GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ đh KTQD

lOMoARcPSD|11424851 GIẢI SÁCH BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĐH KTQD Chương TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải tập sách ‘‘Bài tập Xác suất Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2016 version Bài tập có giúp đỡ SV K52, K53 Có nhiều chỗ sai sót mong góp ý: nnvminh@yahoo.com facebook.com/nnvminh CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN §1 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 2.1 Một xí nghiệp có tơ vận tải hoạt động Xác suất ngày làm việc ô tô bị hỏng tương ứng 0,1 0,2 Gọi X ô tơ bị hỏng thời gian làm việc a) Tìm quy luật phân phối xác suất X b) Thiết lập hàm phân bố xác suất X vẽ đồ thị Giải: a) X số tô bị hỏng thời gian làm việc X biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị có X = 0, 1, Ta có: P(X=0) = 0,9 0,8 = 0,72 P(X=1) = 0,1 0,8 + 0,9 0,2 = 0,26 P(X=2) = 0,1 0,2 = 0,02 Vậy quy luật phân phối xác suất X b) X P 0,72 0,26 0,02 Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất: F(x) = P(X F(x) = 0,72 + 0,26 + 0,02 = Bài 2.2 Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất thời gian t phận bị hỏng tương ứng 0,4; 0,2 0,3 a) Tìm quy luật phân phối xác suất số phận bị hỏng b) Thiết lập hàm phân bố xác suất X c) Tính xác suất thời gian t có khơng hai phận bị hỏng lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh d) ĐH Ngoại Thương Hà nội Tìm mốt mo trung vị md Giải: a) Gọi X số phận bị hỏng thời gian làm việc t X biến ngẫu nhiên rời rạc với trị số xảy X= 0, 1, 2, Ta có, P(X = 0) = 0,6.0,8.0,7 = 0,336 P(X = 1) = 0,4.0,8.0,7 + 0,6.0,2.0,7 + 0,6.0,8.0,3 = 0,452 P(X = 2) = 0,4.0,2.0,7 + 0,4.0,8.0,3 + 0,6.0,2.0,3 = 0,188 P(X = 3) = 0,4.0,2.0,3 = 0,024 Vậy quy luật phân phối xác suất X b) X P 0,336 0,452 0,188 0,024 Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất F(x) = P (X3 c) Xác suất thời gian t khơng có q phận bị hỏng: P(X≤2) = 0,976 d) Từ hàm phân bố xác suất dễ dàng nhận thấy trung vị: md =1 Giá trị Mốt m0 giá trị có xác suất lớn => mo = Bài 2.3 Có cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu lấy cầu trắng Tìm quy luật phân phối xác suất số cầu lấy Giải: Gọi X “số cầu lấy ra” X gồm giá trị 1, 2, (vì đến thứ chắn lấy cầu trắng kết thúc trình lấy) Xác suất lấy cầu:  0, Xác suất lấy cầu (quả cầu đen, cầu trắng):  0,3 Xác suất lấy cầu (quả cầu đen, cầu đen, cầu trắng): 3  0,1 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ta có quy luật phân phối xác suất: X P 0,6 0,3 0,1 Bài 2.4 Xác suất để người bắn trúng bia 0,8 Người phát viên đạn để bắn trúng bia Tìm quy luật phân phối xác suất viên đạn bắn trượt Giải: Gọi X số viên đạn bắn trượt: X = 1, 2, 3,, n Lại có: Gọi A = “Biến cố bắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p P( A ) = 0,2 =q Khi đó: P(X=n) = 0,8.(0,2)n Ta có: X … n P 0,8 0,8.(0,2)1 0,8.(0,2)2 … 0,8.(0,2)n Nhận thấy: P(X=n) > Và:   n 0 n 0 P  X  n    1  0, 2   lim 1     0,  0,8  lim 0,8 n n n   0, n     5n  Vậy xác suất tạo thành quy luật phân phối xác suất Bài 2.5 Có lơ sản phẩm: Lơ 1: có phẩm phế phẩm Lơ 2: có phẩm phế phẩm Từ lô thứ lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ sang lơ thứ hai, sau từ lơ thứ hai lấy sản phẩm a) Tìm quy luật phân phối xác suất số phẩm lấy b) Xây dựng hàm phân bố xác suất số phẩm lấy Giải: a) Gọi X “số phẩm lấy từ hộp 2” nhận giá trị 0;1;2 Gọi Hi “số phẩm lấy từ hộp sang hộp i” với i = 0;1;2 Ta có: P(H0) = P(X=0|H0) = C80 C22 C81 C21 C82 C20 16 28 ; P(H ) = = = ; P(H ) =  2 2 45 C10 45 C10 45 C10 C70 C52 C80 C42 C90 C32 10 ; P(X=0|H ) = ; P(X=0|H ) = = = = 2 2 C12 66 C12 66 C12 66 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội  P  X    P  H i  P( X  | H i ) i 0 = 10 16 28 190 = 0,06397 =   45 66 45 66 45 66 2970 Tương tự: P(X=1|H0) = C51.C71 C81.C41 C91.C31 35 32 27 = = ; P(X=1|H ) = ; P(X=1|H ) = = 2 2 C12 66 C12 66 C12 66  P  A  1  P  H i  P ( X  | H i ) = i 0 35 16 32 28 27 1303 = 0,43872 =   45 66 45 66 45 66 2970  P(A=2) = – P(A=0) – P(A=1) = – 0,06397 – 0,43872 = 0,49731 Ta có bảng sau: b) X P 0,06397 0,43872 0,49731 Hàm phân phối xác suất X là: 0  x  0, 06397 0  x   F  x   0,50269 1  x  1 x  Bài 2.6 Hai cầu thủ bóng rổ ném bóng vào rổ có người ném trúng với xác suất ném trúng người 0,3 0,4 Người thứ ném trước a) Tìm qui luật phân phối xác suất số lần ném rổ cho người b)Tìm qui luật phân phối xác suất tổng số lần ném rổ người Giải: a) Gọi số X1 số lần ném rổ người thứ nhất: X1 = 1, 2, 3,…, n,… Khi X  n TH1 người ném cuối người người ném trượt n  lần đầu nên P ( X  n )TH  0, n 10, n 1.0,3 TH2 người ném cuối người ném trượt n lần người ném trượt n  lần đầu nên P ( X  n)TH  0,7 n0, n 1.0, Vậy P ( X  n)  P ( X  n)TH  P ( X  n )TH  0, 58.0, 42 n 1 Vậy qui luật phân phối xác suất X1 là: lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội X1 … n P 0,58 0,58.0, 42 … 0, 58.0, 42n1 Gọi X2 số lần ném người thứ 2: X2 =0, 1, 2, 3,…, n,… Dễ thấy P ( X  0)TH  0,3 Khi X  n  TH1 người ném cuối người người ném trượt n lần đầu nên P ( X  n )TH  0, n 0, 6n.0, TH2 người ném cuối người ném trượt n lần người ném trượt n  lần đầu nên P ( X  n)TH  0, n 0, n 1.0, Vậy P ( X  n)  P ( X  n )TH  P ( X  n)TH  0,58.0, 6n 1.0, n Vậy qui luật phân phối xác suất X2 là: X2 … n P 0,3 0,58.0, 0,58.0, 6.0, … 0,58.0, n 1.0, n b) Gọi X tổng số lần ném rổ người X nhận giá trị 1,2,3, Dễ thấy P ( X  1)  0,3 Xét X  2n  có nghĩa người ném cuối P( X  2n)  0, n0, n1.0,  0, 28.0, 42 n1 Xét X  2n   có nghĩa người ném cuối P( X  2n  1)  0, n 0, 6n.0,3  0,3.0, 42 n Vậy qui luật phân phối xác suất X là: X … 2n+1 P 0,3 0,3.0, 42 … 0,3.0, 42n X … 2n P 0,28 0, 28.0, 42 … 0, 28.0, 42n1 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Bài 2.7 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X sau: a) Tính E(X); V(X)  X b) Tìm giá trị mốt m0 X -5 P 0,4 0,3 0,1 0,2 Giải: a) E(X)= X P = -5.0,4+2.0,3+3.0,1+4.0,2 = -0,3 i i i 1 b) V(X) = E(X2) – E2(X)= (-5)2.0,4+2 2.0,3+32.0,1+42.0,2-(-0,3)2=15,21  X  V ( X ) = 3,9 Vì X biến ngẫu nhiên rời rạc nên m0 giá trị biến ngẫu nhiên tương ứng với xác suất lớn c) nên m0=-5 Bài 2.8 Tại cửa hàng bán xe máy Honda, người ta thống kê số xe máy X bán hàng tuần với bảng phân bố xác suất sau: X 10 11 P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,20 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05 a) Tìm số xe máy trung bình bán tuần b) Tìm phương sai độ lệch chuẩn số xe máy bán tuần giải thích ý nghĩa kết nhận Giải: a) Số xe trung bình tuần bán kỳ vọng toán: 11 E ( X )  xi pi  4,33 i 0 b) Phương sai: V(X) = E(X2) – E(X)2 = 27.09 – (4.33)2 = 8,3411 Độ lệch chuẩn:  X  V ( X )  2,8881 Ý nghĩa: Trung bình cửa hàng bán 4,33 xe máy tuần  X  2,8881 đánh giá mức độ phân tán biến ngẫu nhiên lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Bài 2.9 Cho X1, X2, X3 biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác xuất chúng sau: X1 P Lập X  X2 X3 0.6 0.4 P 0.4 0.6 P 0.8 0.2 X1  X  X Tính E ( X ) V ( X ) Giải: *)Tính E ( X ) Ta có: E(X1) = 0.0,6 + 0,4 = 0,4 E(X2) = 0.0,8 + 2.0,2 = 1,6 E(X3) = 0.0,8 + 2.0,2 = 0.4  E( X )  E  X1   E  X   E( X )  0,  1,  0,  0,8 *)Tính V ( X ) Ta có: V  X   E ( X 12 )  ( EX )  12.0, –  0,   0, 24 V  X   E ( X 2 )  ( EX )2  0, 12  0, 6.22  1, 62  0, 24 V  X   E ( X 32 )  ( EX )  22.0,  0, 42  0, 64  V (X )  V ( X1 )  V  X   V ( X )  0, 24  0, 24  0, 64  0,12 Bài 2.10 Thống kê số khách ô tô buýt tuyến giao thông thu số liệu sau: Số khách chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25 Tìm kỳ vọng tốn phương sai số khách chuyến giải thích ý nghĩa kết thu Giải: * Gọi X số khách chuyến, kỳ vọng toán số khách chuyến là: E(X) = 0,2.20 + 0,3.25 + 0,15 30 + 0,1.35 + 0,25.40 = 29,5 Ý nghĩa: Kỳ vọng 29,5 cho biết trung bình có khoảng 29 khách hàng chuyến xe * Phương sai số khách chuyến là: V(X) = E(X2) – E2(X) = 0,2.20 + 0,3.252 + 0,15.302 + 0,1.352 + 0,25.402 – (29,5)2 = 54,75 Độ lệch chuẩn số khách chuyến là:  σ x  V  x   54,75  7,4 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ý nghĩa: Số khách chuyến có khác chênh lệch lớn so với số khách trung bình Bài 2.11 Cho X Y biến ngẫu nhiên liên tục với E(X)= V(X)= 3; E(Y)= V(Y)= a) Tính E(Z) V(Z) biết Z= (3X – 2Y)/5 b) Tính E(T) với T= Z  E (Z ) V (Z ) Giải: a) Z  (3 X  2Y ) E ( X )  E (Y ) 3.3  2.2  E(Z )    5 2 9.3 4.2 35 3 2 V ( Z )    V ( X )    V (Y )      1, 25 25 25 5 5 b) T  Z  E(Z ) Z  E (Z )    E (T )   V (Z ) 1, 1, Bài 2.12 Thực lần bắn bia với xác suất trúng bia tương ứng 0,3; 0,4; 0,6 Tìm kì vọng toán phương sai số lần bắn trúng bia Giải: Gọi X số lần bắn trúng bia X biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị xảy X = 0, 1, 2, Ta có P(X = 0) = 0,7.0,6.0,4 = 0,168 P(X = 1) = 0,3 0,6.0,4 + 0,7.0,4.0,4 + 0,7.0,6.0,6 = 0,436 P(X = 2) = 0,3.0,4.0,4 + 0,3.0,6.0,6 + 0,7.0,4.0,6 = 0,324 P(X = 3) = 0,3.0,4.0,6 = 0,072 Vậy quy luật phân phối xác suất X X P 0,168 0,436 0,324 0,072 Kì vọng toán E(X) = 0.0,168 + 1.0,436 + 2.0,324 + 3.0,072 = 1,3 E(X2) = 2.0,168 + 12.0,436 + 22.0,324 + 32.0,072 = 2,38 Phương sai V(X) = E(X2) – (E(X))2 = 0,69 Bài 2.13 Thống kê lại tất 52 cửa hàng bán sản phẩm công ty toàn quốc thu số liệu sau: Số nhân viên bán hàng cửa hàng lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Số cửa hàng tương ứng a) 10 12 16 14 Xây dựng bảng phân phối xác suất hàm phân bố xác suất số nhân viên bán hàng cửa hàng Tìm số nhân viên trung bình cửa hàng phương sai tương ứng b) Giải: a) Đặt X số nhân viên cửa hàng, ta có: Bảng phân phối xác suất: Số nhân viên Tổng Số cửa hàng 10 12 16 14 52 14  52 26 Xác suất P1  10  52 26 P2  12  52 13 P3  16  52 13 P4  Hàm phân bố xác suất số nhân viên bán hàng cửa hàng:  5   26  11  F  x   P  X  x    26  19  26   b) x  2  x  3  x  4  x  x  Số nhân viên trung bình cửa hàng kì vọng:  E  X   95      3, 65 26 13 13 26 26 Phương sai: V ( X )   pk [xk  E  X ]2 k 1  (2  3, 65)  (3  3,65)  (4  3, 65)  (5  3, 65)  1,15 26 13 13 26 Bài 2.14 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có x1 = với xác suất P1 = 0,5; x2 = 0,6 với xác suất P2 = 0,3 x3 với xác suất P3 Tìm x3 P3 biết E(X) = Giải: Ta có P3 = – P1 – P2 = – 0,5 – 0,3 = 0,2 E(X) = = 0,5.4 + 0,6.0,3 + x3.0,2 hay 0,2.x3 = 5,82 Do X3 = 29,1 Bài 2.15 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có x1= -1, x2=0, x3= Tìm xác suất tương ứng p1 , p2 , p3 biết E(X)= 0,1 E(X2)=0,9 10 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Số bánh bán (X) 400 500 600 700 800 900 Xác suất 0,15 0,41 0,34 0,04 0,01 0,05 a) Tìm trung bình độ lệch chuẩn số bánh bán b) Nếu cửa hàng đặt mua 600 xác suất bán hết bánh bao nhiêu, xác suất thừa lại Để chắn đến 95% đủ bánh bán cửa hàng cần đặt mua bánh c) Giải: a) E(X)= 400.0.05+500.0,15+600.0,41+700.0,34+800.0,04+900.0,01 = 620 V(X)= 400 0,05+ 500 0,15+ 600 0,41+ 700 0,34+ 800 0,04+ 900 0,01- 620 =9000  X = V ( X ) = 9000 = 94,8683 b) Nếu cửa hàng đặt mua 600 xác suất bán hết là: P(X  600 ) = – P(X  600)  - P(X=400) – P(X=500) = 1-0,05-0,15 = 0,8 Xác suất thừa lại là: P(X  600 ) = – P(X  600) = – 0,8 = 0,2 c) Để chắn tới 95% đủ bánh bán cửa hàng phải đặt mua a bánh thỏa mãn P ( X  a )  0, 95  P ( X  a  1)  0,95  F (a  1)  0,95 mà với 701  x  800 F ( x )  0,95  F (a  1) , F ( x ) hàm đơn điệu tăng nên nên ta có a   701  a  700 Vậy cửa hàng phải đặt 700 bánh Bài 2.56 Trong 900000 vé số phát hành có 20 giải 50 triệu, 150 giải triệu 1600 giải triệu Tính số tiền lãi kì vọng người mua vé số biết giá vé 5000 đồng Giải: Đặt N = 900000 Gọi X số tiền lãi, ta có bảng phân phối xác suất X: X 49995000 4995000 995000 -5000 P 20/N 150/N 1600/N (N-1770)/N Số tiền lãi trung bình: E( X )  (20.49995000  150.4995000  1600.995000  898230.5000)  1280 900000 Bài 2.57 Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào công ty mà năm tới cơng ty làm ăn thuận lợi mang lại lãi suất đến 14% gặp khó khăn lãi suất giảm đến mức 31 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 4% Trong gửi tiền vào ngân hàng lãi suất đảm bảo sau năm 8% Vậy dùng tiền để đầu tư khả có lãi gửi ngân hàng Giải: Gọi X lãi suất đem tiền đầu tư vào công ty X biến ngẫu nhiên liên tục phân phối theo quy luật đoạn [4;14] Ta cần tìm xác suất P(X > 8) Do X phân phối đoạn [4;14] nên có hàm mật độ xác suất dạng 1/ 10  x [4;14] nên f ( x)   0  x [4;14]  14 x 14 dx   0, 10 10 Xác suất có lãi gửi ngân hàng là: P  X  8   f  x  dx   Bài 2.58 Nhu cầu hàng ngày loại thực phẩm tươi sống có phân phối xác suất sau Nhu cầu ( kg) 30 31 32 33 34 35 Xác suất 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05 Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn bán với giá ngàn Nếu bị ế đến cuối ngày phải bán hạ giá 1,5 ngàn bán hết Vậy phải đặt mua hàng ngày kg thực phẩm để có lãi Giải: Gọi số kg thực phẩm mua vào i Số kg thực phẩm thị trường cần X, có bảng phân bố xác suất là: X 30 31 32 33 34 35 P 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05 4 X  2,5i  1,5  i  X   2,5 X  i i  X Ta có lợi nhuận thu được: L =  4i  2,5i  1,5i i  X Bảng sau phân bố xác suất L i (tính cột dịng đến dòng 8): P X 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05 30 31 32 33 34 35 45 45 45 45 45 45 Lãi trung i 30 E(L) 32 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) bình 45 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 31 44 46,5 46,5 46,5 46,5 46,5 46,125 32 43 45,5 48 48 48 48 46,75 33 42 44,5 47 49,5 49,5 49,5 46,5 34 41 43,5 46 48,5 51 51 45,875 35 40 42,5 45 47,5 50 52,5 45 Vậy để có lãi nhiều chọn nhập i = 32kg  m e x x  x Bài 2.59 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng: f ( x)   m ! 0  x   Tìm E(X) V(X)  Giải: Sử dụng hàm Gamma ta có: x m x e dx  m ! Ta có: E  X     xf ( x)dx    1 x m 1e  x dx  (m  1)!  m  ,  m! m!  V  X    x f ( x)dx   E ( X )     (m  2)! x m 2e  x dx   E ( X )   (m  1)2  m  m! m! Bài 2.60 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân bố xác suất:  x03  x  x0 1  F ( x)   x3  x0   0  x  x  Tìm E(X) V(X)  x3  40  x  x0 Giải: Ta có: f ( x)  F '( x)   x Do đó: 0  x  x     x0 E  X    xf  x  dx   x  3x03 3x03  3x0    dx x x0 x4  V  X    x f  x  dx   E  X     x  x0 x03 x02 x03  x02 x02 dx      x4 x x0 4  sinx  x  (0,  )  Bài 2.61 Biến ngẫu nhiên liên tục x có hàm mật độ xác suất: f ( x)   0  x  (0,  ) 33 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a) Tìm hàm phân bố xác suất F(x) b) Tìm P(0  X   / ) c) Tìm E(X) Giải: a) Để tìm hàm phân bố xác suất, ta sử dụng tính chất hàm mật độ xác suất: x F ( x)   f  t  dt  x +Với x  : F  x    dt   +Với  x   x F(x)= F ( x )   f  t  dt   sin t  cosx dt  2 x  0dx    +Với x   x F(x)=    f  t  dt   0dt    x  sin tdt   0dt  0  x  1  cosx  Vậy hàm phân bố xác suất X có dạng: F ( x )   0  x    1  x   b) Theo tính chất hàm phân bố xác suất: P(0  X    1  1 )  F ( )  F    1  cos   1  cos    4 2 4  c) E ( X )   xf  x  dx    π x sin xdx   20 Bài 2.62 Một công ty cung cấp nguyên vật liệu gửi giấy đòi nợ đến xí nghiệp u cầu tốn tiền cho đợt giao hàng vừa qua với số lượng hàng đợt không khác nhiều Trong số giấy đòi nợ (mỗi giấy viết riêng cho đợt) có giấy ghi sai số tiền phải toán Do đến hạn phải trả nợ ngân hàng, cơng ty u cầu xí nghiệp tốn cho đợt đợt giao hàng ngày Kế tốn viên xí nghiệp lấy ngẫu nhiên lúc giấy để kiểm tra làm phiếu chi Tính xác suất để giấy lấy có giấy ghi sai số tiền phải toán Giải: Gọi A biến cố giấy lấy có giấy ghi sai A biến cố giấy lấy khơng có giấy ghi sai P ( A)   P ( A) 34 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Gọi Ak giấy lấy thứ k bị sai (k=1,2,3) Ta có A  A1 A2 A3 nên P ( A)  P ( A1 A2 A3 )  P ( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A2 A3 )   0,1 P( A)   P( A)  0, Vậy xác suất để giấy lấy có giấy ghi sai số tiền tốn 0,9 Bài 2.63 Xí nghiệp cơng ty nói thỏa thuận với kế tốn viên xí nghiệp phát thấy có giấy địi nợ số tờ giấy lấy mà ghi sai số tiền xí nghiệp có quyền hỗn trả số nợ đợt giao hàng Mỗi giấy hỗn trả làm thiệt cho công ty khoảng triệu đồng phải trả lãi nợ hạn cho ngân hàng Hãy xác định số tiền thiệt hại trung bình xảy công ty phải trả lãi nợ hạn Giải: Gọi X số giấy ghi sai giấy rút ra: X=0;1;2 Gọi biến cố 2.62 P  X    P( A)  0,1 P  X    P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )  P( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 2 3     0, 5 P  X  1   0,1  0,3  0, X P 0,1 0,6 0,3 E  X  = 0.0,1  1.0,  2.0,  1, Số tiền thiệt hại trung bình xảy cơng ty phải trả nợ hạn: E  X   5E  X   5.1,  (triệu đồng) Bài 2.64 Tuổi thọ (tính theo giờ) loại van điện lắp thiết bị biến ngẫu nhiên có hàm mật 0  x  100 độ xác suất sau: f ( x)   100 / x  x  100 Tìm xác suất để có số van điện bị thay 150h hoạt động biết việc hỏng van điện độc lập với 35 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên tuổi thọ van điện Xác suất để van điện bị hỏng 150h hoạt động là: P  X  150   150  150 150 100 100 100 x dx   x 100  f  x  dx   Gọi A biến cố “Van điện hỏng 150h hoạt động đầu tiên”: P ( A)  ; P ( A )  3 Coi hoạt động van điện phép thử, ta có phép thử độc lập Theo công thức Bernoulli, xác suất để van điện phải thay 150h hoạt động là: 1 P5    C52   3 2    0, 3292 3 Bài 2.65 Tuổi thọ (tính theo giờ) trị chơi điện tử bấm tay biến ngẫu nhiên có hàm mật độ ke x /100  x  , k số Tính xác suất xác suất sau: f ( x)   0  x  a) Tuổi thọ trò chơi nằm khoảng từ 50 đến 150 b) Tuổi thọ trị chơi 100  Giải: Để f ( x ) hàm mật độ k    k a) b)  f  x  dx   ke  x /100 dx  100ke x /100   100k  1 100 P  50  X  150   P  X  100   100  150 150 50 50  f  x  dx   100 e f  x  dx   100  f  x  dx   x /100 100 dx  e  x /100  100 e  x /100 150 1/2 3/2  e  e  0,3834 50 dx  e  x /100 100   e1  0, 6321 Bài 2.66 Tùy theo tình hình kinh tế nước mà năm tới công ty thu mức lãi (tính theo triệu đơn vị tiền tệ nước này) đầu tư vào hai ngành A B sau: Kém phát triển Ổn định Phát triển Ngành A 20 80 120 Ngành B -30 100 140 Tình hình kinh tế Mức lãi Theo dự báo xác suất để kinh tế nước xét năm tới rơi vào tình trạng tương ứng 0,3; 0,5 0,2 Vậy công ty nên đầu tư vào ngành để cho: 36 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a) Mức lãi kỳ vọng cao b) Độ rủi ro (phương sai mức lãi) hơn? Giải: Gọi X A , X B biến ngẫu nhiên lãi thu công ty đầu tư vào ngành A, ngành B tương ứng a) Nếu đầu tư vào ngành A mức lãi kỳ vọng là: E ( X A )  0,3.20  0, 5.80  0, 2.120  70 (triệu) Nếu đầu tư vào ngành B mức lãi kỳ vọng là: E ( X B )  0,3.(30)  0,5.100  0, 2.140  69 (triệu) Như vậy, đầu tư vào ngành A có mức lãi kỳ vọng cao b) Mức độ rủi ro đầu tư vào ngành A là: V ( X A )  0,3.20  0, 5.80  0, 2.120  70  1300 Mức độ rủi ro đầu tư vào ngành B là: V ( X B )  0,3.( 30)  0,5.1002  0, 2.140  692  4429 Như vậy, độ rủi ro ngành A Bài 2.67 Trong thi, người ta có hai hình thức sau:  Hình thức thứ người phải trả lời hai câu hỏi, câu trả lời điểm  Hình thức thứ hai trả lời câu thứ trả lời câu thứ hai, khơng dừng Trả lời câu thứ điểm, trả lời câu thứ hai 10 điểm Trong hai hình thức thi, câu trả lời sai không điểm Giả sử xác suất trả lời câu 0,75, việc trả lời câu độc lập với Theo bạn nên chọn hình thức để số điểm trung bình đạt nhiều hơn? Giải: * Nếu chọn hình thức 1: Gọi X1 số điểm đạt được, X1 nhận giá trị thuộc {0;5;10} P(X1 = 0) = 0,25.0,25 = 0,0625 (hai câu sai) P(X1 = 10) = 0,75.0,75 = 0,5625 (hai câu đúng) P(X1 = 5) = 1- 0,0625 – 0,5625 = 0,375 (một câu đúng, câu sai) E(X1) = 0.0,0625 + 5.0,375 + 10.0,5625 = 7,5 * Nếu chọn hình thức 2: Gọi X2 số điểm đạt được, X2 nhận giá trị thuộc {0;5;15} P(X2 = 0) = 0,25 (sai câu thứ nhất) P(X2 = 5) = 0,75.0,25 = 0,1875 (đúng câu thứ sai câu thứ 2) P(X2 = 15) = 0,75.0,75 = 0,5625 (đúng hai câu) E(X2) = 0.0,25 + 5.0,1875 + 15.0,5625 = 9,375 Ta thấy E(X2) > E(X1) 37 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Vậy nên chọn hình thức để số điểm đạt trung bình cao Bài 2.68 Chủ cửa hàng sửa chữa điện dân dụng thuê chữa điện dân dụng thuê thợ sửa chữa điện làm việc 40 tuần với lương 800 ngàn/tuần Để xét xem có cần thuê thêm thợ không, ông chủ khảo sát nhu cầu X thu số sau: Nhu cầu X Xác suất 180 - 190 0,03 190 - 200 0,09 200 - 210 0,12 210 - 220 0,15 220 - 230 0,22 230 - 240 0,21 240 - 250 0,13 250 - 260 0,05 Nếu sửa chữa chủ nhà hàng thu 30 ngàn có nên thuê thêm công nhân không nếu: a) Năm người công nhân cũ đồng ý làm 40 giờ/tuần b) Năm người công nhân cũ đồng ý làm thêm tối đa người tuần với tiền công 25 ngàn/giờ làm thêm Giải: Ta coi nhu cầu X Nhu cầu X (giờ) Xác suất P(x) 185 0,03 195 0,09 205 0,12 215 0,15 225 0,22 235 0,21 245 0,13 255 0,05 a) Có người công nhân cũ đồng ý làm 40h/tuần, lương phải trả là: 800.5=4000 (ngàn) * Nếu không thuê thêm công nhân: Gọi Y lợi nhuận thu được, ta có Y= 30X – 4000 Số tối đa mà cửa hàng đáp ứng là: 5.40 = 200 (giờ) Khi ta có bảng phân phối xác suất Y sau: X 185 195 200 38 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Y 1550 1850 2000 P(Y) 0,03 0,09 0,88 E(Y) = 1550.0,03 + 1850.0,09 + 2000.0,88 = 1973 (nghìn) * Nếu th thêm cơng nhân, gọi Z lợi nhuận thu Z= 30X- 6.800= 30X – 4800 Số tối đa cửa hàng đáp ứng được: 6.40 = 240 (giờ) Có bảng phân phối xác suất: X 185 195 205 215 225 235 240 Z 750 1050 1350 1650 1950 2250 2400 P(Z) 0,03 0,09 0,12 0,15 0,22 0,21 0,18 E(Z) = 750.0,03 + 1050.0,09 + 1350.0,12 + 1650.0,15 + 1950.0,22 + 2250.0,21 + 2400.0,18= 1860(nghìn) Ta thấy E (Y )  E ( Z ) khơng nên th thêm người b) * Nếu không thuê người, gọi T lợi nhuận 30 X  4000  X  200 T  30 X  4000  25  X  200   X  1000  X  200 Trong X số theo nhu cầu, 4000 (nghìn) lương ứng với công nhân, (X-200) số làm thêm phải trả 25 nghìn/giờ Số tối đa cửa hàng đáp ứng được: 5.45 = 225 (giờ) Bảng phân phối xác suất: X 185 195 205 215 225 T 1550 1850 2025 2075 2125 P(T) 0,03 0,09 0,12 0,15 0,61 E(T) = 0,03.1550 + 0,09.1850 + 0,12.2025 + 0,15.2075+ 0,61.2125 = 2063,5 (ngàn) * Khi thuê thêm người công nhân: 30 X  6.800  30 X  4800 X  240 S 30 X  6.800  25.( X  6.40)  X  1200 X  240 Vì cơng nhân cũ đồng ý làm thêm nên số tối đa mà cửa hàng đáp ứng là: Xmax = 6.40 + 5.5 = 265 (giờ) Nhưng theo khảo sát, nhu cầu X lên tối đa tới 260 39 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ta có bảng phân phối xác suất S: X 185 195 205 215 225 235 245 255 S 750 1050 1350 1650 1950 2250 2425 2475 P(S) 0,03 0,09 0,12 0,15 0,22 0,21 0,13 0,05 E(S) = 0,03.750 + 0,09.1050 +0,12.1350 + 0,15.1650 + 0,22.1950 + 0,21.2250 + 0,13.2425 + 0,05.2475 = 1867 (ngàn ) Vì E(T) > E(S) nên chủ cửa hàng không nên thuê thêm công nhân Bài 2.69 Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất   x  (  a; a )  f ( x)    a _ x   x  (  a; a )  Tìm E(X)  Giải: E ( X )   xf ( x)dx   Đặt x  u ta có E ( X )  a  a a  a x dx a2  x2 u a2  u2 a d (u )    a u  a2  u du   E ( X ) Vậy E(X)= Bài 2.70 Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố xác suất: 0 x  2 1 x  F ( x)    sin 1 ( )    x  2  1 x  a) Tìm P(-1 < X < 1) b) Tìm hàm mật độ xác suất f ( x ) 1 1 1  1      Giải: a) Ta có: P  1  X  1  F 1  F  1  (  sin 1     sin 1        2    6  b) Hàm mật độ xác suất f ( x ) là:  x   2;   f ( x)  F '  x      x 0  x   2;   Bài 2.71* Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f  x   a x 2e  kx (k  0;0  x  ) 40 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a) Tìm hệ số a b) Tìm hàm số phân bố xác suất F(x)  Giải: a) Để f ( x ) hàm mật độ a     x e Xét I   kx   0 f ( x)dx   ax 2e kx dx  a  x 2e  kx dx dx du  xdx  x  u  Đặt:   kx  e kx Do  kx e dx  dv v  e dx  k  I  x2   kx  e kx  e 2 xdx   xe kx dx  J  k k k k 0  du  dx x u  Đặt:   kx  e kx Do  kx  e dx dv    v e dx k  J  x   kx e kx  e  e kx  dx    k2 k k k Suy I  k3  a  k3 b) Áp dụng công thức tích phân phần: x F ( x)   f (t ) dt  x x x x k  kt k 2  kt k 2  kt k  kt      t e dt t de t e e dt 0 0 2 0 x x x  x k  kx k2 k2 x e  k te kt dt   x 2e  kx  k tde  kt   x 2e  kx kte kt  k e  kt dt 2 0  x k 2  kx k2 k x  2kx  x e  kxe kx  e  kt   x 2e kx  kxe kx  e kx    e kx 2 Bài 2.72 Một ô tô khách chạy đoạn đường AB khoảng cách L theo nguyên tắc dừng bánh chỗ khách có yêu cầu Biết quãng đường có khách lên xe sau đoạn đường xuống xe Mật độ xác suất việc lên xe điểm x (0 ≤ x ≤ L) tỉ lệ với giá trị x(L – x)2 mật độ xác suất việc xuống xe điểm y với điều kiện khách lên xe điểm x (x ≤ y < L) tỉ lệ với giái trị (y - x)h, h ≥ Tìm xác suất để: a) Khách lên xe trước điểm Z 41 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Khách lên xe điểm x, xuống xe sau điểm Z b) Giải: a) Gọi X vị trí khách lên xe, X biến ngẫu nhiên Ta có hàm mật độ xác suất việc lên xe:  ax( L  x) x  (0; L ) f ( x)   0 x  (0; L ) Vì X biến ngẫu nhiên liên tục nên a   1    L L   f  x  dx  ax  L  x  dx   axL2  2Lax  ax3 dx 0 aL4 2aL4 aL4 aL4 12    a 4 12 L Xác suất để khách lên xe trước điểm Z là: Z Z 12 12 L2 Z 2 Z Z x L  x dx  (   )   L4 L4 P  X  Z   F  Z    f  x  dx    6Z L2 8Z L 3Z Z    (6 L2  LZ  3Z ) L L L L b) Gọi Y vị trí khách xuống xe sau lên xe điểm x, Y biến ngẫu nhiên Ta có hàm mật độ xác suất việc xuống xe sau lên xe điểm x: b( y  x)h y  ( x; L) g ( y)   0 y  ( x; L)  L Vì Y biến ngẫu nhiên liên tục nên b    g  y  dy  b  y  x  dy  b h  x ( L  x)h 1 h 1 b ( L  x)h 1 h 1 Xác suất để khách xuống xe trước điểm Z sau lên xe điểm x là: h 1 h  ( Z  x) h1  Z  x  h  P Y  Z   F Y    y  x  dy   h 1  ( L  x) ( L  x)h1 h   Lx x Z h 1 Vậy xác suất để khách xuống xe sau điểm Z sau lên xe điểm x là: Zx P Y  Z    P Y  Z       Lx  h 1 Bài 2.73 Trong lơ xổ số phát hành có m1 giải giá trị k1, , mn giải giá trị kn Tổng số có N vé Vậy phải quy định giá vé để giải thưởng trung bình cho vé nửa giá vé? Giải: Gọi a giá vé cần quy định để giải thưởng trung bình cho vé nửa giá vé 42 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh Tổng giải thưởng là: ĐH Ngoại Thương Hà nội n m k i i i 1 Theo giả thiết ra, ta có:  n mi ki i 1 N 2 i 1mi ki a  a N n Bài 2.74* Một súng dùng để bắn thử với loại đạn Xác suất trúng đích viên đạn p Phép thử kết thúc viên đạn trúng đích Gọi Y số viên đạn cần bắn (số lần bắn không hạn định) a) Viết quy luật phân phối xác suất Y b) Tìm hàm phân bố xác suất Y Giải: a) Ta tìm xác suất để Y nhận giá trị k : P (Y  k ) Gọi q xác suất để viên đạn khơng trúng đích: q   p Ta phải bắn k viên k  viên đầu khơng trúng đích viên cuối trúng đích Do P (Y  k )  q.q q p  pq k 1 Vậy Y có bảng phân phối xác suất sau: Y … k … P p pq pq … pq k 1 … b) Từ bảng phân phối xác Y ta có hàm phân bố xác suất Y 0 y   p 1  y    p (1  q ) 2  y   F ( y )    k  p  q k  y  k   1 q   Bài 2.75 Trong bình có a cầu trắng b cầu đen Một người lấy cầu theo phương thức có hồn lại khí lấy cầu trắng Tìm kỳ vọng tốn phương sai số cầu đen lấy Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số cầu đen lấy Các giá trị X 0, 1, Ta tìm P ( X  n ) n  43 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Với lần lấy xác suất lấy cầu trắng p  q a , xác suất lấy cầu đen ab b ab Nếu X  n có nghĩa ta lấy n đen liên tiếp cầu trắng cuối cùng, n a  b  ab n  P ( X  n)  q.q q p  pq    (a  b ) n 1 ab ab n Quy luật phân phối xác suất số cầu đen lấy là: X n P p pq pq n   n 0 n 1 Do đó: E ( X )  npq n  p nq n  Ta có q  n n 1 q Lấy đạo hàm hai vế theo q ta được: 1 q Nhân vế với q được:  nq n  n 1  nq n 1 n 1  1  2 (1  q ) p q p2 q q b   p p a Từ E ( X )  p    n 0 n 1 n 1 E ( X )  n pq n  n pq n  p n q n  Từ kết nq n 1 n  q (1  q ) Lấy đạo hàm hai vế theo q ta được:  n q n 1  n 1 Nhân vế với q ta được:  n q n 1  E ( X )  p n q n  p n 1 n  1 q 1 q  3 (1  q ) p q (1  q ) p3 q (1  q ) q (1  q )  Do p3 p2 V ( X )  E( X )  E ( X )  q(1  q ) q q b ( a  b)    a2 p p p Bài 2.76 Tìm kì vọng tốn phương sai số sản phẩm sản xuất hai lần sửa chữa máy xác suất làm phế phẩm máy p máy sửa chữa làm k phế phẩm Giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số sản phẩm sản xuất hai lần sửa chữa máy 44 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ta chia việc sản xuất sản phẩm lần sửa chữa máy thành k giai đoạn Giai đoạn bắt đầu tới sản phẩm phế phẩm tạo Giai đoạn tới sản phẩm phế phẩm thứ tạo Giai đoạn k tới sản phẩm phế phẩm thứ k tạo Gọi X i số sản phẩm giai đoạn i Có nghĩa có X i  phẩm phế phẩm tạo X  X  X   X k tổng k biến ngẫu nhiên độc lập Đặt q   p xác suất làm phẩm máy Mỗi biến ngẫu nhiên X i có bảng phân phối xác suất sau:  Xi n P p pq pq n 1 E ( X i )  npq n1  n 1  p  n p  n 2 n 1   X n pq ( ) nq E i   n q q n 1 q n1 n 1 theo 2.75 ta có E ( X i )  V ( X i2 )  p  n p q p  n p q (1  q )  q q n   E X  ( )  n q  q p3  p i q n1 q p2 p q n1 1 q q   2 p p p Do E ( X )  E ( X )  E ( X )   E ( X k )  V ( X )  V ( X )  V ( X )   V ( X k )  k k p q k (1  p )  p2 p2 45 Downloaded by nhung nhung (nhungnguyen949595@gmail.com) ...lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải tập sách ‘‘Bài tập Xác suất Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 07/2016 version Bài tập có giúp đỡ SV K52, K53 Có... Tính xác suất thời gian t có khơng q hai phận bị hỏng lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh d) ĐH Ngoại Thương Hà nội Tìm mốt mo trung vị md Giải: a) Gọi X số phận bị hỏng thời gian làm việc... suất lấy cầu (quả cầu đen, cầu đen, cầu trắng): 3  0,1 lOMoARcPSD|11424851 TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Ta có quy luật phân phối xác suất: X P 0,6 0,3 0,1 Bài 2.4 Xác suất để người