Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 734745

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN Năm học 2016 - 2017 Bài 1: (2đ) Thực phép tính: a) A = ( 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1     2012 b) TÝnh P  2011 2010 2009     2011 Bài 2(2đ) : a) Chứng minh rằng: Nếu x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c Thì a b c   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z b) Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Bài 3: (2đ) Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 Bài : (3đ) Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 c) Tìm x, y biết : x  2011y  ( y  1)2012  Bài (2đ) a) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: 1   x y b) Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a  3a   5b a   5c Bài 6: (2đ) Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 Bài (3đ) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? Bài : (2đ) a) Cho m, n  N* p số nguyên tố thoả mãn: Chứng minh : p2 = n + b) Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: p mn = (1) m 1 p x 2011  2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  ThuVienDeThi.com HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … HƯỚNG DẪN chấm 2012 2010 1     2011 2011 2012 2012 1 1  2012     2011 = 2012(     ) 2011 2012 x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c HD : a) Từ      x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c a  (1)    x 2y z x  2y  z 2(a  2b  c) (2a  b  c) 4a  4b  c b (2)    2x y z 2x  y  z 4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c c (3)    4x 4y z 4x  y  z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy :   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z  MS   HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013  x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013  x 2011.2012 2.2013  2012.2013  x  2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ  x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 ( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008    2011 2010 2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012     2 2011 2010 2009 2008 1 1  ( x  2012)(    )  2 2011 2010 2009 2008 1 1  x  2 : (    )  2012 2011 2010 2009 2008  HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n =  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 2n    – 1) =   m  m  n 1 2   b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m  n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n =  n = , m = + Nếu m – n  2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT (2m -1)(2n suy TH không xẩy : n = , m = HD : ta có x  2011 y  với x,y (y – 1)2012  với y Suy : x  2011 y  ( y  1) 2012  với x,y Mà x  2011 y  ( y  1) 2012   x  2011 y     x  2011, y   y 1  ThuVienDeThi.com HD : a) Từ 1    x y  x5  y 5 ( x + y) = xy (*)  xy    + Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy  5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác ta có 5q  5  Z  q   Ư(5) , từ tìm y, x q 1 q 1 b) a  3a   5b  a2 ( a +3) = 5b – , mà a   5c  a2 5c = 5( 5b – – 1) 5b 1   a  c 1 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 5b – - khơng chia hết cho a không số nguyên.) Với c =  a = b = y HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2  với x , nên P(x)  2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ ta có tốn tổng quát : Tìm GTNN đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) b b b2 + ( )2 ) + ( c ) 2a 2a 4a b b 4ac  b 4ac  b 4ac  b = a( x  x =  ) ( ) , x Vậy Min P(x) = 2a 2a 4a 4a 4a * HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p  (m  1) p số nguyên tố m, n  N  m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n  N*  m – = p2 m + n =1  m = p2 +1 n = - p2 < (loại) HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x Vậy p2 = n + HD : Đặt A = x 2011  2012 x 2010  2012 x 2009  2012 x 2008   2012 x  2012 x  x 2010 ( x  2011)  x 2009 ( x  2011)  x 2008 ( x  2011)   x( x  2011)  x   x = 2012 A = 2011 - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân A  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ∆ HIK AHC  900 nên HC nên HA tia phân giác Do ฀ tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ...  với x,y Mà x  2011 y  ( y  1) 2012   x  2011 y     x  2011, y   y 1  ThuVienDeThi.com HD : a) Từ 1    x y  x5  y 5 ( x + y) = xy (*)  xy    + Với x chia hết cho ,