Giáo trình Hình học 11 nâng cao34877

1 Các Khái niệm vectơ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Vectơ đoạn thẳng có định hướng, tức ta đoạn thẳng đó, ta điểm đầu điểm cuối # » • Một vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B, ta kí hiệu AB • Trong số trường hợp, ta không cần điểm đầu điểm cuối vectơ, ta viết #» x , #» y, Ví dụ 1.1 Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, lập vectơ có điểm đầu điểm cuối khơng trùng nhau? Ví dụ 1.2 Cũng hỏi trên, với 2009 điểm phân biệt A1 , A2 , , A2009 ? #» Định nghĩa 1.2 Vectơ có điểm đầu điểm cuối khơng trùng gọi vectơ - khơng, kí hiệu Hai vectơ phương 2.1 Giá vectơ Định nghĩa 2.1 Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ # » Giá vectơ AB đường thẳng AB 2.2 Hai vectơ phương Định nghĩa 2.2 Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vectơ hướng Dựa vào hình vẽ, ta biết hai vectơ hướng hay ngược hướng Chú ý • Hai vectơ hướng phương Điều ngược lại khơng • Hai vectơ phương hướng hay ngược hướng • Vectơ - khơng phương, hướng với vectơ ⊲ 3.1 Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A, B, C trường hợp sau: # » # » AB AC ngược hướng # » # » AB AC phương 4.1 Độ dài vectơ, hai vectơ Độ dài vectơ # » # » #» Định nghĩa 4.1 Độ dài vectơ AB, kí hiệu |AB|, độ dài đoạn thẳng AB Độ dài vectơ Định nghĩa 4.2 Một vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị ThuVienDeThi.com 4.2 Hai vectơ #» #» Định nghĩa 4.3 Hai vectơ #» a b , gọi nhau, kí hiệu #» a = b chúng có độ dài hướng # » ⊲ 4.1 Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm vectơ OA # » # » ⊲ 4.2 Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC ⊲ 4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm đối xứng B qua O H trực tâm tam giác ABC # » # » Chứng minh AH = DC #» # » Gọi I trung điểm AH, M trung điểm cạnh BC Chứng minh AI = OM Tổng hai vectơ #» # » # » #» Định nghĩa 5.1 Cho hai vectơ #» a b Từ điểm A tuỳ ý, dựng AB = #» a Từ B, dựng BC = b Khi đó, #» #» # » # » AC gọi vectơ tổng hai vectơ #» a b Kí hiệu AC = #» a + b 5.1 Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta ln có # » # » # » AB + BC = AC 5.2 Quy tắc hình bình hành #» v A Cho hình bình hành ABCD, ta có D # » # » # » AB + AD = AC #» u #» u + #» v B 5.3 C Tính chất #» Với vectơ #» a , b , #» c , ta có #» #» #» a + b = b + #» a; #» #» #» a + ( b + #» c ) = ( #» a + b ) + #» c; #» #» #» a + = + #» a = #» a # » # » # » # » # » # » ⊲ 5.1 Tính tổng #» u = AB + DE + F A + CD + EF + BC # » # » # » # » # » # » ⊲ 5.2 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh AD + BE + CF = AE + BF + CD # » # » ⊲ 5.3 Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B Với điều kiện OA + OB nằm đường phân giác góc AOB? # » # » # » # » ⊲ 5.4 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB + AC AB + CB theo a ThuVienDeThi.com # » # » # » # » ⊲ 5.5 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M , ta có M A + M C = M B + M D ⊲ 5.6 Cho tam giác ABC, bên ngồi tam giác ta vẽ hình bình hành ABM N , BCP Q, CARS Chứng minh # » # » # » #» M N + P Q + RS = # » # » # » #» M Q + P S + RN = # » # » ⊲ 5.7 Cho hai điểm phân biệt A B cố định số k > Tìm tập hợp điểm M cho |M A + M B| = k #» #» ⊲ 5.8 Cho vectơ #» a , b , #» c Chứng minh | #» a| + | b| #» | #» a + b | Dấu xảy nào? # » # » # » # » ⊲ 5.9 Cho tứ giác ABCD Chứng minh |AD + BC| = |AB + DC|, AC ⊥ BD ⊲ 5.10 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính P Q = Trên nửa đường tròn ta lấy điểm A, B, C # » # » # » khác P Q Chứng minh |OA + OB + OC| > Hiệu hai vectơ 6.1 Vectơ đối hai vectơ Định nghĩa 6.1 Hai vectơ gọi đối chúng có độ dại ngược hướng #» #» #» • Nếu #» a b hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #» a = − b hay b = − #» a # » # » # » # » • Vectơ đối AB −AB, −AB = BA #» #» • Vectơ đối Tính chất Tổng vectơ #» a với vectơ đối vectơ - khơng 7.1 Hiệu hai vectơ #» #» Định nghĩa 7.1 Hiệu hai vectơ #» a b , kí hiệu #» a − b , tổng vectơ #» a với vectơ đối vectơ #» b #» #» #» a − b = #» a + (− b ) 7.2 Hiệu hai vectơ chung điểm đầu Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta ln có # » # » # » AB − AC = BC #» ⊲ 7.1 Dựng hiệu hai vectơ #» a b cho trước ⊲ 7.2 Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Hãy rút gọn vector # » # » CO − BA; # » # » # » CO − OD + CB; # » # » # » # » # » # » ⊲ 7.3 Cho năm điểm A, B, C, D, E Chứng minh AC + DE − DC − CE + CB = AB ThuVienDeThi.com # » # » # » # » ⊲ 7.4 Cho tam giác ABC Chứng minh |CA − CB| = |CA + CB|, tam giác ABC vuông C # » # » # » # » ⊲ 7.5 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện AB + AC vng góc với AB − AC, tam giác ABC cân # » # » ⊲ 7.6 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB − BC theo a ⊲ 7.7 Cho lục giác ABCDEF Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác Chứng minh # » # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE + OF = ⊲ 7.8 Cho ngũ giác ABCDE Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác Chứng minh # » # » # » # » # » #» OA + OB + OC + OD + OE = ⊲ 7.9 Chứng minh hai hình bình hành ABCD A′ B ′ C ′ D′ có tâm # » # » # » # » #» AA′ + BB ′ + CC ′ + DD′ = ⊲ 7.10 Cho hình thoi ABCD có BAD = 60◦ cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính # » # » # » # » # » # » |AB + AD|, |BA − BC|, |OB − DC| # » # » # » # » ⊲ 7.11 Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Tính |OA − CB|, |AB + DC|, # » # » |CD − DA| Tích số thực với vectơ Định nghĩa 8.1 Cho số thực k vectơ #» a Tích số k với vectơ a vectơ, kí hiệu k #» a , xác định sau: • Nếu k 0, vectơ k #» a hướng với vectơ #» a Nếu k < 0, vectơ k #» a ngược hướng với vectơ #» a • Độ dài vectơ k #» a |k| · | #» a | Tính chất #» Cho vectơ #» a b ; cho số thực k, m Ta có #» #» • k · ( #» a + b ) = k · #» a +k· b; • (k + m) · #» a = k · #» a + m · #» a; • (k − m) · #» a = k · #» a − m · #» a; • k(m · #» a ) = (km) · #» a; #» #» • k · #» a = k = #» a = ⊲ 9.1 Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với M điểm bất kì, ta # » # » # » có M A + M B = 2M I ⊲ 9.2 Cho tam giác ABC có trọng tâm G ThuVienDeThi.com # » # » # » #» # » # » # » #» Chứng minh GA + GB + GC = Ngược lại, M A + M B + M C = , M trọng tâm tam giác ABC # » # » # » # » Chứng minh với M điểm bất kì, ta có GA + GB + GC = 3M G # » # » # » # » #» ⊲ 9.3 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M cho M A + M B + M C + M D = ⊲ 9.4 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh với M điểm # » # » # » # » # » bất kì, ta có M A + M B + M C + M D = 4M O ⊲ 9.5 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh # » # » #» AB + CD = 2IJ ⊲ 9.6 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần trung điểm cạnh BC, CD Chứng minh # » #» # » # » # » 2(AB + AI + JA + DA) = 3DB # » # » # » # » #» ⊲ 9.7 Cho tứ giác ABCD Hãy dựng điểm G cho GA + GB + GC + GD = Chứng minh với điểm O, ta có # » # » # » # » # » OG = (OA + OB + OC + OD) ⊲ 9.8 Cho tam giác ABC M điểm Kẻ M H, M K, M I vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh # » # » # » # » # » # » M A + M B + M C = 2(M H + M K + M I) ⊲ 9.9 Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M, N, P cho # » # » # » #» M A + M B − 2M C = ; # » # » # » #» N A + N B + 2N C = ; # » # » # » #» P A − P B + 2P C = ⊲ 9.10 Cho hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ có trọng tâm G G′ Chứng minh # » # » # » #» AA′ + BB ′ + CC ′ = , G trùng G′ ⊲ 9.11 Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF , F A Chứng minh hai tam giác P RT QSU có trọng tâm trùng 9.1 Điều kiện để hai vectơ phương #» #» #» Định lí 9.1 Vectơ b phương với vectơ #» a = có số k cho b = k #» a 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng # » # » Định lí 9.2 Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB = kAC # » # » # » #» ⊲ 9.12 Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãn M A + 2M B − 3M C = # » # » # » # » ⊲ 9.13 Cho tam giác ABC, M N thay đổi cho M N = 2M A + 3M B − M C #» # » # » #» Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB − IC = Chứng minh đường thẳng M N qua điểm cố định ThuVienDeThi.com ⊲ 9.14 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O # » #» Gọi I trung điểm BC Chứng minh AH = 2OI # » # » # » # » Chứng minh OH = OA + OB + OC Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng #» #» # » # » #» ⊲ 9.15 Cho tam giác ABC Gọi I, J hai điểm xác định IA = 2IB; 3JA + 2JC = #» # » # » Tính IJ theo AB AC # » #» 2# » Đáp số IJ = AC − 2AB Chứng minh đường thẳng IJ qua trọng tâm G tam giác ABC #» # » Đáp số IJ = IG 1# » # » # » # » #» ⊲ 9.16 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả 3M A + 4M B = CN = BC Chứng minh đường thẳng M N qua trọng tâm G tam giác ABC 3# » # » ⊲ 9.17 Cho tam giác ABC, BC lấy điểm D cho BD = BC, gọi E điểm thoả mãn hệ thức # » # » # » #» 10EA + 2EB + 3EC = Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng 1# » # » Hướng dẫn Chọn E làm gốc EA = − ED # » # » #» #» #» # » #» ⊲ 9.18 Cho tam giác ABC, gọi D, I điểm xác định 3DB − 2DC = IA + 3IB − 2IC = Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng # » # » Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {AB, AC}; # » #» AD = 2AI # » # » #» # » # » # » #» ⊲ 9.19 Cho tam giác ABC, gọi M, N điểm xác định M A + 3M C = N A+ 2N B + 3N C = Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng # » # » Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc {BA, BC}; 9.3 # » 3# » BM = BN Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương #» #» Định nghĩa 9.1 Cho hai vectơ #» a b Nếu vectơ #» c viết dạng #» c = m #» a + n b , với m, n #» hai số thực đó, ta nói vectơ #» c biểu thị (hay phân tích được) qua hai vectơ #» a b #» Định lí 9.3 Cho hai vectơ khơng phương #» a b Khi vectơ #» x biểu thị #» #» #» cách qua hai vectơ a b , nghĩa có cặp số m, n cho #» x = m #» a +nb ⊲ 9.20 Cho tam giác ABC điểm M nằm cạnh BC cho M B = 2M C Chứng minh # » 1# » 2# » AM = AB + AC 3 # » ⊲ 9.21 Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D cho BD = Gọi E điểm thoả # » # » # » #» 4EA + 2EB + 3EC = # » # » # » Tính ED theo EB EC # » 2# » 3# » Đáp số ED = EB + EC 5 ThuVienDeThi.com Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng 5# » # » Hướng dẫn EA = − ED Bài toán Cho n điểm A1 , A2 , , An tập hợp số thực x1 , x2 , , xn cho x1 +x2 +· · ·+xn = Tìm tập hợp điểm M thoả điều kiện # » # » # » |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = k • Bước Chọn điểm I cho # » # » # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = Khi đó, điểm I xác định # » # » # » # » |x1 M A1 + x2 M A2 + · · · + xn M An | = |(x1 + x2 + · · · + xn )M I| • Bước Từ điều kiện cho suy IM có độ dài khơng đổi M thuộc đường trịn tâm I, bán kính số xác định # » # » ⊲ 9.22 Cho đoạn thẳng AB = 3a Tìm tập hợp điểm M cho |M A + 2M B| = Đáp số Tập hợp điểm M đường trịn tâm I, bán kính R = ⊲ 9.23 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho # » # » # » • |M A + M B + M C| = # » # » # » • |M A + 2M B + 3M C| = 12 Bài toán Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1 , A2 , , An tập hợp số thực x1 , x2 , , xn cho x1 + x2 + · · · + xn = Với điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều kiện # » # » # » # » x1 N A1 + x2 N A2 + · · · + xn N An = N M Tìm tập hợp điểm M • Bước Rút gọn biểu thức vế trái cách chọn điểm I cho # » # » # » #» x1 IA1 + x2 IA2 + · · · + xn IAn = Khi đó, điểm I xác định biểu thức vectơ rút gọn # » (x1 + x2 + · · · + xn )N M # » # » • Bước Đẳng thức chứng tỏ N I N M phương Từ đó, suy tập hợp điểm M • Chú ý xét thêm giới hạn điểm M (nếu có) # » ⊲ 9.24 Cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Với điểm N (d) ta dựng điểm M thoả N M = # » # » 2N A + 3N B Tìm tập hợp điểm M N thay đổi (d) ⊲ 9.25 Cho hai điểm A, B đường tròn (O; R) Với điểm N (O; R) ta dựng điểm M thoả # » # » # » N M = 2N A + 3N B Tìm tập hợp điểm M N thay đổi (d) ThuVienDeThi.com 9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng kết sau: # » • Nếu |OM | = | #» v | với O cố định, #» v khơng đổi, tập hợp điểm M đường trịn tâm O, bán kính #» | v | # » # » • Nếu |M A| = |M B| với A, B cố định, tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB # » • Nếu OM = k · #» a với O cố định, #» a không đổi, k ∈ R, tập hợp điểm M đường thẳng qua #» O song song với giá a # » # » • Nếu OM = k · OA, với A cố định, k ∈ R, tập hợp điểm M đường thẳng OA ⊲ 9.26 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M cho: # » # » # » M A + kM B = kM C (k ∈ R) # » # » # » #» M A + (1 − k)M B + (1 + k)M C = (k ∈ R) # » # » # » #» M A + (1 − k)M B + kM C = (k ∈ R) ⊲ 9.27 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M cho: # » # » # » # » |M A + M B| = |M B − M C|; # » # » # » # » # » |2M A + M B| = |M A + M B + M C|; # » # » # » # » # » # » |M A + M B − M C| = |2M A − M B − M C| # » # » # » # » |M A + M B| = k(M B − M C)| (k ∈ R) ⊲ 9.28 Cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Kẻ M D, M E, M F vng góc với cạnh BC, CA, AB # » # » # » 3# » Chứng minh M D + M E + M F = M O; # » # » # » Tìm tập hợp trọng tâm tam giác DEF M chuyển động cho |M D + M E + M F | có giá trị khơng đổi 10 Trục toạ độ Định nghĩa 10.1 Trục toạ độ đường thẳng mà ta chọn điểm làm gốc vectơ đơn vị #» #» Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc nhận vectơ i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu (O; i ) Hướng #» dương trục hướng vectơ i Hướng ngược lại hướng âm 11 11.1 Toạ độ vectơ trục - độ dài đại số vectơ Toạ độ vectơ trục # » #» #» Xét trục (O; i ) điểm M trục Nếu OM = k i , toạ độ điểm M k ThuVienDeThi.com 11.2 Độ dài đại số vectơ # » # » #» #» Cho hai điểm A, B trục toạ độ (O; i ), AB = k i , độ dài đại số vectơ AB, kí hiệu AB 12 Hệ trục toạ độ #» #» Định nghĩa 12.1 Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O; i ) (O; j ) vng góc với O Một hệ trục gọi hệ trục toạ độ vng góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy • Điểm O gọi gốc toạ độ • Trục Ox gọi trục hồnh • Trục Oy gọi trục tung • Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng toạ độ 13 Toạ độ vectơ 13.1 Toạ độ vectơ # » Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, tồn hai số thực x, y cho OM = # » # » # » #» #» x i + y j Bộ hai số thực (x; y) gọi toạ độ vectơ OM , kí hiệu OM = (x; y) hay OM (x; y) # » # » #» #» OM = (x; y) ⇔ OM = x i + y j #» #» • Toạ độ vectơ đơn vị i (1; 0), tức i = (1; 0); #» #» • Toạ độ vectơ đơn vị j (0; 1), tức j = (0; 1); #» • Toạ độ vectơ - không (0; 0), tức = (0; 0) # » #» #» Ví dụ 13.1 Nếu OM = −2 i + j , M ( ; # » #» Ví dụ 13.2 Nếu OM = i , M ( ; ) # » √ #» Ví dụ 13.3 Nếu OM = j , M ( ; ) √ # » #» Ví dụ 13.4 Nếu M (1; − 3), OM = i + 13.2 ) #» j Toạ độ điểm # » Định nghĩa 13.1 Toạ độ điểm M toạ độ vectơ OM 13.3 Các phép toán vectơ #» Cho vectơ #» a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) số k Ta có #» #» a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ); #» #» a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ); k #» a = (ka1 ; ka2 ) ThuVienDeThi.com  a = b , #» 1 #» a = b ⇔ a = b 2  b = ka #» 1 #» Cho #» a = , vectơ b phương với #» a tồn số thực k thoả mãn b = ka 13.4 Toạ độ vectơ biết toạ độ hai điểm # » Cho A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) AB = (xB − xA ; yB − yA ) # » AB = (xB − xA ; yB − yA ) 13.5 Toạ độ trung điểm đoạn thẳng Cho A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) Gọi I(xI ; yI ) trung điểm đoạn thẳng AB,  xI = xA + xB , y = y A + y B I 13.6 Toạ độ trọng tâm tam giác Cho tam giác ABC, A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) C(xC ; yC ) Gọi G(xG ; yG ) trọng tâm tam giác ABC, ta có  xI = xA + xB + xC , y = y A + y B + y C G #» = (4; 1) ⊲ 13.1 Cho #» u = (−1; 2), #» v = (−5; −3); m Tìm toạ độ vectơ #» s = #» u − #» v; #» #» + #» j; Tìm toạ độ vectơ t = 5m # » #» Cho điểm A(1; −3) Tìm toạ độ điểm M cho 3AM − #» v = # » #» #» #» ⊲ 13.2 Cho hình vng ABCD có cạnh Chọn hệ trục toạ độ (A; i , j ) cho i AD # » #» hướng, j AB hướng Tìm toạ độ đỉnh hình vng, toạ độ giao điểm I hai đường chéo hình vng, toạ độ trung điểm M cạnh BC toạ độ trung điểm N cạnh CD ⊲ 13.3 Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4; −1) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành ⊲ 13.4 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC ⊲ 13.5 Xét xem cặp vectơ sau có phương khơng? Trong trường hợp chúng phương, xét xem chúng hướng hay ngược hướng #» #» a = (2; 3) b = (−10; −15); #» u = (0; 7) #» v = (0; 8); 10 ThuVienDeThi.com #» #» c = (3; 4) d = (6; 9) ⊲ 13.6 Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ⊲ 13.7 Cho A(3; 4), B(2; 5) Tìm x để điểm C(−7; x) thuộc đường thẳng AB ⊲ 13.8 Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3) Chứng minh AB CD song song ⊲ 13.9 Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B ⊲ 13.10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9; −5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng; Tìm toạ độ điểm D cho A trung điểm đoạn BD; Tìm toạ độ điểm E trục Ox cho ba điểm A, B, E thẳng hàng ⊲ 13.11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC; Tìm toạ độ điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD; Tìm toạ độ điểm E cho tứ giác ABCE hình bình hành #» #» ⊲ 13.12 Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ toạ độ (O; i , j ), O trung điểm cạnh # » #» # » #» BC, i hướng với OC, j hướng với OA Tính toạ độ đỉnh tam giác ABC; Tìm toạ độ trung điểm E cạnh AC; Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Giá trị lượng giác góc từ 0◦ đến 180◦ 14 14.1 Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường trịn tâm O, bán kính R = 1, phía trục hồnh Ta gọi nửa đường trịn đơn vị 14.2 Định nghĩa Với góc α (0◦ α 180◦ ), ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho M Ox = α Giả sử điểm M có toạ độ (x; y) Khi đó, • tung độ y điểm M gọi sin góc α, kí hiệu sin α • tung độ x điểm M gọi cơsin góc α, kí hiệu cos α 11 ThuVienDeThi.com • Với x = 0, tỉ số y gọi tang góc α, kí hiệu tan α x tan α = • Với y = 0, tỉ số sin α , cos α α = 90◦ x gọi cơtang góc α, kí hiệu cot α y cot α = cos α , sin α α = 0◦ α = 180◦ Các số sin α, cos α, tan α cot α gọi giá trị lượng giác góc α ⊲ 14.1 Tính giá trị lượng giác góc 120◦ 14.3 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc phụ 1) sin(90◦ − α) = cos α; 2) cos(90◦ − α) = sin α; 3) tan(90◦ −α) = cot α; 4) cot(90◦ −α) = tan α ⊲ 14.2 Tính P = tan 5◦ · tan 10◦ · tan 15◦ · · · tan 80◦ · tan 85◦ 14.4 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù Nếu hai góc bù nhau, sin chúng cịn cơsin, tang cơtang chúng đối 1) sin(180◦ − α) = sin α; 2) cos(180◦ − α) = − cos α; 3) tan(180◦ − α) = − tan α 4) cot(180◦ − α) = − cot α với α = 90◦ ; với 0◦ < α < 180◦ ⊲ 14.3 Tính tổng S = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 140◦ + cos 160◦ + cos 180◦ ⊲ 14.4 Đơn giản biểu thức S1 = sin 100◦ + sin 80◦ + cos 16◦ + cos 164◦ S2 = sin(180◦ − α) · cot α − cos(180◦ − α) · tan α · cot(180◦ − α) với 0◦ < α < 90◦ ⊲ 14.5 Chứng minh hệ thức sau sin2 α + cos2 α = 1; + tan2 α = (α = 90◦ ); cos2 α + cot2 α = (0◦ < α < 180◦ ) sin2 α ⊲ 14.6 Cho α ∈ (90◦ ; 180◦ ) sin α = Tính giá trị cịn lại góc α 12 ThuVienDeThi.com ⊲ 14.7 Cho cos α = − Tính giá trị cịn lại góc α ⊲ 14.8 Cho tan α = Tính giá trị cịn lại góc α ⊲ 14.9 Biết tan a = Tính A = B = sin a + cos a ; sin a − cos a sin2 a + cos a · sin a + cos2 a + cos2 a ⊲ 14.10 Biết sin x + cos x = m Tính theo m sin x · cos x; sin4 x + cos4 x; sin6 x + cos6 x ⊲ 14.11 Cho tan x + cot x = k Tính tổng sau theo k: tan2 x + cot2 x; tan4 x + cot4 x; tan6 x + cot6 x 15 Tích vơ hướng hai vectơ 15.1 Góc hai vectơ #» # » #» Định nghĩa 15.1 Cho hai vectơ #» a b khác Từ điểm O đó, ta vẽ vectơ OA = #» a #» #» # » #» OB = b Khi đó, số đo góc AOB gọi số đo góc hai vectơ a b , đơn giản #» góc hai vectơ #» a b #» #» Góc hai vectơ #» a b kí hiệu ( #» a , b ) Chú ý • 0◦ #» ( #» a, b) 180◦ #» #» • Trong trường hợp có hai vectơ #» a b vectơ , góc hai vectơ tuỳ ý #» #» #» • Nếu ( #» a , b ) = 90◦ , ta nói hai vectơ #» a b vng góc với nhau, kí hiệu #» a ⊥ b 15.2 Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ #» #» Định nghĩa 15.2 Tích vơ hướng hai vectơ hai vectơ #» a b , kí hiệu #» a · b , số, xác định #» #» #» #» a · b = | #» a | · | b | · cos( #» a , b ) Từ định nghĩa trên, ta suy #» #» #» a · b = ⇔ #» a ⊥ b ⊲ 15.1 Cho tam giác ABC có cạnh a trọng tâm G Tính tích vơ hướng sau 13 ThuVienDeThi.com # » # » # » # » # » # » AB · AC; AC · CB; AG · AB # » # » # » # » # » # » GB · GC; BG · GA; GA · BC # » # » # » # » ⊲ 15.2 Cho tam giác ABC vng A có A = 60◦ Tính tích vơ hướng CA · CB; AB · BC √ √ # » # » ⊲ 15.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Biết AB = AC = Tính AB · AC # » # » ⊲ 15.4 Cho tam giác ABC vng C có AB = 9, CB = Tính AB · AC 15.3 Bình phương vơ hướng vectơ Định nghĩa 15.3 Với vectơ vô hướng vectơ vectơ #» a tuỳ ý, tích vơ hướng #» a · #» a kí kiệu ( #» a )2 hay #» a gọi bình phương #» a Ta có #» a = | #» a | · | #» a | · cos 0◦ = | #» a |2 Bình phương vơ hướng vectơ bình phương độ dài vectơ 15.4 Tính chất tích vơ hướng #» Với ba vectơ #» a , b , #» c tuỳ ý số thực k, ta có #» #» 1) #» a · b = b · #» a; #» #» #» 2) (k #» a ) · b = a · (k b ) = k( #» a · b ); #» #» 3) a · ( b + #» c ) = #» a · b + #» a · #» c; #» #» 4) a · ( b − #» c ) = #» a · b − #» a · #» c # » # » # » # » ⊲ 15.5 Cho hình vng ABCD có cạnh Tính giá trị biểu thức (AB + 2AD) · (3AB − CD) #» có độ dài 1, ( #» #» = 60◦ , ( w, #» #» ⊲ 15.6 Cho vectơ #» u , #» v, w u , #» v ) = 30◦ , ( #» v , w) u ) = 120◦ Tính #» P = ( #» u + #» v + w) √ #» #» #» ⊲ 15.7 Cho vectơ #» a , b có độ dài thoả mãn điều kiện | #» a + b | = Tính ( #» a , b ) ⊲ 15.8 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh AC + BD2 = 2(AB + AD2 ) ⊲ 15.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh AB + BC + CD2 + DA2 = AC + BD2 + 4M N ⊲ 15.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC ⊲ 15.11 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm tuỳ ý Chứng minh M A2 + M C = M B + M D ; # » # » # » # » M A · M C = M B · M D; # » # » # » # » M A2 + M B · M D = 2M A · M O (O tâm hình chữ nhật) 14 ThuVienDeThi.com ⊲ 15.12 Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5, A = 120◦ # » # » # » # » Tính tích vơ hướng AB · AC AB · BC; Tính độ dài đườn trung tuyến AM tam giác ⊲ 15.13 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Chứng minh với M điểm tuỳ ý, M A2 + M B + M C + M D số không đổi ⊲ 15.14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Chứng minh với M điểm tuỳ ý nằm đường trịn, tổng sau số không đổi M A2 + M B + M C ; M A4 + M B + M C ⊲ 15.15 Cho đa giác A1 A2 An nội tiếp đường tròn (O, R) điểm M thay đổi đường trịn Chứng minh cos M OA1 + cos M OA1 + · · · + cos M OAn = 0; M A21 + M A22 + · · · + M A2n có giá trị không đổi ⊲ 15.16 Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh # » # » # » # » # » # » BC · AD + CA · BE + AB · CF = ⊲ 15.17 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh # » # » # » # » # » # » DA · BC + DB · CA + DC · AB = Từ đó, suy cách chứng minh định lí “Ba đường cao tam giác đồng quy ” 15.5 Cơng thức hình chiếu # » # » Định lí 15.1 Cho hai vectơ OA, OB Gọi B ′ hình chiếu vng góc B đường thẳng OA Khi # » # » # » # » OA · OB = OA · OB ′ # » # » ⊲ 15.18 Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức AB · AM = k Hướng dẫn Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng AB Ta có k # » # » AB · AM = k ⇔ AH = AB Tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với AB H ⊲ 15.19 Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức AM −BM = k ⊲ 15.20 Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức AM +BM = k # » # » ⊲ 15.21 Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện M A· M B = k ⊲ 15.22 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức M A2 + M B = 2M C 15 ThuVienDeThi.com 15.6 Phương tích điểm đường tròn ⊲ 15.23 Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng ∆ thay đổi, qua M , cắt # » # » đường tròn (O; R) hai điểm A B Chứng minh M A · M B = M O2 − R2 # » # » Hướng dẫn Vẽ đường kính BC đường trịn (O; R), ta có M A hình chiếu M C đường thẳng M B Sau đó, dùng cơng thức hình chiếu # » # » Định nghĩa 15.4 Giá trị không đổi M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 Bài tốn gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu PM/(O) # » # » PM/(O) = M A · M B = M O2 − R2 = d2 − R2 Khi điểm M (O), M T tiếp tuyến (O) (T tiếp điểm), # » PM/(O) = M T = M T ⊲ 15.24 Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Chứng minh bốn điểm A, B, C, D # » # » # » # » nằm đường tròn M A · M B = M C · M D ⊲ 15.25 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ M điểm C ∆ (C khác M ) Chứng minh ∆ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M C = M A · M B 15.7 Biểu thức toạ độ tích vô hướng #» Cho hai vectơ #» a = (x1 ; y1 ) b = (x2 ; y2 ) Khi #» 1) #» a · b = x1 x2 + y1 y2 ; 2) | #» a| = x21 + y12 ; #» 3) cos( #» a, b) = x1 x2 + y y x21 + y12 x22 + y22 #» #» #» ( #» a = b = ) Hệ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách hai điểm M (xM ; yM ) M (xN ; yN ) # » M N = |M N | = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 ⊲ 15.26 Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5; −1) • Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác vng • Tính diện tích chu vi tam giác ABC • Tính độ dài đường trung tuyến tam giác ABC kẻ từ đỉnh A √ ⊲ 15.27 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) B(− 3; −1) Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (O gốc toạ độ) √ √ Đáp số H( 3; −1) I(− 3; 1) ⊲ 15.28 (D, 2004) Cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m = Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G √ Đáp số M (1; m/3); m = ±3 16 ThuVienDeThi.com ⊲ 15.29 Cho điểm N (2; −3) Tìm điểm M trục hồnh cho độ dài đoạn M N Đáp số M1 (6; 0) M2 (−2; 0) ⊲ 15.30 Cho điểm N (−8; −13) Tìm điểm M trục tung cho độ dài đoạn M N 17 Đáp số M1 (0; 28) M2 (0; −2) ⊲ 15.31 Cho điểm M (2; 2) N (5; −2) Tìm điểm P trục hồnh cho tam giác M P N vng P Đáp số P1 (1; 0) P2 (6; 0) ⊲ 15.32 Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn (C ), biết (C ) qua điểm A(4; 2) tiếp xúc với hai trục toạ độ Đáp số C1 (2; 2) R1 = 2; C1 (10; 10) R1 = 10 ⊲ 15.33 Cho hình vng ABCD với A(3; 0) C(−4; 1) Xác định toạ độ hai đỉnh B D Đáp số B(0; 4) D(−1; −3) ⊲ 15.34 Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9; −10), C(−5; 4) Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp số I(3; −2) R = 10 Xác định toạ độ trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành ⊲ 15.35 Xác định độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC biết A(3; −5), B(−3; 3), C(−1; −2) √ 14 Đáp số ⊲ 15.36 Xác định độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh B tam giác ABC biết A(3; −5), B(1; −3), C(2; −2) Đáp số ⊲ 15.37 Cho điểm A(7; −3) B(23; −6) Xác định toạ độ giao điểm C đường thẳng AB trục hoành Đáp số C(−9; 0) ⊲ 15.38 Cho điểm A(5; 2) B(−4; −7) Xác định toạ độ giao điểm C đường thẳng AB trục tung Đáp số C(0; −3) # » # » ⊲ 15.39 Cho hai điểm A, B số thực k Tìm tập hợp điểm M cho AM · BM = k Hướng dẫn Chọn A(0; 0), B(0; b) M (x; y) ⊲ 15.40 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh BC, AC Chứng minh AC > BC, AM > BN Hướng dẫn Chọn A(a; 0), B(b; 0) C(0; c) 17 ThuVienDeThi.com 16 Hệ thức lượng tam giác Trong mục này, với tam giác ABC, ta kí hiệu • AB = c, AC = b, BC = a; • ma , mb , mc đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C; • , hb , hc đường cao xuất phát từ A, B, C; • R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC; • r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC; • S diện tích tam giác ABC; • p= 16.1 AB + BC + CA nửa chu vi tam giác ABC Định lí cơsin tam giác Trong tam giác ABC, ta có • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; • b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; • c2 = a2 + b2 − 2ab cos A Hệ Trong tam giác ABC, ta có 16.2 • cos A = b2 + c2 − a2 ; 2bc • cos B = a2 + c2 − b2 ; 2ac • cos C = a2 + b2 − c2 2ab Định lí sin tam giác Định lí 16.1 Với tam giác ABC, ta có b c a = = = 2R sin A sin B sin C 16.3 Công thức trung tuyến Trong tam giác ABC, ta có • m2a = b2 + c2 a2 − ; • m2b = a2 + c2 b2 − ; • m2c = a2 + b2 c2 − 18 ThuVienDeThi.com 16.4 Diện tích tam giác Trong tam giác ABC, ta có 1 • S = aha = bhb = chc ; 2 1 • S = ab sin C = acb sin B = bc sin A; 2 • S= abc ; 4R • S = pr; • S= p(p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê - rơng) ⊲ 16.1 (Biết hai cạnh góc xen giữa) Cho tam giác ABC có b = 4, c = A = 60◦ Tính cạnh a, SABC , ma , , R r Đáp số a = 7, SABC √ √ √ 20 ,R= = 10 3, = ⊲ 16.2 (Biết hai cạnh góc khơng xen giữa) Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = C = 120◦ Tính cạnh BC, SABC , ma , , R r ⊲ 16.3 (Biết cạnh hai góc) Cho tam giác ABC có BC = 8, B = 60◦ C = 45◦ Tính cạnh góc cịn lại Tính SABC , mb , hb , R r ⊲ 16.4 (Biết ba cạnh) √ √ Cho tam giác ABC có a = 6, b = 2, c = + Tính góc tam giác Tính , R √ √ √ (1 + 3) ◦ ◦ ◦ Đáp số A = 60 , B = 45 , C = 75 , = , R = 2 √ ⊲ 16.5 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 13, độ dài cạnh BC = góc B = 60◦ Tính độ dài cạnh c R, r √ √ √ 21 3(5 − 7) Đáp số c = 4, R = ,r= 3 ⊲ 16.6 Tính góc A tam giác ABC, biết b(b2 − a2 ) = c(c2 − a2 ), b = c Đáp số A = 120◦ √ ⊲ 16.7 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = diện tích 3 Tìm cạnh BC Hướng dẫn • S = AB · AC · sin A Từ đó, tìm sin A • BC = AB + AC − 2AB · AC · cos A Đáp số BC = √ 13 BC = √ 37 ⊲ 16.8 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AC BD Chứng minh AB + BC + CD2 + DA2 = AC + BD2 + 4M N 19 ThuVienDeThi.com ⊲ 16.9 Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai đường chéo ⊲ 16.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh 1 GA2 + GB + GC = (a2 + b2 + c2 ) với điểm M , ta ln có M A2 + M B + M C = 3M G2 + GA2 + GB + GC ⊲ 16.11 Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B C vng góc với b2 + c2 = 5a2 3 ⊲ 16.12 Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết b2 + c2 = 15, = , sin A = Hướng dẫn 1 • S = aha = bc sin A ⇒ bc = a 2 • a2 = b2 + c2 − 2bc cos A Từ sin A = ⇒ cos A = ± 5 • Xét hai trường hợp cos A, với giả thiết suy a2 + 2a − 15 = ⇒ a = Có a, có bc b2 + c2 Từ tìm b c √ ⊲ 16.13 Tính diện tích tam giác ABC, biết b = 3, a + c = 3hb , A = 30◦ √ 2 Hướng dẫn c = 2hb , c = 2a, a = b + c − 2bc cos A Suy a = 3, b = 6, S = √ ⊲ 16.14 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A = 45◦ , B = 60◦ , hc = 2 Đáp số √ ⊲ 16.15 Chứng minh góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin B = sin A · cos C, tam giác cân ⊲ 16.16 Chứng minh cạnh góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện tam giác vng a c a + = , cos B cos C sin B · sin C ⊲ 16.17 Kí hiệu ℓa độ dài đường phân giác tam giác ABC kẻ từ đỉnh A Chứng minh a b+c 2c cos ℓa = ⊲ 16.18 Chứng minh a > b, ℓa > ℓb 17 17.1 Phương trình đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng #» Định nghĩa 17.1 Vectơ phương đường thẳng ∆ vector khác , có giá song song với ∆ trùng ∆ Nhận xét Một đường thẳng cho trước có vơ số vectơ phương vectơ phương phương với 20 ThuVienDeThi.com ... ngược lại hướng âm 11 11.1 Toạ độ vectơ trục - độ dài đại số vectơ Toạ độ vectơ trục # » #» #» Xét trục (O; i ) điểm M trục Nếu OM = k i , toạ độ điểm M k ThuVienDeThi.com 11. 2 Độ dài đại số... » #» #» #» ⊲ 13.2 Cho hình vng ABCD có cạnh Chọn hệ trục toạ độ (A; i , j ) cho i AD # » #» hướng, j AB hướng Tìm toạ độ đỉnh hình vng, toạ độ giao điểm I hai đường chéo hình vng, toạ độ trung... + GC ⊲ 15 .11 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm tuỳ ý Chứng minh M A2 + M C = M B + M D ; # » # » # » # » M A · M C = M B · M D; # » # » # » # » M A2 + M B · M D = 2M A · M O (O tâm hình chữ nhật)