Bài 1: M t s toán v t di n – Khóa LTðH đ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com BTVN M T S D NG TOÁN V T DI N Bài 1: T di n SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) G i H, K l n lư t tr ng tâm c a tam giác ABC SBC Ch ng minh SC vng góc v i mp(BHK) ( SAC ) ⊥ ( BHK ) Ch ng minh HK ⊥ ( SBC ) ( SBC ) ⊥ ( BHK ) Gi i: Vì H tr c tâm tam giác ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC , theo gi thi t SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ BH ⊥ SA Nên BH ⊥ mp ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH Do K tr c tâm ∆SBC ⇒ BK ⊥ SC T suy SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ mp ( BHK ) ⊥ mp ( SAC ) (ñpcm) Tương t ta ch ng minh ñư c: SB ⊥ mp ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK Mà SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK Do đó: HK ⊥ mp ( SBC ) ⇒ mp ( SBC ) ⊥ mp ( BHK ) Bài 2: Cho t di n ABCD v i AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c G i I J l n lư t trung ñi m c a AB CD Hãy tính đ dài đo n vng góc chung c a AB CD Gi i: Ta th y ∆ABC = ∆ABD nên trung n CI BD b ng hay Nên ta có ∆ICD cân t i I IJ ⊥ CD CM tương t ta có: IJ ⊥ AB v y IJ đo n vng góc chung c a AB CD Tính IJ: Áp d ng cơng th c trung n ta tính IJ đư c k t qu là: b2 + c2 − a IJ = Bài 3: Tính th tích kh i t di n ABCD bi t AB = a, AC = b, AD = c góc ∠BAC , ∠CAD, ∠DAB ñ u b ng 60 Gi i: Khơng m t tính t ng qt ta gi s a = {a, b, c} Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t ThuVienDeThi.com Bài 1: M t s toán v t di n – Khóa LTðH đ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com Trên AC, AD l y l n lư t hai ñi m C1, D1 cho AC1 = AD1 = a, t gi thi t suy t di n ABC1D1 t di n đ u c nh a nên có VABC1D1 = Theo cơng th c t s th tích: a 12 VABC1D1 VABCD = ⇒ VABCD = AC1 AD1 a = AC AD bc bc 2abc V = ABC1D1 a 12 Bài 4: Cho tam di n vng góc Oxyz L n lư t l y Ox, Oy, Oz ba ño n OA=a, OB=b, OC=c G i α, β, γ s ño nh di n c nh BC, CA, AB a) CMR: cos 2α + cos β + cos 2γ = b) CMR: ( S ∆ABC ) = ( S ∆OBC ) + ( S ∆OCA) + ( S ∆OAB) Gi i: a) K CH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ AB ⇒ ∠OHC = γ Ta có: cosγ = OH ⇔ cos 2γ = OH CH CH = OC + OH = CH a 2b + b c + c a a 2b 2 c os γ ⇒ = a2 + b2 a 2b + b c + c a Tương t ta tính đư c: cos 2α + cos β + cos 2γ = b) Áp d ng cơng th c di n tích hình chi u ta có: S ∆OBC = S ∆ABC cos α S ∆OCA = ∆SABC cos β ⇒ ( S ∆ABC )2 = ( S ∆OBC )2 + ( S ∆OCA) + ( S ∆OAB)2 S ∆OAB = S ∆ABC cos γ Bài 5: Trong m!t ph"ng (P) cho hình vng ABCD c nh a L y M,N thu c CB CD ð!t CM=x, CN=y L y S ∈ At ⊥ ( P ) Tìm h th c gi$a x, y đ : a) ∠ ( ( SAM ),( SAN ) ) = 450 b) ( SAM ) ⊥ ( SMN ) Gi i: a) ∠ ( ( SAM ), ( SAN ) ) = ∠MAN 2 Ta có: MN = MA + NA − MA.NA cos ∠MAN Ta tính đư c: ThuVienDeThi.com Page of Bài 1: M t s tốn v t di n – Khóa LTðH ñ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com MA = a + (a − x) ⇒ ∠MAN = 450 ⇔ x y + 4a ( x + y ) = 4a + 2axy ( x − y ) NA2 = a + (a − y )2 2 MN = x + y 2 2 b) Gi s ( SAM ) ⊥ ( SMN ) K NM ' ⊥ SM ⇒ NM ' ⊥ ( SMA) ⇒ NM ' ⊥ SA Nhưng SA ⊥ MN nên NM’ trùng v i NM hay M’trùng v i M ⇒ a + (a − y ) = a + (a − x) + x + y ⇔ x = a ( x − y ) Bài 6: Cho hình T di n S.ABC có góc ph"ng % đ nh S vng Ch ng minh r ng: 3S ABC ≥S SBC +S SAB +S SAC Cho SA=a, SB+SC=k ð!t SB=x Tính th tích t di n S.ABC theo a,k,x Xác ñ nh SB,SC ñ th tích t di n S.ABC Max Gi i: ABC , N i dài AH c&t BC t i K ⇒ AH ⊥ BC( ) G i H tr c tâm SA ⊥ SB ⇒ SA ⊥ ( SBC ) ⇒ SA ⊥ BC( ) SA ⊥ SC T (1) (2) ta có: BC ⊥ ( SAH ) ≡ ( SAK ) ⇒ BC ⊥ SH Ch ng minh tương t ta có: AC ⊥ SH ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Tam giác SAK vuông, chi u cao SH nên: SK BC KH BC KA.BC SK = KH KA ⇔ = ⇔ (S Tương t : ( S SAB ) = (S ABC )( S C ng v v i ta có: ( S HAB ) ;( S SAC ) SAB ) + (S = (S HAC SBC ) + (S SAC )( S ) ABC = (S SBC ) = (S HBC )( S ABC 3S ABC ) ) ABC ) Theo BðT Côsi ta có: (S SAB ) + (S SBC ) + (S SAC ) ≤ (1 + + 1) ( ( S ThuVienDeThi.com SAB ) + (S SBC ) + (S SAC ) )= Page of Bài 1: M t s toán v t di n – Khóa LTðH đ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com 1 ak 2 SA.SB.SC = ax ( k − x ) ≤ a [ x + k − x ] = 6 6 ak k k ⇒ MaxVSABC = ⇔ x = k − x ⇔ x = ⇔ SB = SC = 2 VSABC = ………………….H t………………… Ngu n: ThuVienDeThi.com hocmai.vn Page of .. .Bài 1: M t s toán v t di n – Khóa LTðH đ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com Trên AC, AD l y l n lư... SBC ) + (S SAC ) ≤ (1 + + 1) ( ( S ThuVienDeThi.com SAB ) + (S SBC ) + (S SAC ) )= Page of Bài 1: M t s toán v t di n – Khóa LTðH đ m b o – Th y Tr n Phương www.VNMATH.com 1 ak 2 SA.SB.SC = ax... ∆OCA = ∆SABC cos β ⇒ ( S ∆ABC )2 = ( S ∆OBC )2 + ( S ∆OCA) + ( S ∆OAB)2 S ∆OAB = S ∆ABC cos γ Bài 5: Trong m!t ph"ng (P) cho hình vng ABCD c nh a L y M,N thu c CB CD ð!t CM=x, CN=y L y S ∈ At