Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC.
Trang 1Trờng thcs nguyễn khắc viện
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi khối 8 lần 2
Năm học:2010-2011
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Rút gọn phân thức
1
1
2 2 2
2 2 2
+ +
−
−
+ +
+ +
=
x a a a
x
x a a a
x P
Câu 2: a)Cho biểu thức A= 3
3
2 1
2 2
x x
− − − − Hãy phân tích A thành tích b)Cho =1
+
+ +
+
c a
c
b c
b
0
2 2
2
= +
+ +
+
c a
c
b c b a
Câu 3: Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì
a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6
Câu 4: Cho x+y=2011.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P=x(x2+y)+y(y2+x)
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E Chứng minh rằng
a) EF//AB
b) AB2 = CD.EF
-Hết -Câu 2: (4 điểm)
a)Rút gọn P ta đợc kết quả cuối cùng:
P=
1
1
2
2 +
−
+
+
a a a a
Trang 2b) với mọi x thì
1
1
2
2
+
−
+ +
=
a a
a a
P ⇒ P không phụ thuộc vào x xét mẫu a2 - a + 1= (a - 1/2)2 + 3/4>0 vì (a - 1/2)2≥ 0 nên P có nghĩa với mọi x, mọi a
Câu 3: (4 điểm)
a) (2 điểm): Nhân cả 2 vế của = 1
+
+ +
+
c a
c
b c
b
sau đó rút gọn kết quả cuối cùng ta đợc :
0
2 2
2
= +
+ +
+
c a
c
b c
b a
c
c q
b
b p
a
a
=
=
=
2
1 2
1 2
ta có p + q + r = 0 (1)
và 1 + 1 +1 =1
r q
từ (2) ⇒ 12 + 12 + 12 + 2 + + = 1
pqr
r q p r
q p
Kết hợp với (1) ta có: 12 + 12 + 12 =1
r q p
1
2 1
2 1
2 2
2 2
2
+ +
+
+
c b a
c b a
Câu 5: (5 điểm)
a)(2,5 điểm)
∆AEB đồng dạng với ∆ KED (g.g)
⇒
KD
AB
EK
AE
=
∆ àB đồng dạng với ∆ CFI (g.g)
⇒ FC AB = AB CI
Mà KD = CI = CD – AB
FC
AF EK
AE
//
⇒
= (định lý đảo talét trong ∆ AKC
b)(2,5 điểm)
∆AEB đồng dạng với ∆ KED (CMT) ⇒
EB
DE AB
DK
=
Trang 3EB
EB
DE AB
AB
⇒
EB
DB AB
DC EB
DB AB
KC
DK
=
⇒
=
+
(1)
Bµi 2 Cho 3 sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho 3 th× a 3
+ b 3 + c 3 + 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 chia hÕt cho 6 (3 ®iÓm)
A = a + b + c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c
= a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho 6 => C 6 => B 6