Đề thi học sinh giỏi cấp h uyện năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán 843422

PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP H UYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 tháng năm 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Cho biểu thức Câu ( 5,0 điểm) P a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P   x 1 x2  x  x2    :   x2  x   x x 1 x2  x  1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu ( điểm) a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 22, f(x) chia cho x  thương 5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a  5a chia hết cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2012 x  2013 y  2014  Câu (3,0 điểm) a) Cho a  b  c  abc  , tính giá trị biểu thức: 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 thỏa mãn a  1; b  Chứng minh : 1   2  ab 1 a 1 b P a) Cho số a b Câu : (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… ( Cán coi thi khơng giải thích thêm ) Phịng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Mơn thi: Tốn Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Khơng có đk x  -1 trừ 0,25đ P x x  1  ( x  1)( x  1) x  x2  :     x( x  1) x( x  1)  x  1  x( x  1) x x  1 x   x   x P : x( x  1) x  1 P x x  1 x  1 Câu 1( điểm) 1 x2 1   P với x 1  2x2   x   2x2  x 1   2x2  x  x 1  b đ x  ĐKXĐ  2 x  1x  1  x Hoặc x = - ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) 1 x 2 P  x 1 1  x 1  2 x 1 x 1 Vì x > nên x   0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ x2 x   x  1x  1  1    x 1 P x 1 x 1 x 1 x 1 c đ 0,5đ 0,25đ ( TM ĐKXĐ) Vậy P  0,5đ 0,5đ x x  1 x( x  1) x 1 x2 :    x( x  1) x  12 x 1 x 1 P Điểm > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho x 1 Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ số dương x – ta có: x 1 Dấu “ = “ xẩy x – =     a đ x 1 2 x 1 x  1 2 x 1 x 1 ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  3x+16 0.5đ 0.5đ Câu 2( điểm) a3 + a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25đ = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho * (a-1)a(a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho Vì (2;3) = nên (a-1)a(a+1) chia hết cho * 6a chia hết cho Vậy a3 + a chia hết cho x  xy  2012 x  2013 y  2014  c 2đ 0.5đ  f (2)  22 2a  b  22 a      f (2)  10 2a  b  10 b  16 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x3  23x  16 b đ 0,25đ  x  xy  x  2013 x  2013 y  2013   x( x  y  1)  2013( x  y  1)   ( x  2013)( x  y  1)    x  2013   x  y 1      x  2013  1    x  y   1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 1,0đ 0,25đ Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa ThuVienDeThi.com   x  2014   y  2014    x  2012    y  2014 P 0,25đ 1  2 2 2 b c a a  c  b a  b2  c2 1  2  2 2 b  c  (b  c) a  c  (a  c) a  b  (a  b) 1    2bc 2ac 2ab abc  0 2abc  a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1   1  1 =        2 2  ab    b  ab   ab   a 1 a 1 b Câu 3(3,0 điểm) b = 0,25đ ab  a ab  b  (1  a )(1  ab) (1  b )(1  ab) 0,25đ a (b  a )(1  b )  b(a  b)(1  a ) (b  a )(a  ab  b  a b) = = (1  a )(1  b )(1  ab) (1  a )(1  b )(1  ab) = 0,25đ (b  a ) (ab  1) (1  a )(1  b )(1  ab) 0,5đ (b  a ) (ab  1) 0 (1  a )(1  b )(1  ab) 1 1     0  2 2  ab  ab 1 a 1 b 1 a 1 b Do a  1; b  nên E A  0,25 B Hình vẽ 0,5đ Câu 4( điểm) O M H' H D C a N Xét ∆OEB ∆OMC 0,25đ Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC 0,5đ Phịng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa ThuVienDeThi.com đ b 2đ Và B฀1  C฀1  450 0,5đ BE = CM ( gt ) 0,25đ Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 0,25đ ฀ O ฀  OE = OM O 0,5đ ฀ O ฀  BOC ฀ Lại có O  900 tứ giác ABCD hình vng 0,25đ ฀ O ฀  EOM ฀ O  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O 0,5đ Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD 0,5đ 0,5đ AM BM + AB // CD  AB // CN  ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE   ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB Gọi H’ giao điểm OM BN ฀ ฀ ' E ( cặp góc so le trong)  OH Từ ME // BN  OME ฀ Mà OME  450 ∆OEM vng cân O ฀ ' B  450  C ฀  MH c 1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ  ∆OMC ฀ ∆BMH’ (g.g) OM MH ' ฀ ฀  ,kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh) OB MC ฀ ฀ ' C  450  ∆OMB ฀ ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH  0,25đ 0,25đ ฀ ' C  BH ฀ ' M  MH ฀ ' C  900  CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Phịng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa ThuVienDeThi.com ... CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H  BN)  H  H? ?? hay điểm O, M, H thẳng h? ?ng 0,25đ ( đpcm) Lưu ý : H? ??c sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh h? ?a ThuVienDeThi.com.. .H? ?ỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Mơn thi: Tốn Năm h? ??c: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Khơng có đk x ...  nên E A  0,25 B H? ?nh vẽ 0,5đ Câu 4( điểm) O M H' H D C a N Xét ∆OEB ∆OMC 0,25đ Vì ABCD h? ?nh vng nên ta có OB = OC 0,5đ Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh h? ?a ThuVienDeThi.com đ b 2đ Và B฀1