THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐỀ THI OLYMPIC CẤP H UYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( 5,0 điểm) Cho biểu thức P a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P x 1 x2 x x2 : x2 x x x 1 x2 x 1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu ( điểm) a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 22, f(x) chia cho x thương 5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a 5a chia hết cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2012 x 2013 y 2014 Câu (3,0 điểm) a) Cho a b c abc , tính giá trị biểu thức: 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 thỏa mãn a 1; b Chứng minh : 1 2 ab 1 a 1 b P a) Cho số a b Câu : (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… ( Cán coi thi khơng giải thích thêm ) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Mơn thi: Tốn Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x ĐKXĐ : x x 1 a đ 0,5đ Khơng có đk x -1 trừ 0,25đ P x x 1 ( x 1)( x 1) x x2 : x( x 1) x( x 1) x 1 x( x 1) 0,5đ P x x 1 x x x : x( x 1) x 1 0,5đ P Câu 1( điểm) b đ Điểm x x 1 x 1 x x 1 x( x 1) x 1 x2 : x( x 1) x 12 x 1 x 1 1 x2 1 P P với x 1 2x2 x 2x2 x 1 2x2 x x 1 0,5đ x ĐKXĐ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 x 1x 1 x 0,25đ ( TM ĐKXĐ) 0,5đ Hoặc x = - ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) Vậy P P c đ 1 x 2 0,25đ x2 x x 1x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P x 1 0,25đ 1 x 1 2 x 1 x 1 Vì x > nên x 0,25đ > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho x 1 số dương x – ta có: x 1 x 1 2 x 1 ThuVienDeThi.com 2 x 1 x 1 0,25đ Dấu “ = “ xẩy x – = a đ x 1 ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).(5 x) ax+b Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: f ( x) ( x 4).(5 x) 3x+16 0.5đ 0.5đ a3 + a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25đ = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ Câu 2( điểm) * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho Vì (2;3) = nên (a-1)a(a+1) chia hết cho * 6a chia hết cho Vậy a3 + a chia hết cho x xy 2012 x 2013 y 2014 c 2đ 0.5đ f (2) 22 2a b 22 a f (2) 10 2a b 10 b 16 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) 5 x3 23x 16 b đ 0,25đ x xy x 2013 x 2013 y 2013 x( x y 1) 2013( x y 1) ( x 2013)( x y 1) x 2013 x y 1 x 2013 1 x y 1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ x 2014 y 2014 x 2012 y 2014 0,25đ ThuVienDeThi.com P 1 2 2 2 b c a a c b a b2 c2 1 2 2 2 b c (b c) a c (a c) a b (a b) 1 2bc 2ac 2ab abc 0 2abc a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 1 1 = 2 2 ab a ab b ab 1 a 1 b Câu 3(3,0 điểm) b = 0,25đ ab a ab b (1 a )(1 ab) (1 b )(1 ab) 0,25đ = a (b a )(1 b ) b(a b)(1 a ) (b a )(a ab b a b) = (1 a )(1 b )(1 ab) (1 a )(1 b )(1 ab) 0,25đ = (b a ) (ab 1) (1 a )(1 b )(1 ab) 0,5đ (b a ) (ab 1) 0 (1 a )(1 b )(1 ab) 1 1 0 2 2 ab ab 1 a 1 b 1 a 1 b Do a 1; b nên E A 0,25 B Hình vẽ 0,5đ O M H' Câu 4( điểm) H D C a đ N Xét ∆OEB ∆OMC 0,25đ Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC 0,5đ Và B1 C1 450 0,5đ BE = CM ( gt ) 0,25đ Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 0,25đ O OE = OM O 0,5đ O BOC Lại có O 900 tứ giác ABCD hình vng 0,25đ ThuVienDeThi.com b 2đ O EOM O 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O 0,5đ Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng AB = CD AB // CD 0,5đ 0,5đ AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD AE = BM thay vào (*) + AB // CD AB // CN Ta có : AM AE ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB Gọi H’ giao điểm OM BN ' E ( cặp góc so le trong) OH Từ ME // BN OME Mà OME 450 ∆OEM vng cân O ' B 450 C MH c 1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MH ' ,kết hợp OMB CMH ' ( hai góc đối đỉnh) OB MC ' C 450 ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH 0,25đ 0,25đ ' C BH ' M MH ' C 900 CH ' BN Vậy BH Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN – LẦN THỜI GIAN 150 PHÚT Bài 1: (4 điểm) x 1 5x 3x x Cho biểu thức A : 2 x x x x 4x a) Rút gọn A b) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên 2x Bài 2( 4điểm) a)Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x y ) ( x y ) b) Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình sau: 2x2 – x( 2y -1) = y + 12 Bài (4điểm): Cho phương trình: x a x x2 a x2 x2 1 a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có nghiệm ThuVienDeThi.com Bài : (6điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) AEF ~ CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC khơng đổi Bài (2đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Hết ThuVienDeThi.com Trường THCS Đa Lộc ĐỀ ƠN HỌC SINH GIỎI TỐN Câu 1: Cho phân thức: 3x x 1 x 1 B x x x x x 5x a) Rút gọn B b) Tìm giá trị lớn B Câu 2: m Cho biểu thức: P m 1 m 1 a) Rút gọn P b) Tính P m 2m m2 m : m m 2m 2015 2013 Câu a) Tìm số a, b, c cho : Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4) b) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Câu 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5 x x3 x 3x 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 2/ a,b,c cạch tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD , AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Câu 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x x 2015 A , ( x khác 0) 2015 x Bài (6đ): ThuVienDeThi.com Cho ∆ABC vng A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài 5(1 điểm) Chứng minh : Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = a2 + b2 + c2 Câu Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – đa thức dư suy a = ; b = - 16 Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = Bài 5(1 điểm) Chứng minh : a2 + b2 + c2 Bài (1điểm) 1 Ta có: a2 a2 a a2 a 2 4 Tương tự ta có: b2 b 4 ; c2 c Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 3 a b c Vì a b c nên: a b c 4 Dấu “=” xảy a = b = c = a2 b2 c2 Bài : a) ABE = ADF (c.g.c) AE = AF AEF vuông cân tại A nên AI EF IEG = IEK (g.c.g) IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vng góc nên hình EGFK hình thoi b) Ta có : KAF = ACF = 450 , góc F chung AKI ~ CAF (g.g) AF KF AF KF CF CF AF a) Tứ giác EGFK hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) Bài (1đ): A= 2007 x x.2007 2007 x x.2007 2007 2006 x = + 2007 x 2007 x 2007 x ThuVienDeThi.com ( x 2007) 2006 2006 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 = Câu 3: (4 điểm ) a)(1 điểm ) Gọi O giao điểm AC BD → AM //PO → tứ giác AMDB hình thang b) ( điểm ) Do AM// BD → góc OBA= góc MAE ( đồng vị ) Xét tam giác cân OAB → góc OBA= góc OAB Gọi I giao điểm MA EF → AEI cân I → góc IAE = góc IEA → góc FEA = góc OAB → EF //AC (1) Mặt khác IP đường trung bình MAC → IP // AC (2) Từ (1) (2) suy : E,F, P thẳng hàng c) (1 điểm ) Do MAF DBA ( g-g) → d) Nếu MF AD không đổi FA AB PD BD PB k → PD= 9k; PB = 16k PB 16 16 Do CP2=PB PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2 PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Từ ta chứng minh BC2= BP BD=16 Do : BC = cm CD = cm Tổ Toán ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG CUỐI Mơn: Tốn – Ngày thi: …./ / 2015 Thời gian : 90 phút Bài (3 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 A 2 : 2 y x y x y xy x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? ThuVienDeThi.com Bài (2 điểm): a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2015 y 2015 z 2015 32016 Bài (1 điểm): Chứng minh với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB b) Cho BMC 1200 S AED 36cm2 Tính SEBC? Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 0, y ) x2 y x y y x2 y x (với Bài (3 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 : 2 y xy x y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (2 điểm): ThuVienDeThi.com a) Giải phương trình : x 11 x 22 x 33 x 44 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2015 y 2015 z 2015 32016 Bài (3 điểm):Chứng minh với n N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB 1200 S AED 36cm Tính SEBC? b) Cho BMC c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x y x2 y 3 y x y x (với x 0, y ) Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ThuVienDeThi.com 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A (0,5đ) x y x + A = 2x x y y x y;y (x y 1)2 + A = 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x x y;y 1 x y, chẳng hạn: y + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x 11 x 22 x 33 x 44 a) 115 104 93 82 ( x 11 x 22 x 33 x 44 1) ( 1) ( 1) ( 1) 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 115 104 93 82 x 126 x 126 x 126 x 126 0 115 104 93 82 (1 điểm) (0,5 điểm) x 126 x 126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = điểm) (0,5 điểm) (0,75 x y y z z x xyz x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 ThuVienDeThi.com Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần Chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia HếT cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n 2.5 tức n – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) Bài 4: điểm E D A M Q B C P I H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) EB ED EA.EB ED.EC - Từ suy EC EA ECB * Chứng minh EAD (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ECB - Suy EAD 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm AMB = 60o ABM = 30o - Từ BMC = 120o - XÐt 0,5 điểm = 30o EDB vng Tại D có B ED = ED EB EB ThuVienDeThi.com 0,5 điểm S EAD ED - Lý luận cho Từ S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị khơng đổi 0,5 điểm 2 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) 0,5 điểm 0,5 điểm BDP DCQ CQ PD ma`BDP PDC 90o điểm Bài 5: (2 điểm) x y (*) x y 2xy y x (x y) (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) a) x, y dấu nên xy > 0, b) Đặt x y t y x x y2 t2 y x (0,25đ) Biểu thức cho trà thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t – ; t – > t t 1 P Đẳng thức xảy t = x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu x y t < t – < t – < y t t 1 > P > x (2) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ; y ln có P Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y ThuVienDeThi.com Hướng dẫn thu gọn Bài b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x y y z x y z x2009 = y2009 = z2009 z x Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = Vậy x = y = z = Bài n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) Bài 4: *a/ Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) E EB ED EA.EB ED.EC EC EA D - Từ suy Q ECB * Chứng minh EAD (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) A M B C P I H ECB - Suy EAD AMB = 60o ABM = b/ Từ BMC = 120o 30o - XÐt = 30o EDB vng Tại D có B ThuVienDeThi.com ED = ED EB EB 2 S EAD ED - Lý luận cho Từ S ECB EB SECB = 144 cm2 x2 y2 x y Bài 5: b) Đặt t t ;P = t2 – 3t + y x y x P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t – ; t – > t t 1 P Đẳng thức xảy t = x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu x y t < t – < t – < y t t 1 > P > x (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ; y ln có P Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y ThuVienDeThi.com ... CH ' BN Vậy BH Mà CH BN ( H BN) H H? ?? hay điểm O, M, H thẳng h? ?ng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : H? ??c sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ĐỀ THI H? ??C SINH GIỎI TOÁN – LẦN THỜI GIAN 150 PHÚT.. .H? ?ỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Năm h? ??c: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x ĐKXĐ : x x 1 a đ 0,5đ Không có... Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng h? ?ng c)Chứng minh tỉ số cạnh h? ?nh chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Câu 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x x 2015 A , ( x khác 0) 2015
Ngày đăng: 30/03/2022, 15:14
Xem thêm: