Lý thuyết và bài tập Hình học 1036610

HÌNH HỌC Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng + Vectơ có điểm đầu (gốc) A, điểm cuối (ngọn) B kí hiệu AB ( đọc vectơ AB)     + Một vectơ xác định cịn kí hiệu a, b, x, y, B a A  b  (Chú ý: AB  BA ) + Vectơ – khơng (có gạch nối từ):  Vectơ có điểm đầu điểm cuối cuối trùng gọi vectơkhơng, kí hiệu   Ví dụ: MM , AA ,    + Giá vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ , đường thẳng AB gọi giá vectơ AB Cịn vectơ  khơng AA đường thẳng qua A giá + Hướng vectơ: hướng từ gốc đến vectơ + Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Chú ý:  + Độ dài vectơ: khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài a kí   hiệu | a |, | AB | AB  BA  Hai vectơ nhau: chúng hướng độ dài     Nếu a b ta viết a = b     AA  BB = , | |= Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Tìm  A B a) Tất vectơ khác ; o b) Các vectơ phương; D c) Các vectơ C Các kí hiệu  thường gặp    AB phương CD kí hiệu: AB // CD     AB hướng CD kí hiệu: AB  CD     AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD -1- ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng Xác vectơ, phương hướng    Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ AB, BA Ví dụ 1: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm Giải Có 10 cặp điểm khác {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},  {D,E} Do có 20 vectơ khác   Ví dụ 2: Cho điểm A vectơ a khác Tìm điểm M cho:   AM phương a Giải  m   Gọi  giá a   a Nếu AM phương a đường thẳng AM//  Do M thuộc đường thẳng m qua A //   Ngược lại, điểm M thc m AM phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Ta dùng cách sau:      | a || b | + Sử dụng định nghĩa:    a b a, b hướng  + Sử dụng chất bình hành tính  hình Nếu ABCD hình A B AB  DC , BC  AD ,… o (hoặc  viết ngược  lại)  D + Nếu a  b, b  c  a  c C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB A Chứng minh: EF  CD Giải Cách 1: EF đường trung bình  ABC nên EF//CD, E F   EF= BC=CD EF=CD EF  CD (1)   EF hướng CD (2)   C B D Từ (1),(2)  EF  CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành   EF= BC=CD EF//CD EFDC hình bình hành EF  CD Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN, K làgiao điểm DM CN M D  của C Chứng minh: AM  NC , DK  NI Giải I Ta có MC//AN hình bình hành K   MC=ANMACN   AM  NC Tương tự MCDN hình bình hành nên K trung điểm B    N A DK KM MD = Tứ giá IMKN hình bình hành,     suy NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh hai vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu) Giải   Giả sử AB  AC Khi AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng B, C thc nửa đường thẳng góc A BC (trường hợp điểm cuối trùng chứng minh tương tự) -2- ThuVienDeThi.com  Ví dụ 4: Cho điểm A vectơ a Dựng điểm M cho:   a) AM = a ;    b) AM phương a có độ dài | a | Giải  Giả sử  giá a Vẽ đường thẳng d qua A d//  (nếu A thuộc  d trùng cho:  ) Khi có hai điểm M1 M2 thuộc d  AM1=AM2=| a | Khi ta có:   a) AM = a a A    b) AM = AM phương với a d Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trực H là  tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh: AH  B ' C Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh tam giác?   Bài 2: Cho hai vectơ không phương a b Có hay khơng véctơ phương với hai véctơ    Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c phương đểu khác véctơ không Chứng minh co hai véctơ chúng có hướng   Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng Trong trường hợp hai véctơ AB AC hướng, trường hợp hai véctơ ngược hướng Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi Q, Rlần P,  lượt trung điểm cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình tìm hình vẽ véctơ PQ , QR , RP Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi  M, N trung điểm AD, BC AB a) Tìm vectơ phương với  ; b) Tìm vectơ hướng với AB ; c) Tìm vectơ ngược hướng  với AB ;  d) Tìm vectơ với MO , với OB Bài 7: Cho lục giác ABCDEF có tâm O   a) Tìm vectơ khác phương OA ;  b) Tìm vectơ vectơ AB ; -3ThuVienDeThi.com  c) Hãy vẽ vectơ vectơ AB có: + Các điểm đầu B, F, C + Các điểm cuối F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành  ABCD  có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB ; OB  b) Có độ dài  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD   Chứng minh ABCD hình bình hành AB  DC     Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB  DC AD  BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ Bài 12 : Xác định vị trí tương đối điểm phân biệt A, B C trường hợp sau:     a) AB AC hướng, | AB |>| AC |;   b) AB AC ngược hướng;   c) AB AC phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng   AM  BA , MN  DA, NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ  HD §1 Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: có, vectơ-khơng     Bài 3: a ngược hướng b a ngược hướng a hướng Bài 4: Cùng hướng A không nằm B, C; ngược hướng A nằm B, C Bài 5: A P B R Q C Bài 6: A B M N O C D          Bài 7: a) DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF    b) OC , ED, FO c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB   BB '  AB  * FO vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ cho CC’=OC=AB   Do CC’//AB  CC '  AB + tương tự     Bài 8: a) AB  DC , OB  DO A B O D -4- ThuVienDeThi.com C     b) | OB || BO || DO || OD | Bài 9: Chứng minh chiều  : * ABCD hình bình hành  AB // CD   AB  CD  AB // CD *   AB  DC  AB  CD Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC hướng AB  DC * AB DC hướng  AB // CD (1) * AB  CD  AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình bình hành     Bài 10: AB  DC  AB=DC, AB//CDABCD hình bình hành  AD  BC Bài 11 : MP=PQ MN//PQ chúng AC Và //AC Vậy MNPQ hình bình hành  đpcm Bài 12 : Xác định vị trí tương đối điểm phân biệt A, B C trường hợp sau:     a) AB AC hướng, | AB |>| AC |;   b) AB AC ngược hướng;   c) AB AC phương;     HD: a) AB AC hướng, | AB |>| AC | C nằm A B   b) AB AC ngược hướng, khiA nằm B C c) Cùng phương hướng hay ngược hướng     + hướng: | AB |>| AC | theo a); | AB |< AC | B nằm A C + Ngược hướng theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng   AM  BA , MN  DA, NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ       HD: Ta có AM  BA; NP  DC  AB  AM=NP AM//NP AMNP hình bình hành (1) Tương tự QMNP hình bính hành (2)   Từ (1)&(2) AQ AQ  -5- ThuVienDeThi.com BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ  Cho ABC Có thể xác định vectơ khác Cho tứ giác ABCD  a/ Có vectơ khác b/ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA   CMR : MQ = NP Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA  a/ Xác định vectơ phương với MN  b/ Xác định vectơ NP    Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG hình bình hành   Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ CI = DA CMR :   a/ I trung điểm AB DI = CB    b/ AI = IB = DC     Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AD Dựng MK = CP KL = BN   a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN   c/ CMR : AL = -6- ThuVienDeThi.com §2+3 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết Tổng vectơ        Định nghĩa: Cho véc tơ a b Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b   B    b Khi a + b = AC Phép lấy tổng véctơ đ gọi phép cộng A   véctơ    Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC  c   Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC a B Vectơ đối C A  C D  + Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng a gọi vectơ đối vectơ      a , kí hiệu - a  a +(- a )=   + Mọi vectơ có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối BA nghĩa   AB = - BA  + vectơ đối Hiệu vectơ (phép trừ)     Định nghĩa: a - b = a +(- b )  Quy tắc hiệu tơ vec  : Với  ba điểmO,  A, B tùy ý cho trước  ta có:   OB   OA  AB (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA Tính chất : với a, b, c ta có:     + Giao hoán : a  b = b   a   + Kết hợp ( a  b ) + c = a  (b + c )      + a + 0= + a = a  + a+( a )= A  a +a =    + |a + b | ≤ | a |+| b |,dấu “=” a , b hướng  xảy      + a  b và | b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a |     + a = b  a + c= b + c G        + a + c = b  a = b  c , c = b  a          + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c I B Ghi chú:    + Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0  + Điểm G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  C D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD       a) Tìm tổng NC  MC ; AM  CD; AD  NC     b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD Giải:   a) + Vì MC  AN nên ta có        NC  MC = NC  AN = AN  NC = AC   +Vì CD  BA nên ta có -7- ThuVienDeThi.com        AM  CD = AM  BA = BA  AM = BM   +Vì NC  AM nên ta có      AD  NC = AD  AM = AE , E đỉnh hình bình hành AMED    b) Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên ta có AM  AN  AC    Vì tứ giác ABCD hình bình hành nên AB  AD  AC     Vậy AM  AN  AB  AD Bài 2: Cho lục giác ABCDEF tâm O        Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF  Giải Vì O tâm lục giác nên:          OA  OD  0; OB  OE  0; OC  OF   đpcm Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE tâm O      a) Chứng minh vectơ OA  OB; OC  OE phương OD   b) Chứng minh AB EC phương Giải a) Gọi d đường thẳng chứa OD d trục đối xứng    ngũ giác Ta có OA  OB  OM , M đỉnh    hình thoi AMBO M thuộc d Tương tự OC  OE  ON      , N  d Vậy OA  OB OC  OE phương OD giá d b) AB EC vng góc d  AB//EC    AB // EC Bài 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC         a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP    b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP Giải    a) AM  AN = NM        MN  NC = MN  MP = PN (Vì NC  MP )      MN  PN = MN  NP = MP      BP  CP = BP  PC = BC     b) AM  NP  MP  MN ฀ Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo     =60  và Tính | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | B Giải ฀ Vì ABCD hình thoi cạnh a BAD =600 nên AC= a BD=a Khi ta có :      A AB  AD  AC | AB  AD | AC  a      BA  BC  CA | AB  AD | CA  a        a OB  DC  DO  DC  CO | OB  DC | CO  Bài 6: Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo       Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải      Ta có AC=BD= a ; OA  CB  CO  CB  BO -8- ThuVienDeThi.com C D   a | OA  CB | BO  2      | AB  DC || AB |  | DC | 2a (vì AB  DC )        Ta có CD  DA  CD  CB  BD  | CD  DA |=BD= a Do * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: sử dụng phương pháp sau 1) Biến đổi vế thành vế 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D      Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái             AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: (sử dụng hiệu)       AB  AD  CB  CD  DB  DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F       Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải          VT = AB  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF       = AE  BF  CD  ED  DF  FE        = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE  )=VP đpcm Bài 9: Cho điểm A, B, C, D, E       Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải     Ta có  DC  CD;  CE  EC nên           VT = AC  DE  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB       = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC Chứng minh với điểm O ta có:       OA  OB  OC  OM  ON  OP Giải    VT = OA  OB  OC       = OM  MA  ON  NB  OP  PC       = OM  ON  OP  MA  NB  PC    Mà NB  NM  NP            MA  NB  PC = MA  NM  NP  PC  NA  NC      VT= OM  ON  OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ     Cho điểm A, B, C, D CMR : AC + BD = AD + BC Cho điểm A, B, C, D, E      CMR : AB + CD + EA = CB + ED Cho điểm A, B, C, D, E, F       CMR : AE  BF  CD  AF  BD  CE Cho điểm A, B, C, D, E, F, G, H -9- ThuVienDeThi.com         CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF Gọi O tâm hình bình hành ABCD CMR :     a/ DO + AO = AB      c/ OA + OB + OC + OD =      b/ OD + OC = BC  d/ MA + MC = MB + MD (với M điểm tùy ý) Cho tứ giác ABCD Gọi O trung điểm AB     CMR : OD + OC = AD + BC    Cho ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'       CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC'   Cho hình vng ABCD cạnh a Tính  AB  AD  theo a Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a       a/ Tính  AB  AD  b/ Dựng u = AB  AC Tính  u  10 Cho ABC vuông A, biết AB = 6a, AC = 8a     a/ Dựng v = AB  AC b/ Tính  v      11 Cho tứ giác ABCD, biết tồn điểm O cho véc tơ OA, OB, OC , OD có độ dài     OA  OB  OC  OD = Chứng minh ABCD hình chữ nhật     12 Cho điểm A, B, C, D CMR : AB  CD = AC + DB 13 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR :        a/ CD + FA  BA  ED + BC  FE =             b/ AD  FC  EB = CD  EA  FB c/ AB  DC  FE = CF  DA + EB 14 Cho ABC Hãy xác định điểm M cho :         a/ MA  MB + MC = b/ MB  MC + BC =         c/ MB  MC + MA = d/ MA  MB  MC =      e/ MC + MA  MB + BC = 15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a       a/ Tính  AD  AB  b/ Dựng u = CA  AB Tính  u  16 Cho ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC   a/ Tính  AB  AC    b/ Tính  BA  BI    17 Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính AB  AC  BÀI TẬP THÊM Bài : Cho A,B,C,D tìm véctơ sau:      a) v  AB  DC  BD  CA b) m AB  CD  BC  DA        c) n  BC  CD  AB  DB d) p  AB  BC  CD  DE     Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b       Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a b     Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa -10- ThuVienDeThi.com    a)  AO - AD =  MO     b)  AC - AD =  NB  Bài 5: Cho điểm ;B ; D ; E ;F ; G.Chứng minh :  A  ; C a) AB + CD + EA = CB + ED       b) AD + BE + CF = AE + BF + CD        c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF        d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = Bài : Cho tam giác OAB Giả sử OA  OB  OM , OA  OB  ON Khi điểm M nằm đường phân giác góc AOB? Khi N nằm đường phân giác góc AOB ? Bài : Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE  O Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có: OA  OB  OC  OA'  OB'  OC ' Bài 9: Cho lụ giác ABCDEF có tâm đều    là O CMR :     a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = b) OA + OC + OE =           c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp   đường  tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB + HC = HD     b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH '     Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết :  CA + CB  =  CA - CB  -11- ThuVienDeThi.com VỚI MỘT SỐ   PHÉP NHÂN VECTƠ  1) Định nghĩa: Cho a ≠ , 0≠k  ฀ ta có c =k a (gọi phép số thực với vectơ) Khi đó:   + c phương a   + c hướng a k>0  + c ngược hướnga k