phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011 Môn toán lớp 9; Thời gian lµm bµi 120 15 x 11 Bµi 1: Cho biÓu thøc: P x2 x 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn P x 2 1 x x x Bài 2: Giải phương trình sau: a) x x b) x x ( x 3) x Bài 3: Cho phương trình: x 2(m 1) x 2m (Trong m tham số ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biƯt x1 ; x tho¶ m·n ( x1 x ) b) Trong trêng hỵp phương trình có hai nghiệm phân biệt, hÃy tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với tham số m Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) I điểm cung AB (Cung AB không chứa C, D) Dây ID, IC cắt AB M N a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp b) Đường thẳng IC AD cắt E ; đường thẳng ID BC cắt F Chứng minh FE song song víi AB Bµi 5: Cho x, y tho¶ m·n: x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 P x y y x Lu ý: Học sinh không sử dụng loại máy tính bỏ túi - Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu thức: a A 1 với a > a (a 1) b Tính giá trị tổng B 1 1 1 1 99 100 Câu 2: (4điểm) Cho x x 2005 y y 2005 2005 a Chứng minh y y 2005 x x 2005 ; (2điểm) b Tính S = x + y (2điểm) Câu 3: (3điểm) Giải phương trình 2x x Câu 4: (3,5điểm) Tìm giá trị nhỏ A a2 b2 với a > 1, b > a 1 b 1 Câu 5: (4,5điểm) ThuVienDeThi.com Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến KA, KB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC Tiếp tuyến đường trịn (O) C cắt AB E Chứng minh rằng: Các tam giác KBC OBE đồng dạng kú thi chän häc sinh giái líp cÊp hun §Ị chÝnh thức đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Cõu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ số phương b Tìm số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + Câu 2: (4 điểm) a Tính giá trị biểu thức A = x5 x3 3x x với x x 11 x x 1 b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a Chứng minh rằng: a b c Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x x 12 x x x Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA PB với A B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC đường trịn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 -Hết- ThuVienDeThi.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) x 2 x x2 x Câu 1: (3 điểm) Cho A = x 1 x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x x x x 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2 ( x y )( x y ) 45 c) Giải hệ phương trình: ( x y )( x y ) 85 Câu : (4 điểm) a) Cho a b c , tính giá trị biểu thức: 1 P 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A n n số phương Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị khơng đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x 10 y 10 16 Q ( x y 16 ) (1 x y ) 2 y x Hết ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): 1 Chứng minh: x x x với x > 2 Từ đó, cho biết biểu thức có giá trị lớn bao nhiêu? Giá trị đạt x bao x x 1 nhiêu? Bài (3 điểm): ThuVienDeThi.com Một người từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người 700m thấy đến sân ga chậm 40 phút, quãng đường lại, người với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga Bài (4 điểm): a) Chứng minh với số ngun n n2 + n + khơng chia hết cho b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012 Bài (2 điểm): Giải phương trình: 1 x x 3 3x Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài BH = 4cm HC = 9cm Gọi T E hình chiếu H cạnh AB AC a) Tính độ dài TE b) Các đường thẳng vng góc với TE T E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH c) Tính diện tích tứ giác TENM Bài (3 điểm): = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác bốn góc A, B, C, D Cho hình bình hành ABCD có A cắt tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ? HẾT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Lớp: Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (3,0 điểm) Cho a,b,c > Chứng minh : a b 2 a) b a 1 1 1 1 1 1 b) a b c b c c a a b Bài 2: (3,0 điểm) x4 x 1 x Cho biểu thức A= : , với x 0, x x x x x x a) Rút gọn A b) Tìm x cho A < Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình x6 x 9 x x x x x 10 x 12 b) 17 15 13 11 a) ThuVienDeThi.com Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với số nguyên n Bài 6: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt cạnh AB điểm D đường trịn đường kính CH cắt cạnh AC điểm E Gọi I,J theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng BH, CH a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm đường tròn Xác định hình dạng tứ giác ADHE b,Chứng minh DE tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng DE? ®Ị thi chän häc sinh giái cÊp hun Môn : Toán lớp Năm học 2010-2011 ( Thời gian làm 150 phút ) Câu 1: ( 2,5 ®iĨm ) So s¸nh : 2008 2009 Cho biĨu thøc B 2009 vµ 2008 1 2008 2009 2010 Chøng minh r»ng B 86 Câu 2: (1,0 điểm ) Chứng minh biểu thức : P ( x x 1) 2010 có giá trị số tự nhiên víi x 10 ( 1) 62 Câu 3: ( 2,5 điểm ) Giải phương trình sau: x x Tìm số nguyên x, y tho¶ m·n y x x Câu 4: (3,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD I Chøng minh : 1 2 AM AK AB 2 BiÕt gãc MAN cã sè ®o b»ng 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm TÝnh diÖn tÝch tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP OQ OR nhá nhÊt Tìm giá trị nhỏ Câu 5: ( 1,0 ®iĨm ) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a, b, c vµ a b c Chøng minh r»ng: a b c ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 ThuVienDeThi.com MƠN TỐN – Thời gian làm 150 phút Bài 1: ( 3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho a, b > a + b = 2 1 1 Chứng minh : a b 12,5 a b Bài 4: ( 3,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : E x y y x Bài 5: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trung tuyến AD Gọi I, K trung điểm tương ứng MB, MC P, Q giao điểm tương ứng tia DI, DK với cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Bài 6: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC , CA AB tương ứng , hb , hc Gọi O điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC , CA AB tương ứng x , y z x y z Tính M hb hc ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN: TỐN - LỚP Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề 1 2x x 2x x x x : x 1 x 1 x x 1 x Cho biểu thức A Với x 0; x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 17 12 c) So sánh A với A Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: a) a b 2 b ; x 1 b c Biết a; b; c số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + = c + ; c >0 ThuVienDeThi.com b) Biểu thức B 20082 20082 2008 có giá trị số tự nhiên 20092 2009 Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x 3x x x x 2x b) 4x 3x x3 Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB đường kính đường trịn (O;R) C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B), kẻ CH vng góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh K trung điểm CH d) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Bài 5: (1,5 điểm) Cho M 3 2008 3 2008 a) Chứng minh M có giá trị nguyên b) Tìm chữ số tận M Chú ý: Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9 Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 phút Bài 1: Chứng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Bài 2: 1/ Cho S 1.2008 So s¸nh S víi 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1 2008 2009 2/ Cho a; b; c số thực thoả mÃn điều kiện: abc = 2008 Chứng minh r»ng: 2008a b c 1 ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c Bµi 3: Cho x = Tính giá trị P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 Bài 4: Giải phương trình: x 2009 x 2009 x x = 2009 Bµi 5: Cho 00 < < 900 Chøng minh r»ng: sin 2008 cos2009 Bµi 6: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: ThuVienDeThi.com 1 2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b ab bc ca Bài 7: Tìm tất đa thức P(x) thoả mÃn: P(x + 1) = P(x) + 2x + víi x R Bài 8: Cho ABC có ba cạnh a, b, c, cã chu vi lµ 2p vµ diƯn tÝch S; r bán kính đường tròn nội tiếp; bán kinh đường tròn bàng tiếp góc A cđa tam gi¸c Chøng minh: p(p – a) tg A =S Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB M chuyển động nửa đường tròn Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn Bài 10: Cho dÃy số a n xác định theo công thức: a1 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên tố p dÃy tổng tương ứng a n 3a n 1 2n 9n 9n 3; n = 2,3, a1 + a2 + ap – ®Ịu chia hÕt cho p - HÕt ®Ị kiểm tra chọn đội tuyển môn toán Năm học 2005-2006 Thời gian làm 90 phút Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để x số hữu tỷ ? Câu II x, y, z số thực dương thoả mÃn Câu III Giải phương trình: HÃy tìm giá trị nhỏ A = x + y + z x y z 81x4 + = 3 102 x 12 x C©u IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên a số nguyên lớn không vượt a, kí hiệu: a Tìm x thoả mÃn: 5x 15 x = Câu V Cho hình vuông ABCD, đường chéo AC lấy điểm M; I, Q trung điểm AM MC Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng cắt AB N, cắt CD K Chứng minh: IB.AK = DQ.CN Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau P= 2009 2008 2009 2008 ThuVienDeThi.com 2008 Q= 2014 20082 4016 2009 2005.2007.2010.2011 10a 3b ab 2a b 5b a Bµi 2: BiÕt Chøng minh r»ng: 3a b 3a b b a Bµi 3: Chøng minh r»ng víi < 450, ta cã sin2 = 2sin cos à Bài 4: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC a/ Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thước kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông 19b - a 19c3 - b 19a - c3 Bµi 5: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c2 ac + 5a HÕt đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008 Thời gian làm 120 phút Câu Tìm x, y N* cho: a) xy - 3x + y = 20; b) xy x y2 C©u Cho số dương a, b, c thỏa mÃn a + b + c = 6abc a) Chøng minh 1 6 a b2 c2 b) Tìm gía trị nhỏ biểu thức: a b c b c3 a C©u a) Tìm phần dư R(x) chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + cho ®a thøc Q(x) = x3 - x b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biÕt x 1,1 th× f (x) 3x 12x 16 4x 16x 25 x 4x µ > 900) B µC µ , H trung điểm BC Kẻ HD vuông góc với AC (D Câu Cho tam giác cân ABC ( A AC) Đường thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD O Chứng minh: a) Sin2 = sin cos C©u Giải phương trình: b) O trung điểm HD Phòng gd-đt đức thọ đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007 môn toán lớp Thời gian làm 120 phút Câu Rút gọn biểu thức: ( 1 y y 1 y y )( ) y y Câu 2.Tìm nghiệm nguyên phương trình: y 17 x Câu Cho đa thức: P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biÕt: ThuVienDeThi.com P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 a) Tìm P(6) ? b) Tìm hệ sè a, b, c, d, e cđa ®a thøc P(x) ? 1 C©u a) Chøng minh: (3x 3y)( ) Trong ®ã x > vµ y > x y 2x y a2 b2 b)Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: Q = b (a b ) a (a b ) Trong a b số thực khác không Câu Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đường cao AH, có cạnh AB = cm, đoạn HC = cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác ®Ịu ABD a) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC b) Chøng minh: CD = AC + BC 10 ThuVienDeThi.com ... x y z Tính M hb hc ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN: TỐN - LỚP Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009 Thời gian làm 120... 1 b2 1 c2 -Hết- ThuVienDeThi.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) x 2 x x2... ®Ị thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn : Toán lớp Năm học 2010- 2011 ( Thời gian làm 150 phút ) Câu 1: ( 2,5 điểm ) So s¸nh : 2008 2009 Cho biĨu thøc B 2009 vµ 2008 1 2008 2009 2010