S GD& T V NH PHÚC ————— CHÍNH TH C K THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN N M H C 2015-2016 THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào l p chun Tốn chun Tin Th i gian làm 150 phút, không k th i gian giao đ ————————— Câu (3,0 m) a) Gi i ph x x + = 4x-8 x+7 4x-10 x+7 ì2x3+3x3y=8 ng trình: íxy3-2x-6=0 ỵ ng trình: b) Gi i h ph Câu (2,0 m) a) Tìm s nguyên t p đ 2p + l p ph ng c a m t s t nhi n b) Trong b ng 11x11 ô vuông ta đ t s t nhiên t đ n 121 vào ô m t cách tùy ý ( m i đ t nh t m t s hai ô khác đ t hai s khác nhau) Ch ng minh r ng t n t i hai ô vuông k ( t c hai ô vng có chung m t c nh) cho hi u c a hai s đ t hai ô l n h n Câu (3,0 m) Cho tam giác ABC nh n, có tr c tâm H n i ti p đ t ng ng chân đ c nh BC; g i N,P t ng tròn tâm O G i D, E, F ng cao c a tam giác ABC k t A,B,C; g i M giao m c a tia AO ng ng hình chi u vng góc c a M c nh CA,AB a) Ch ng minh r ng HE.MN = HF.MP b) Ch ng minh r ng t giác EFPN n i ti p BD.BM ỉABư c) Ch ng minh r ng = ỗACữ CD.CM ố ứ Cõu (1,0 m) Cho s th c d ng a , b, c th a mãn u ki n a + b + c = Ch ng minh r ng: 1 ³ + + 2+a b 2+b c 2+c2a Câu (1,0 m) i m M (x; y) c a m t ph ng t a đ đ nguyên Tìm s nguyên d c g i m nguyên, n u c x y đ u s ng n bé nh t cho t m i b n m nguyên, đ u tìm đ m nguyên đ nh c a m t tam giác có di n tích ngun ( tr c b ba ng h p ba m th ng hàng coi di n tích tam giác b ng 0) H T Cán b coi thi không gi i thích thêm! H tên thí sinh:……………………………………………; SBD:……………………………… ThuVienDeThi.com H NG D N S L C L I GI I Câu 1: K: x ³ x x + =1 4x-8 x+7 4x-10 x+7 x x Û - + - =0 4x-8 x+7 4x-10 x+7 4x-16 x+7 4x-16 x+7 Û + =0 2(4x-8 x+7) 2(4x-10 x+7) 1 ỉ + (4x-16 x+7).ỗ ữ=0 2(4x-8 x+7) 2(4x-10 x+7) ố ứ a) (1) Ta th y: 4x-8 x+7 = 4( x - 1)2 + > 4x-10 x+7 = (2 x + )2 + > 1 ổ + ịỗ ữ > (2) è2(4x-8 x+7) 2(4x-10 x+7)ø éx=49 ê ( th a mãn u T (1) (2) suy 4x -16 x+7 = Û (2 x - 7)(2 x - 1) = Þ êx=1 ë ki n) b) Vì x = khơng nghi m c a h nên x ≠ ỉ2ư ì ù3y+2=ỗốxữứ ỡ2x3+3x3y=8 ỡx3(2+3y)=8 ớ ớ3 ỵxy -2x-6=0 ỵx(y -2)=6 ïỵy -2=x ỉ2ư C ng theo v ta đ c y3 + 3y = ỗxữ + t y = a, = b ta có : è ø x x 3 2 a + 3a = b + 3b Û (a - b)(a + ab + b + 3) = 2 ỉa+bư 2 Vì a + ab + b + = ỗ 2ữ + b + > " a,b nên a - b = hay y = Suy x( - 2) = è ø x x éx=1,y=2 Û 2x3 + 6x2 - = Û (x - 1)(x + 2)2 = Þ êx=-2,y=-1 ë Câu 2: a) G i n s t nhiên th a mãn 2p + = n3 Þ n s l Û 2p = n3 - = (n -1)(n2 + n + 1) ìn-1=2 ìn=3 Do p s nguyên t n l nên Þ ín2+n+1=p ( n2 + n + > n -1 ) ị ớp=13 V y p =13 ợ î b)Gi s không t n t i hai ô vng k có hi u hai s đ t hai l n h n ánh s c t hàng nh hình v Xét ô nghi s ô (a,b) ( hàng c t b) Xét ô nghi s 121 (c,d) Khơng m t tính t ng quát, gi s c ³ a, d ³ b Các tr ng h p khác t ng t t x(a,b) s ghi (a,b) Ta có 121 = x(c,d) £ x(c - 1, d) + £ x(c - 2, d) + 10 £ x(a, d) + 5( c - a) £ x(a, b) + 5( c - a) + 5(d - b) £ + 5(11 -1) + 5(11 - 1) = 101 ( vô lý) Þ u gi s sai (đpcm) ThuVienDeThi.com Câu 3: Kéo dài AO c t đ $ $ ng trịn (O) t i K Þ ABK = ACK = 900 $ $ Ta có AKC = ABC ( góc n i ti p ch n cung AC) $ $ $ $ Mà ADB = ACK = 900 Þ BAD = KAC $ $ $ $ $ $ Þ DAC = BAC - BAD = BAC - KAC = BAK a) Xét DAFH DANM có: $ $ ỡùFAH=MAN $ $ 0ị DAFH ùAFH=ANM=90 DANM (g.g) ợ Þ FH AH = (1) MN AM $ $ ìïPAM=EAH Xét DAMP DAHE có í $ $ Þ DAMP ùợAEH=APM=90 DAHE (g.g) ị EH AH = (2) MP AM FH EH = Þ HE.MN = HF.MP (đpcm) MN MP ìïDAFH DANM AP AM AN b) Theo câu a: í Þ = = Þ AP.AF = AE.AN Þ t giác EFPN DAMP DAHE AE AH AF ỵï n i ti p c) Các t giác APDM, ANMD t giỏc n i ti p ỡBD.BM=BP.BA ị ớCM.CD=CN.CA ợ BD BM AB BP Þ = (3) CD CM AC CN M t khác BK / PM (cùng vng góc v i AB) CK/MN (cùng vng góc v i AC) BP MK CN BP AB Suy = = Þ = (4) AB AK AC CN AC BD BM AB BP AB AB ỉ ABư T (3) (4) suy = = = ç ÷ (đpcm) CD CM AC CN AC AC èACø T (1) (2) suy ra: Câu 4: Ta có: 1 + + ³1 2+a2b 2+b2c 2+c2a 2 Û ³ 2 + + 2+a b 2+b c 2+c2a a2b b2c c2a Û £ (*) + + 2+a b 2+b c 2+c2a Áp d ng B T Côsi cho ba s d ng ta có: ThuVienDeThi.com + a2b = + + a2b ³ a2b T ng t + b2c ³ b2c + c2a ³ c2a Nên t (*) ta có a2b b2c c2a + + £ 2+a2b 2+b2c 2+c2a Áp d ng B T Côsi cho ba s d a2b b2c + 3 a2b ng ta có: c2a + 3 b2c 3 c2a = 13 4 ab + bc + ca 3 3 (ab) + (ab) + a2 ³ (ab)(ab)(a2) = a4b2 13 a b £ (ab + ab + a2) T ng t : Þ 13 b c £ (bc + bc + b2) 13 c a £ (ca + ca + c2) V y: 13 4 1 1 ab + b c + c a £ (ab + ab +a2) + (bc+ bc + b2) + (ca + ca + c2) = (a + b + c)2 = 3 9 9 D u b ng x y a = b = c = Câu 5: Xét DABC có t a đ A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2), C(x3 ; y3) T ta có SDABC = [(x3-x1)(y2-y1)-(x3-x1)(y3-y1)] - Xét tam giác b t k , có t a đ đ nh m ngun ln t n t i m t hình ch nh t có c nh song song v i hai tr c th a mãn m t đ nh c a hình ch nh t trùng v i m t đ nh c a tam giác, hai đ nh l i c a tam giác n m c nh ho c trùng v i đ nh c a hình ch nh t - Bây gi xét hình bên, tr ng h p khác xét t ng t : ïìx1£x3£x2 Þí G i hình ch nh t bao quanh APQR nên ỵïy1£y2£y3 SAPQR = (x2 - x1)(y3 - Y1) SABC = SADQR - SAPC - SBCQ - SABR (*) ThuVienDeThi.com V i SAPC = (x3 - x1)(y3 - Y1) SBCQ = (x2 - x3)(y3 - Y2) SABR = (x2 - x1)(y2 - Y1) Nên thay vào (*) ta có : SABC = SADQR - SAPC - SBCQ - SABR = Vì A, B có d ng nờn ỡx2-x1+2 ợy2-y1+2 [(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1)] ị [(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1)]+ [(x2-x1)(y3-Y1)-(x3-x1)(y2-Y1)] s nguyên Þ SABC nguyên (th a mãn đ bài) V y s nguyên d ng n nh nh t th a mãn Þ -H T -Tr n M nh C ng - GV Tr ng THCS Kim Xá - V nh T ThuVienDeThi.com ng - V nh Phúc ... K: x ³ x x + =1 4x-8 x+7 4x -10 x+7 x x Û - + - =0 4x-8 x+7 4x -10 x+7 4x-16 x+7 4x-16 x+7 Û + =0 2(4x-8 x+7) 2(4x -10 x+7) 1 ỉ + (4x-16 x+7).ỗ ữ=0 2(4x-8 x+7) 2(4x -10 x+7) ố ứ a) (1) Ta th y:... £ x(c - 1, d) + £ x(c - 2, d) + 10 £ x(a, d) + 5( c - a) £ x(a, b) + 5( c - a) + 5(d - b) £ + 5(11 -1) + 5(11 - 1) = 101 ( vô lý) Þ u gi s sai (đpcm) ThuVienDeThi.com Câu 3: Kéo dài AO c t đ... x+7) 2(4x -10 x+7) ố ứ a) (1) Ta th y: 4x-8 x+7 = 4( x - 1)2 + > 4x -10 x+7 = (2 x + )2 + > 1 ổ + ịỗ ữ > (2) è2(4x-8 x+7) 2(4x -10 x+7)ø éx=49 ê ( th a mãn u T (1) (2) suy 4x -16 x+7 = Û (2 x - 7)(2