Đề thi olympic cấp h uyện năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán 834715

ĐỀ THI OLYMPIC CẤP H UYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( 5,0 điểm) Cho biểu thức P a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P   x 1 x2  x  x2    :   x2  x   x x 1 x2  x  1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu ( điểm) a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 22, f(x) chia cho x  thương 5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a  5a chia hết cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2012 x  2013 y  2014  Câu (3,0 điểm) a) Cho a  b  c  abc  , tính giá trị biểu thức: 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 thỏa mãn a  1; b  Chứng minh : 1   2  ab 1 a 1 b P a) Cho số a b Câu : (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… ( Cán coi thi khơng giải thích thêm ) ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Mơn thi: Tốn Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Khơng có đk x  -1 trừ 0,25đ P x x  1  ( x  1)( x  1) x  x2  :     x( x  1) x( x  1)  x  1  x( x  1) 0,5đ P x x  1 x   x   x : x( x  1) x  1 0,5đ P Câu 1( điểm) b đ Điểm x x  1 x  1 x x  1 x( x  1) x 1 x2 :    x( x  1) x  12 x 1 x 1 1 x2 1 P   P với x 1  2x2   x   2x2  x 1   2x2  x  x 1  0,5đ x  ĐKXĐ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ  2 x  1x  1  x 0,25đ ( TM ĐKXĐ) 0,5đ Hoặc x = - ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) Vậy P  P c đ 1 x 2 0,25đ x2 x   x  1x  1  1    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P  x 1 0,25đ 1  x 1  2 x 1 x 1 Vì x > nên x   0,25đ > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho x 1 số dương x – ta có: x 1 x 1 2 x 1 ThuVienDeThi.com 2 x  1 x 1 0,25đ Dấu “ = “ xẩy x – =     a đ x 1 ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  3x+16 0.5đ 0.5đ a3 + a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25đ = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ Câu 2( điểm) * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho Vì (2;3) = nên (a-1)a(a+1) chia hết cho * 6a chia hết cho Vậy a3 + a chia hết cho x  xy  2012 x  2013 y  2014  c 2đ 0.5đ  f (2)  22 2a  b  22 a      f (2)  10 2a  b  10 b  16 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x3  23x  16 b đ 0,25đ  x  xy  x  2013 x  2013 y  2013   x( x  y  1)  2013( x  y  1)   ( x  2013)( x  y  1)    x  2013   x  y 1      x  2013  1    x  y   1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ   x  2014   y  2014    x  2012    y  2014 0,25đ ThuVienDeThi.com P 1  2 2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 1  2  2 2 b  c  (b  c) a  c  (a  c) a  b  (a  b) 1    2bc 2ac 2ab abc  0 2abc  a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 1   1    =      2 2  ab   a  ab    b  ab  1 a 1 b Câu 3(3,0 điểm) b = 0,25đ ab  a ab  b  (1  a )(1  ab) (1  b )(1  ab) 0,25đ = a (b  a )(1  b )  b(a  b)(1  a ) (b  a )(a  ab  b  a b) = (1  a )(1  b )(1  ab) (1  a )(1  b )(1  ab) 0,25đ = (b  a ) (ab  1) (1  a )(1  b )(1  ab) 0,5đ (b  a ) (ab  1) 0 (1  a )(1  b )(1  ab) 1 1     0  2 2  ab  ab 1 a 1 b 1 a 1 b Do a  1; b  nên E A  0,25 B Hình vẽ 0,5đ O M H' Câu 4( điểm) H D C a đ N Xét ∆OEB ∆OMC 0,25đ Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC 0,5đ Và B฀1  C฀1  450 0,5đ BE = CM ( gt ) 0,25đ Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 0,25đ ฀ O ฀  OE = OM O 0,5đ ฀ O ฀  BOC ฀ Lại có O  900 tứ giác ABCD hình vng 0,25đ ThuVienDeThi.com b 2đ ฀ O ฀  EOM ฀ O  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O 0,5đ Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD 0,5đ 0,5đ AM BM  ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) + AB // CD  AB // CN  Ta có : AM AE   ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB Gọi H’ giao điểm OM BN ฀ ฀ ' E ( cặp góc so le trong)  OH Từ ME // BN  OME ฀ Mà OME  450 ∆OEM vng cân O ฀ ' B  450  C ฀  MH c 1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ  ∆OMC ฀ ∆BMH’ (g.g) OM MH ' ฀ ฀ ,kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh)  OB MC ฀ ฀ ' C  450  ∆OMB ฀ ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH  0,25đ 0,25đ ฀ ' C  BH ฀ ' M  MH ฀ ' C  900  CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN – LẦN THỜI GIAN 150 PHÚT Bài 1: (4 điểm) x 1 5x  3x  x  Cho biểu thức A     : 2   x  x   x  x  4x  a) Rút gọn A b) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên 2x Bài 2( 4điểm) a)Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x  y )  ( x  y )  b) Tìm cặp giá trị (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình sau: 2x2 – x( 2y -1) = y + 12 Bài (4điểm): Cho phương trình: x  a x  x2  a   x2 x2 1 a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có nghiệm ThuVienDeThi.com Bài : (6điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b)  AEF ~  CAF AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC khơng đổi Bài (2đ): Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Hết ThuVienDeThi.com Trường THCS Đa Lộc ĐỀ ƠN HỌC SINH GIỎI TỐN Câu 1: Cho phân thức:  3x   x 1 x 1    B    x  x  x  x   x  5x  a) Rút gọn B b) Tìm giá trị lớn B Câu 2:  m Cho biểu thức: P     m 1 m 1 a) Rút gọn P b) Tính P m  2m  m2  m    : m   m  2m  2015 2013 Câu a) Tìm số a, b, c cho : Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4) b) Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Câu 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x5  x  x3  x  3x  1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 2/ a,b,c cạch tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2 Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD TRên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD , AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Câu 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  x  2015 A , ( x khác 0) 2015 x Bài (6đ): ThuVienDeThi.com Cho ∆ABC vng A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài 5(1 điểm) Chứng minh : Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = a2 + b2 + c2  Câu Chia đa thức x4 + ax + b cho x2 – đa thức dư suy a = ; b = - 16 Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = Bài 5(1 điểm) Chứng minh : a2 + b2 + c2  Bài (1điểm) 1 Ta có:  a2     a2  a    a2   a 2 4  Tương tự ta có: b2   b 4 ; c2   c Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta được: 3  a  b  c Vì a  b  c  nên: a  b  c  4 Dấu “=” xảy a = b = c = a2  b2  c2  Bài : a)  ABE =  ADF (c.g.c)  AE = AF  AEF vuông cân tại A nên AI  EF  IEG =  IEK (g.c.g)  IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vng góc nên hình EGFK hình thoi b) Ta có : KAF = ACF = 450 , góc F chung  AKI ~  CAF (g.g)  AF KF   AF  KF CF CF AF a) Tứ giác EGFK hình thoi  KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam giác EKC KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) Bài (1đ): A= 2007 x  x.2007  2007 x  x.2007  2007 2006 x = + 2007 x 2007 x 2007 x ThuVienDeThi.com ( x  2007) 2006 2006   2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 = Câu 3: (4 điểm ) a)(1 điểm ) Gọi O giao điểm AC BD → AM //PO → tứ giác AMDB hình thang b) ( điểm ) Do AM// BD → góc OBA= góc MAE ( đồng vị ) Xét tam giác cân OAB → góc OBA= góc OAB Gọi I giao điểm MA EF →  AEI cân I → góc IAE = góc IEA → góc FEA = góc OAB → EF //AC (1) Mặt khác IP đường trung bình  MAC → IP // AC (2) Từ (1) (2) suy : E,F, P thẳng hàng c) (1 điểm ) Do  MAF   DBA ( g-g) → d) Nếu MF AD  không đổi FA AB PD BD PB     k → PD= 9k; PB = 16k PB 16 16 Do CP2=PB PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2 PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Từ ta chứng minh BC2= BP BD=16 Do : BC = cm CD = cm Tổ Toán ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG CUỐI Mơn: Tốn – Ngày thi: …./ / 2015 Thời gian : 90 phút Bài (3 điểm): Cho biểu thức  4xy  1 A  2 :  2   y x  y x y  xy  x  a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? ThuVienDeThi.com Bài (2 điểm): a) Giải phương trình : x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2015  y 2015  z 2015  32016 Bài (1 điểm): Chứng minh với n  N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC ฀EAD  ฀ECB b) Cho ฀BMC  1200 S AED  36cm2 Tính SEBC? Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y   (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x  0, y  ) x2 y  x y        y x2  y x (với Bài (3 điểm): Cho biểu thức A 4xy y  x2    :   2  y  xy  x  y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (2 điểm): ThuVienDeThi.com a) Giải phương trình : x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2015  y 2015  z 2015  32016 Bài (3 điểm):Chứng minh với n  N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E ฀ ฀ a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD  ECB ฀  1200 S AED  36cm Tính SEBC? b) Cho BMC c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH  BC H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y   (với x y dấu) y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x2 y   3    y x  y x (với x  0, y  ) Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x   y; y  (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y =  2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ThuVienDeThi.com  2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + =  A + (x – y + 1)2 =  A = – (x – y + 1)2  (do (x – y + 1)  (với x ; y)  A  (0,5đ)  x  y   x    + A = 2x x  y     y   x   y;y   (x  y  1)2   + A = 2x x  y   Từ đó, cần cặp giá trị x  x   y;y   1 x   y, chẳng hạn:  y    + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x  11 x  22 x  33 x  44 a)    115 104 93 82 (  x  11 x  22 x  33 x  44 1)  (  1)  (  1)  (  1) 115 104 93 82 x  126 x  126 x  126 x  126    115 104 93 82 x  126 x  126 x  126 x  126     0 115 104 93 82 (1 điểm) (0,5 điểm)   x  126   x  126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx =  (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = điểm) (0,5 điểm) (0,75 x  y    y  z  z  x   xyz  x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010  z2009 = 32009  z =3 ThuVienDeThi.com Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần Chứng minh: n5 – n  10 - Chứng minh : n5 - n  n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)  (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n  n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia HếT cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n  2.5 tức n – n  10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) Bài 4: điểm E D A M Q B C P I H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (gg) EB ED   EA.EB  ED.EC - Từ suy EC EA ฀ ฀  ECB * Chứng minh EAD (1 điểm) - Chứng minh  EAD đồng dạng với  ECB (cgc) ฀ ฀  ECB - Suy EAD 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm ฀ AMB = 60o  ฀ABM = 30o - Từ BMC = 120o  ฀ - XÐt 0,5 điểm ฀ = 30o  EDB vng Tại D có B  ED = ED  EB  EB ThuVienDeThi.com 0,5 điểm S EAD  ED   - Lý luận cho  Từ S ECB  EB   SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh  BMI đồng dạng với  BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị khơng đổi 0,5 điểm 2 Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB + AC = BC Câu d: điểm - Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (gg) BH BD BP BD BP BD       DH DC DQ DC DQ DC - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (cgc) 0,5 điểm 0,5 điểm ฀ ฀   BDP  DCQ   CQ  PD ฀ ฀ ma`BDP  PDC  90o  điểm Bài 5: (2 điểm) x y   (*)  x  y  2xy y x  (x  y)  (**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) a) x, y dấu nên xy > 0, b) Đặt x  y  t y x x y2    t2  y x (0,25đ) Biểu thức cho trà thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t   t –  ; t – >  t  t  1   P  Đẳng thức xảy t =  x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu x  y   t <  t – < t – < y  t  t  1 >  P > x (2) - Từ (1) (2) suy ra: Với x  ; y  ln có P  Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y ThuVienDeThi.com Hướng dẫn thu gọn Bài b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx =  (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = x  y    y  z   x  y  z  x2009 = y2009 = z2009 z  x   Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010  z2009 = 32009  z = Vậy x = y = z = Bài n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) Bài 4: *a/ Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (gg) E EB ED   EA.EB  ED.EC EC EA D - Từ suy Q ฀ ฀  ECB * Chứng minh EAD (1 điểm) - Chứng minh  EAD đồng dạng với  ECB (cgc) A M B C P I H ฀ ฀  ECB - Suy EAD ฀ AMB = 60o  ฀ABM = b/ Từ BMC = 120o  ฀ 30o - XÐt ฀ = 30o  EDB vng Tại D có B ThuVienDeThi.com  ED = ED  EB  EB 2 S EAD  ED   - Lý luận cho  Từ S ECB  EB   SECB = 144 cm2 x2 y2 x y Bài 5: b) Đặt   t    t  ;P = t2 – 3t + y x y x P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t   t –  ; t – >  t  t  1   P  Đẳng thức xảy t =  x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu x  y   t <  t – < t – < y  t  t  1 >  P > x (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x  ; y  ln có P  Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y ThuVienDeThi.com ...  CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H  BN)  H  H? ?? hay điểm O, M, H thẳng h? ?ng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : H? ??c sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ĐỀ THI H? ??C SINH GIỎI TOÁN – LẦN THỜI GIAN 150 PHÚT.. .H? ?ỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Năm h? ??c: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Không có... Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng h? ?ng c)Chứng minh tỉ số cạnh h? ?nh chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P Câu 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  x  2015 A , ( x khác 0) 2015