS rót gän kq P a x 3( x x 1) 0,75 KL: 2) Tính giá trị biểu thøc K = 2x3 + 2x2 +1 t¹i I/2 x= 23 513 23 513 1 3 4 x= 23 513 23 513 1 3 4 3x 23 513 23 513 4 23 513 23 513 (3 x 1)3 3 4 23 27x3 + 27x2+9x+1= +3(3x+1) 27 27x3 + 27x2= 2x3+2x2+1=2 I/3 1,5 3) Giải phương trình: 0,75 0,75 x x x 12 x 14 §K: 1,5 x 2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT + Đánh gi¸ VP x x VT x2 x VP 1,5 0,75 Do ®ã: PT KL ThuVienDeThi.com 0,75 II/1 1) Chøng minh r»ng víi n N th× n n không chia hết cho Giả sử tồn số tự nhiên n để (n n 1) Đặt A n n V× A9 A9 (1) Ta cã: A 4(n n 1) (2n 1) V× A9 A3 (2n 1) 3 2n 13 (2n 1) 9 A (2n 1) kh«ng chia hÕt cho A kh«ng chia hÕt cho (2) Ta thấy (1) (2) mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai Vậy ng với n N n n không chia hÕt cho II/2 x y y 2) Cho x, y, z tháa m·n x x y y III/1 1) Tìm x, y nguyên thỏa mÃn 23x + 7y =17 +) 23x 7y 17 y TÝnh Q = x2 + y2 23 x 17 2 x 2( x 2) 3 x 3 x 7 1,5 0,75 0,75 1 0,25 +) có x,y số nguyên x Z 2( x 2) Z 2( x 2) 3 x Z 2 x x 2 Do UCLN (2;7) 0,25 Do đó: x+2 = 7t ( t số nguyên) x = 7t-2 Khi đó: y = -23t+6 Thử lại ta x = 7t-2 y = -23t+6 nghiệm nguyên pt III/2 a x4 y (x2 y )2 a b ab 4 2 b(a b) x a (a b) y ab( x x y y ) b x a y 2abx y (bx ay ) Ta cã: ( x y ) nªn 0,5 x2 y2 x2 y2 x 2006 y 2006 Tõ ®ã: 1003 1003 a b ab ab a b (a b)1003 0,25 x 2006 y 2006 1003 1003 a b (a b)1003 0,25 KL:… 0,25 b IV/1 x m 1 y m 1 x y m 1) Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Xác định giá trị m để hệ phương trình có nghiệm nhÊt (x,y) tháa m·n x>y ThuVienDeThi.com 2,25 a b Thay m = 1/2 giảI hệ PT x m 1 y x m 1m 1 x m 1 m x m y m 1 x m m 1 x y m y m 1 x m 0,75 0,5 0,25 +) Nếu m = HPT vô nghiệm m x +) Nếu m khác HPT cã nghiƯm nhÊt lµ: m2 y m 1 2 m 1 m 1 m m 1 m 1 m3 m x>y 2 m m m VËy, m 0; my 2) Cho x , y, z số dương tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y + z=2 IV/2 CMR: 0,5 0,25 1,75 x2 y2 z2 1 yz zx x y áp dụng bất đẳng thức Cô si ta cã: x2 yz x yz y2 xz y zx z2 x y z x y 0,5 x2 y2 z2 x y z x yz yz zx x y x2 y2 z2 x y z yz zx x y Đẳng thức xảy x=y=z= 0,5 0,5 0,25 KL V 1) Cho (O:R) điểm K nằm bên đường tròn HÃy tìm dây cung ngắn nhÊt cđa (O) ®i qua K A C H K D O B Gọi AB dây cung qua K vuông góc với AB CD dây cung qua K không trùng với AB Kẻ OH vuông góc với CD H Nếu H trïng víi K th× OK AB; OK CD Suy AB trïng víi CD M©u thn ThuVienDeThi.com 0,25 VËy H kh«ng trïng víi K DO OH CD nªn OH < OK CD > AB Vậy dây cung vuông góc với OK K dây cung ngắn đI qua K 0,25 0,5 2) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC điểm A nửa đường tròn( A khác B C) Hạ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB HC, chúng cắt AB AC E F a Chøng minh r»ng: AE.AB = AF.AC b Chøng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn đường kính HB HC c Gọi I K hai điểm đối xứng với H qua AB AC Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng d Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B nửa đường tròn (O) M Chøng minh r»ng MC, AH, EF ®ång quy N K A F M I E B P H C O Q a, Xét tam giác vuông ABH có HE AB AB.AE = AH2 (1) XÐt tam gi¸c vu«ng ACH cã HF AC AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy AE.AB = AF.AC b, Gọi P,Q trung điểm HB HC Ta có tam giác PEH cân P, suy gãc HEP = gãc PHE Gãc HCF = góc PHE (đồng vị) suy góc HEP = góc HCF Mặt khác AEHF hình chữ nhật nên ta có: góc HEF = góc HAF Từ đẳng thức ta suy ra: gãc HEP + gãcHEF = gãc HCF + HAF = 900 suy EF PE, EF tiếp tuyến đường tròn đường kính BH Chứng minh tương tự ta có: EF tiếp tuyến đường tròn đường kính CH c, Góc IAH b»ng lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng lÇn gãc CAH ThuVienDeThi.com d, Suy gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy I, A K thẳng hàng Gọi N giao điểm BM CA Theo tính chÊt tiÕp tuyÕn ta cã MB = MA, v× tam giác BAN vuông A nên M trung điểm BN Mặt khác AH // BN suy CM ®i qua trung ®iĨm cđa AH Do tø gi¸c AEHF hình chữ nhật nên EF qua trung điểm cđa AH Suy CM, AH, EF ®ång quy ThuVienDeThi.com ...Đáp án Môn Toán Câu Nội dung I/1 x2 1) Cho biÓu thøc: P x x 1 4 x x 1 Điểm 2,5 a Rút... giá VT + Đánh giá VP x x VT x2 x VP 1,5 0,75 Do ®ã: PT KL ThuVienDeThi.com 0,75 II/1 1) Chøng minh r»ng víi n N th× n n không chia hết cho Giả sử tồn số tự... phương trình m = b) Xác định giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) tháa m·n x>y ThuVienDeThi.com 2,25 a b Thay m = 1/2 giảI hệ PT x m 1 y x m 1m 1 x m 1 m