THÔNG TIN TÀI LIỆU
CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P A N Chứng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp E Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn P F AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC O H M đối xứng qua BC H Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ( Lời giải: B C D ( XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CEH = 900 ( Vì BE đường cao) M CDH = 900 ( Vì AD đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mµ CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEC = 900 CF đường cao => CF AB => BFC = 900 Nh E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn ®êng kÝnh BC VËy ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ;  góc chung AE AH => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phơ víi gãc ABC) C2 = A1 ( hai góc nội tiếp cïng ch¾n cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => C1 = E1 ( hai góc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Cịng theo chøng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE A Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn 1 Chứng minh ED = BC O Chøng minh DE lµ tiÕp tuyến đường tròn (O) E Tính độ dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm H Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta cã: D B CEH = 900 ( Vì BE đường cao) C CDH = 900 ( Vì AD đường cao) ThuVienDeThi.com CC DNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT => CEH + CDH = 1800 Mµ CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE AC => BEA = 900 AD đường cao => AD BC => BDA = 900 Nh E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường tròn ®êng kÝnh AB VËy ®iÓm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC 4.Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( phơ víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E VËy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD Lêi gi¶i: y 2.Chøng minh COD = 900 x D AB 3.Chøng minh AC BD = / I M 4.Chøng minh OC // BM / C 5.Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn đường tròn đường kính CD N 5.Chứng minh MN AB 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ O A B nhÊt 1.Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tÝnh chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai gãc kỊ bï => COD = 900 3.Theo trªn COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB 2 Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R => AC BD = 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cđa BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) 5.Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB t¹i O => AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN AC CN CM Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy BN BD BN DM ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT => MN // BD mµ BD AB => MN AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhá nhÊt CD nhá nhÊt , mµ CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK A Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp I góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B C B Do ®ã BI BK hayIBK = 90 H o T¬ng tù ta cịng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m đường tròn đường kính IK B, C, I, K nằm đường tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân gi¸c cđa gãc ACH K C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC VËy AC lµ tiÕp tuyÕn đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH 12 2 CH = AH.OH => OH = = (cm) AH 16 OC = OH HC 12 225 = 15 (cm) Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB d Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp A Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm P K D đường tròn N 2 Chøng minh OI.OM = R ; OI IM = IA H M Chøng minh OAHB hình thoi O I Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d C Lời giải: B (HS tự làm) Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh vËy K, A, B nhìn OM góc 900 nên nằm đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường trßn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cđa AB => OM AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đường cao áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI IM = IA2 Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH AB; cịng theo trªn OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E 1.Chứng minh tam giác BEC cân E D 2.Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh r»ng AI = AH 3.Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyến đường tròn (A; AH) 4.Chứng minh BE = BH + DE A Lêi gi¶i: (HD) I AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) V× AB CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tun cđa B H C BEC => BEC lµ tam giác cân => B1 = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH vµ BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bµi Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tuyến tiếp xúc với (O) M Từ (1) (2) => ABM = Chøng minh r»ng tứ giác APMO nội tiếp đường tròn AOP (3) Chøng minh BM // OP X N J Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh P tứ giác OBNP hình bình hành I Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt M J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: K (HS tự làm) 2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm ( ( A B AOM O ch¾n cung AM => ABM = (1) OP tia phân giác AOM AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOP = (2) Mµ ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 3.XÐt hai tam gi¸c AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA tiếp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau) Tứ giác OBNP hình bình hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900 => K trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta có PO tia phân giác APM => APO = MPO (8) Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đông thời ®êng cao => IK PO (9) ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác néi tiÕp I 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân F 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn M Lời gi¶i: H E Ta cã : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KMF = 90 (vì hai góc kề bù) K AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 2 => KEF = 90 (vì hai góc kề bù) B A O => KMF + KEF = 1800 Mµ KMF vµ KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn X Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE không ®æi Chøng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp 1.C thuộc nửa đường tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) Lêi giải: => tam giác ABE vuông B có BC đường cao => AC AE ThuVienDeThi.com AB2 CC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT = (hệ thức cạnh đường cao ), mà AB đường kính nên AB = 2R không ®ỉi ®ã AC AE kh«ng ®ỉi 2. ADB cã ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ABD + BAD = 900 (v× tỉng ba gãc cđa mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tỉng ba gãc cđa tam giác 1800) (2) Từ (1) (2) => ABD = DFB ( cïng phơ víi BAD) X E C D A O F B 3.Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc kỊ bï) nªn suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp 1800 Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đường vuông góc từ S đến AB S 1.Gọi S giao điểm MA SP Chøng minh r»ng ∆ PS’M c©n M 2.Chøng minh PM tiếp tuyến đường tròn Lêi gi¶i: 4( Ta cã SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa )1 P B ) H O 3( A đường tròn ) => AMS = 90 Như P M nhìn AS góc 900 nên nằm đường tròn đường kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn M' Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm đường tròn nên M S' nằm đường tròn => hai cung AM AM có số đo => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp chắn hai cung nhau) (1) Cũng Mđối xứng M qua AB nên MM AB H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’ Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đ/ tròn => ASP=AMP (nội tiếp chắn AP ) => ASP = AMP => tam giác PMS cân P Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS vuông M => B1 = S1 (cùng phụ với S) (3) Tam giác PMS cân P => S1 = M1 (4) Tam giác OBM cân O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB = 900 nên suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM M => PM tiếp tuyến đường tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp CB CF (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam giác Lời giải: ThuVienDeThi.com CC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT ADF cân A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC AB AC DF // BC => BDFC lµ hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đường tròn A D F O I B M E C XÐt hai tam giác BDM CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến C N đường tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng M O A B cố định Lời giải: Ta có OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến N ) Như M N nhìn OP góc b»ng 900 => M vµ N cïng P D B' A' nằm đường tròn đường kính OP => Tứ gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành Xét hai tam giác OMC NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C gãc chung => OMC NDC CM CO => => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 CD CN không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) DÔ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đường thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Chøng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn A Lêi gi¶i: Ta cã : BEH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) E I => AEH = 900 (vì hai góc kÒ bï) (1) 1( F CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) )1 O O2 B H C EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng minh trªn) AE AF => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã O2F EF VËy EF lµ tiÕp tun chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ mét phÝa AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, E EB với nửa đường tròn (I), (K) 1.Chøng minh EC = MN N 2.Ch/minh MN lµ tiÕp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K) H 3.Tính MN 4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn M Lời gi¶i: I O Ta cã: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K) A C K B => ENC = 90 (vì hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( néi tiÕp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đường trßn (I), (K) Ta cã AEB = 900 (néi tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông t¹i A cã EC AB (gt) ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT => = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cã diƯn tÝch phÇn hình giới hạn ba nửa đường tròn S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 EC2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: C C 12 O O D S E M H×nh a A D F B M 1 2 F E S 2 A H×nh b B Ta có CAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm đường tròn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp đường tròn (O) chắn hai cung nhau) D1= C3 => SM => CA tia phân giác góc SCB XÐt CMB Ta cã BACM; CD BM; ME BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD ®ång quy EM => D1= D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900 Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS CS SM EM => SCM = ECM => CA tia phân giác góc SCB => CE ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VO LP 10 THPT Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thng CD, AE cắt đường tròn F, G B Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG O Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy E Lời giải: 1 Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông F G D A); DEB = 90 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB CAB S A C Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bù); BAC = 900 ( ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 F A nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường tròn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC 1.Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp hÃy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH 3.Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: A Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 P Q nhìn BC góc 900 nên P Q nằm đường tròn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ O tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung ®iĨm cđa AM P 2 Tam giác ABC có AH đường cao => SABC = BC.AH Q Tam giác ABM có MP ®êng cao => SABM = AB.MP M B H C Tam giác ACM có MQ đường cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC ®Òu) => MP + MQ = AH HQ ( tính Tam giác ABC có AH đường cao nên đường phân giác => HAP = HAQ => HP chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH PQ 10 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Bµi 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đường tròn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Lời giải: M 1 Ta cã : ACB = 90 ( néi tiếp chắn nửc đường tròn ) _ => MCI = 900 (vì hai góc kề bù) K C ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) _ D => MDI = 900 (vì hai góc kề bù) => MCI + MDI = 180 mà hai góc đối tứ giác MCID nên I MCID tứ giác nội tiÕp A B Theo trªn Ta cã BC MA; AD MB nên BC AD hai O H đường cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I trực tâm tam giác MAB Theo giả thiết MH AB nên MH đường cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC cân O ( OA OC bán kính) => A1 = C4 KCM cân K ( KC KM bán kính) => M1 = C1 Mµ A1 + M1 = 900 ( tam giác AHM vuông H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( góc ACM góc bẹt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK OCK hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI néi tiÕp D Chøng minh tø gi¸c ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD I Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: 1 A / / O B C M O' 0 BIC = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID = 90 (vì hai góc kề bù); DE AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M E trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DC; theo trªn BI DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2) Tõ (1) vµ (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; OIC cân O ( OC OI bán kính ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 20 Cho đường tròn (O; R) (O; R) có R > R tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gäi 11 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT giao ®iĨm thø hai cđa DC với (O) F, BD cắt (O) G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp => CGD = 900 (vì hai góc kề bù) Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn D Tứ giác ADBE hình thoi G B, E, F thẳng hàng DF, EG, AB ®ång quy M C A O' O MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O) F Lời giải: 1 BGC = 90 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) E B Theo giả thiết DE AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD tứ giác nội tiếp BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB M) F M nhìn BD góc 900 nên F M nằm đường tròn đường kính BD => M, D, B, F nằm đường tròn Theo giả thiết M trung điểm AB; DE AB M nên M trung điểm DE (quan hệ đường kính dây cung) => Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DF ; theo tứ giác ADBE hình thoi => BE // AD mà AD DF nên suy BE DF Theo trªn BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF DF mà qua B có đường thẳng vuông góc với DF đo B, E, F thẳng hàng Theo DF BE; BM DE mà DF BM cắt C nên C trực tâm tam giác BDE => EC đường cao => ECBD; theo CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo DF BE => DEF vuông F có FM trung tuyến (vì M trung điểm DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền) (HD) theo MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân M => D1 = F1 OBF cân O ( OB OF bán kính ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phơ víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF OF F => MF tiếp tuyến (O) Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Q Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xóc t¹i A Chøng minh IP // OQ P Chøng minh r»ng AP = PQ X¸c định vị trí P để tam giác AQB có diƯn tÝch lín nhÊt Lêi gi¶i: A B O H I Ta cã OI = OA – IA mµ OA IA bán kính đ/ tròn (O) đường tròn (I) Vậy đ/ tròn (O) đường tròn (I) tiếp xúc A OAQ cân O ( OA OQ bán kính ) => A1 = Q1 IAP cân I ( IA IP bán kính ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà hai góc đồng vị nªn suy IP // OQ APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP AQ => OP đường cao OAQ mà OAQ cân O nên OP đường trung tuyến => AP = PQ 1 12 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT AB.QH mà AB đường kính không đổi nên SAQB lín nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB Để Q trùng với trung điểm cung AB P phải trung điểm cung AO Thật P trung điểm cung AO => PI AO mà theo PI // QO => QO AB O => Q trung điểm cung AB H trung với O; OQ lớn nên QH lớn (HD) Kẻ QH AB ta có SAQB = Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh BHCD tứ giác nội tiÕp B TÝnh gãc CHK A Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? H Lời giải: O E Theo giả thiết ABCD hình vuông nên BCD = 90 ; BH DE H nên BHD = 900 => H C nhìn BD góc 900 nên H C nằm đường tròn đường kính BD ) D => BHCD tứ giác nội tiếp C K BHCD tứ giác nội tiếp => BDC + BHC = 1800 (1) BHK góc bẹt nên KHC + BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mà BDC = 450 (vì ABCD hình vuông) => CHK = 450 Xét KHC KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC KDB => => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta có BHD = 900 BD cố định nên E chuyển động cạnh BC cố định H chuyển động cung BC (E B th× H B; E C th× H C) Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK, ACDE E Chøng minh ba ®iĨm H, A, D thẳng hàng M Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, chứng minh FBC tam giác vuông cân D Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF K ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c nằm F A đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp H tam giác ABC Lời giải: O C B Theo giả thiết ABHK hình vuông => BAH = 45 Tứ giác AEDC hình vuông => CAD = 450; tam giác ABC vuông A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba điểm H, A, D thẳng hàng Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên tam giác BFC vuông F (1) FBC = FAC ( nội tiếp chắn cung FC) mà theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Tõ (1) (2) suy FBC tam giác vuông cân F Theo BFC = 900 => CFM = 900 ( hai góc kề bù); CDM = 900 (t/c hình vuông) => CFM + CDM = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp đường tròn suy CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC hình vuông) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta có CEB = 450 (vì AEDC hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK hình vuông) 13 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chứa góc 450 dựng BC => điểm b, k, e, m, c nằm đường trßn CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC t¹i C => MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E A Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực D ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH F O 3.Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa đường tròn ngoại tiếp BDE H / _ Lời gi¶i: _K 1 / I AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) B E C => AEB = 900 ( hai góc kề bù); Theo giả thiết ABE = 450 => AEB tam giác vuông cân E => EA = EB Gọi K trung điểm HE (1) ; I trung điểm HB => IK đường trung bình tam giác HBE => IK // BE mà AEC = 900 nên BE HE E => IK HE K (2) Từ (1) (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trực đoạn HE qua trung điểm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mà I trung điểm cña BH => IE = IB ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vuông D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân I (vì ID IB b¸n kÝnh ) => D2 = B1 (4) Theo ta có CD AE hai đường cao tam giác ABC => H trực tâm tam giác ABC => BH đường cao tam giác ABC => BH AC F => AEB cã AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID D => OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đường tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp A Chøng minh MI = MH.MK Chøng minh PQ MI Lời giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AB = AC => ABC cân A H Theo gi¶ thiÕt MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 K M => MIB + MKB = 1800 mµ hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiếp tương tự tứ giác BIMK ) Q P Theo tứ giác BIMK nội tiếp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi B C I tiÕp => HMI + HCI = 1800 mà KBI = HCI ( tam giác ABC cân A) => KMI = HMI (1) O Theo tứ giác BIMK nội tiếp => B1 = I1 ( nội tiếp chắn cung KM); tứ giác CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp chắn cung IM) Mà B1 = C1 ) => I1 = H1 (2) ( = 1/2 s® BM MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI 14 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Theo trªn ta cã I1 = C1; cịng chứng minh tương tự ta có I2 = B2 mà C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà hai góc đối => tứ giác PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( có hai góc đồng vị nhau) Theo giả thiết MI BC nên suy IM PQ Bài 26 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R VÏ d©y cung CD AB ë H Gäi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm cđa AM vµ CB Chøng minh : J KC AC AM tia phân giác CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M K Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường _ I tròn M A => MB MC B Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M trung điểm BC H O => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK tia KC AC phân giác góc CAB => ( t/c tia phân giác tam gi¸c ) D KB AB => CMA = DMA => MA tia phân (HD) Theo giả thiết CD AB => A trung điểm CD giác góc CMD => OM BC I => OIC = 900 ; CD AB t¹i H (HD) Theo giả thiết M trung điểm cña BC => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp Kẻ MJ AC ta có MJ // BC ( vuông góc với AC) Theo trªn OM BC => OM MJ J suy MJ tiếp tuyến đường tròn M Bài 27 Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), tõ M kỴ MH BC, MK CA, MI AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: I B I H B M M O H O A A K C C K (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO = BCO (néi tiếp chắn cung BO) Theo giả thiết MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) ) => HKM = MHI (1) Chøng minh tương tự ta có Mà HCM = MBI ( = 1/2 s® BM KHM = HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => HIM KHM MI MH Theo trªn HIM KHM => => MI.MK = MH2 MH MK 15 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC A Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân = B' Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam O giác ABC C' H G = Lời giải: / Theo giả thiết F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC => I / / B C A' I / trung ®iĨm BC HE => BHCF hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm ®êng F E (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mµ BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800 Theo BHCF hình bình hành => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O) * H vµ E ®èi xøng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) Ta có H E đối xứng qua BC => BC HE (1) vµ IH = IE mà I trung điểm của HF => EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông E hay FE HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC hình thang (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp chắn cung CE) (4) Theo F (O) FEA =900 => AF đường kính (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phơ ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6) Từ (3) (6) => tứ giác BEFC hình thang cân Theo AF đường kính (O) => O trung điểm AF; BHCF hình bình hành => I trung điểm HF => OI đường trung bình tam giác AHF => OI = 1/ AH Theo giả thiết I trung điểm BC => OI BC ( Quan hệ đường kính dây cung) => OIG = HAG GI OI (v× so le trong); lại có OGI = HGA (đối đỉnh) => OGI HGA => mµ OI = AH GA HA GI mµ AI lµ trung tun cđa ABC (do I trung điểm BC) => G trọng tâm ABC => GA Bài 29 BC dây cung đường tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lín BC cho O lu«n n»m tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H A Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA Gọi A1 trung điểm EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ = E Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để A O tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn F H = Lời giải: (HD) / Tứ giác BFEC nội tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / / B C D A' / AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF ABC K VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC hình bình hành => A trung điểm HK => OK đường trung bình AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : hai tam giác đồng dạng tỉ số hia trung tuyến, tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng ta cã : 16 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT R AA ' (1) R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC; R bán kính R ' AA1 đường tròn ngoại tiếp AEF; AA trung tuyến ABC; AA1 trung tuyến AEF Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đường tròn ngoại tiếp AEF AH A 'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ 2 VËy R AA1 = AA AO (2) Gọi B, Clần lượt trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (bán kính qua trung điểm dây không qua tâm) => OA, OB, OC ®êng cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA = R mà tỉ số trung tuyến hai tam giác đồng dạng AEF ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC’ = R Thay vµo (3) ta ®ỵc AA ' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( BC AC AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn SABC Ta có SABC = AD.BC BC không đổi nên SABC lớn nhÊt AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A điểm giỡa cung lớn BC AEF ABC => Bµi 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh AM phân giác góc OAH A D Giả sử B > C Chøng minh OAH = B - C 0 Cho BAC = 60 vµ OAH = 20 Tính: a) B C tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R O Lời giải: (HD) CM => M AM lµ phân giác BAC => BAM = CAM => BM B C trung điểm cung BC => OM BC; Theo gi¶ thiÕt AH BC => H OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mà OMA = OAM ( tam giác OAM cân t¹i O cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM M tia phân giác cđa gãc OAH VÏ d©y BD OA => AB AD => ABD = ACB Ta cã OAH = DBC ( góc có cạnh tương ứng vuông gãc cïng nhän) => OAH = ABC - ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 B C 1200 B 700 => 0 B C 20 C 50 b) Svp = SqBOC - S BOC = R 1202 3600 R R R R (4 3) R = 2 12 17 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LP 10 THPT Bài 31 Cho tam giác ABC có ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600 1.Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R 2.VÏ ®êng kÝnh CD cđa (O; R); gäi H giao điểm ba đường cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH 3.TÝnh AH theo R Lêi gi¶i: =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => s® BC A D H O => BOC = 1200 ( t/c gãc ë t©m) B C M * Theo sđ BC =120 => BC cạnh tam giác nội tiÕp (O; R) => BC = R CD đường kính => DBC = 900 hay DB BC; theo giả thiết AH đường cao => AH BC => BD // AH Chøng minh t¬ng tự ta AD // BH Theo DBC = 900 => DBC vuông B có BC = R ; CD = 2R => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH hình bình hành => AH = BD => AH = R Bài 32 Cho đường tròn (O), đường kÝnh AB = 2R Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iĨm H cđa OB N Chøng minh MN di động , trung điểm I MN nằm đường tròn cố định D K Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN C I hình bình hành H Chứng minh C trực tâm tam giác AMN A B O Khi MN quay quanh H C di động đường nµo 5.Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm M tam giác AMN Lời giải: (HD) I trung điểm MN => OI MN I ( quan hệ đường kính dây cung) = > OIH = 900 OH cố địmh nên MN di động I di động nhìn OH cố định góc 900 I di động đường tròn đường kính OH Vậy MN di ®éng , trung ®iĨm I cđa MN nằm đường tròn cố định Theo giả thiết Ax MN; theo OI MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mà O trung điểm AB => I trung điểm BC, lại có I trung điểm MN (gt) => CMBN hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường ) CMBN hình bình hành => MC // BN mà BN AN ( ANB = 900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MC AN; theo AC MN => C trực tâm tam giác AMN Ta có H trung điểm OB; I trung điểm BC => IH đường tung bình OBC => IH // OC Theo giả thiÕt Ax MN hay IH Ax => OC Ax t¹i C => OCA = 900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định Vậy MN quay quanh H C di động đường tròn đường kính OA cố định Ta có AM AN = 3R2 , AN = R => AM =AN = R => AMN cân A (1) Xét ABN vuông N ta có AB = 2R; AN = R => BN = R => ABN = 600 ABN = AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => AMN = 600 (2) 3R Từ (1) (2) => AMN tam giác ®Òu => SAMN = 3R R (4 3 => S = S(O) - SAMN = R = 4 18 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M ( P Chứng minh OM BC Chứng minh MC2 = MI.MA N Kẻ đường kính MN, tia phân giác góc B C A cắt đường thẳng AN P Q Chøng minh Q ®iĨm P, C , B, Q thuộc đường tròn Lời giải: O AM phân giác BAC => BAM = CAM K CM => M trung điểm cđa cung BC => OM BC => BM Bµi 33 1 1 2 ( C I XÐt MCI vµ MAC cã MCI =MAC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau); M lµ gãc chung M MC MI => MCI MAC => => MC = MI.MA MA MC (HD) MAN = 900 (néi tiÕp ch¾n nửa đường tròn ) => P1 = 900 K1 mµ K1 lµ gãc ngoµi cđa tam A B A B giác AKB nên K1 = A1 + B1 = (t/c phân giác góc ) => P1 = 900 – ( 2 2 ).(1) C A B CQ tia phân giác cña gãc ACB => C1 = = (1800 - A - B) = 900 – ( ) (2) 2 2 Tõ (1) vµ (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mµ P vµ C n»m cïng nửa mặt phẳng bờ BQ nên A B cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( ) dựng BQ 2 Vậy bốn điểm P, C, B, Q thuộc đường tròn B Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiÒu cao AH = Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA A Tính bán kính đường tròn (O) Kẻ đường kính CC, tứ giác CACA hình gì? Tại sao? Kẻ AK CC tứ giác AKHC hình gì? Tại sao? Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác ABC C' Lời giải: O K 1 (HD) Vì ABC cân A nên đường kính AA đường tròn ngoại 1 B C tiếp đường cao AH xuất phát từ đỉnh A trùng nhau, tức AAđi qua H H BC = 3cm; => ACA’ vuông C có đường cao CH = AH = 2 A' CH 32 2,5 => AA’ 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = AH 4 => AA’ = AH + HA’ = + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : = 6,5 : = 3,25 (cm) Vì AA CC hai đường kính nên cắt trung điểm O đường => ACAC hình bình hành Lại có ACA = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên suy tứ giác ACAC hình chữ nhật Theo gi¶ thiÕt AH BC; AK CC’ => K H nhìn AC góc 900 nên nằm đường tròn đường kính AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => C2 = H1 (nội tiếp cung chắn cung AK) ; AOC cân O ( v× OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK hình thang (2).Từ (1) (2) suy tứ giác ACHK hình thang cân 19 ThuVienDeThi.com CC DNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N B Nối AC cắt MN E M Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM O1 Chøng minh AM2 = AE.AC C E Chøng minh AE AC - AI.IB = AI HÃy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn A B I O ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Lời giải: Theo giả thiết MN AB I => EIB = 900; ACB néi tiÕp ch¾n nửa đường tròn nên ACB = 900 hay ECB = 900 N => EIB + ECB = 1800 mà hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB tứ giác nội tiếp Theo giả thiết MN AB => A trung điểm cung MN => AMN = ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay AME = ACM Lại thấy CAM góc chung hai tam giác AME AMC tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM AE Theo AME ACM => => AM2 = AE.AC AC AM AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN AB I => AMB vuông M có MI đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) áp dụng định lí Pitago tam giác AIM vuông I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI Theo AMN = ACM => AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ECM; Nối MB ta có AMB = 900 , tâm O1 đường tròn ngoại tiếp ECM phải nằm BM Ta thấy NO1 nhỏ NO1 khoảng cách từ N đến BM => NO1 BM Gọi O1 chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta O1 tâm đường tròn ngoại tiếp ECM có bán kính O1M Do để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ C phải giao điểm đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường tròn (O) O1 hình chiếu vuông góc N BM Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q hình chiếu vuông góc cđa D lªn AB, BE, CF, AC Chøng minh : Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhật A C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng E Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng F Lời giải: & (HS tự làm) H Q P Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => N2 = D4 (néi tiÕp cïng ch¾n 1 cung HP); HDC cã HDC = 900 (do AH đường cao) HDP có HPD M 1N = 900 (do DP HC) => C1= D4 (cïng phô víi DHC)=>C1=N2 (1) 1 chøng minh t¬ng tù ta cã B1=P1 (2) D B C Tõ (1) vµ (2) => HNP HCB Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => N1 = D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => C1= D1 ( hai góc đồng vị).(4) Theo chứng minh C1 = N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => N1 = N2 mµ B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng (6) Chứng minh tương tự ta cung có N, P, Q thẳng hàng (7) Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng 20 ThuVienDeThi.com ... AB (gt) ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT => = AC BC EC2 = 10. 40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thi? ?t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm... so le b»ng nhau) => tø giác ACHK hình thang (2).Từ (1) (2) suy tứ giác ACHK hình thang cân 19 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Bài 35 Cho đường tròn (O), đường... hay CMB = 450 Ta cịng cã CEB = 450 (v× AEDC hình vuông); BKC = 450 (vì ABHK hình vu«ng) 13 ThuVienDeThi.com CÁC DẠNG BÀI TẬP TỐN HÌNH HỌC THI VÀO LỚP 10 THPT Nh vËy K, E, M nhìn BC góc 450 nên
Ngày đăng: 30/03/2022, 17:13
Xem thêm: