Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
420,12 KB
Nội dung
Tuy✥♥ ậ♣ ✁✬ ✮✂n❣ ✄✱❝ Tr✴♥ ☎✶ Tù♥❣ III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) ≤ (a + c )(b + d ) Chứng minh: sinx + cos x ≤ Cho 3a – 4b = Cho 2a – 3b = Cho 3a – 5b = Cho a + b = Cho a + b ≥ PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN BĐT Bunhiacopxki I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Chứng minh: 3a + 4b ≥ 725 2 Chứng minh: 3a + 5b ≥ 47 2464 2 Chứng minh: 7a + 11b ≥ 137 4 Chứng minh: a + b ≥ Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2 Chứng minh: a+b ≤ a3 + b3 a + b ≥ a2 + b2 a + b a3 + b3 ≥ 2 a b Cho a, b > Chứng minh: + ≥ a+ b b a 1 Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ 2 1+ ab 1+ a 1+ b Cho a + b ≥ chứng minh: I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ≥ ( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e) Chứng minh: x2 + y + z2 ≥ xy + yz + zx a Chứng minh: a+ b+ c ≥ b Chứng minh: a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ 3 Cho a, b > chứng minh: a3 + b3 a + b ≥ (*) 3 a +b a + b − ≥ ⇔ ( a + b)( a − b) ≥ ĐPCM a+b a2 + b2 (ô) 2 ữ a + b ≤ , («) ln Chứng minh: ( a − b)2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 − ≤0 ⇔ ≥ , ÷ a + b > , («) ⇔ 4 Vậy: a+b ≤ 2 10 Chứng minh: a +b 2 a2 + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc 12 Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz 13 Chứng minh: x + y4 + z2 + ≥ 2xy(xy − x + z + 1) 3 ( a + b)3 a3 + b3 a +b ≤ ⇔ ⇔ ( b − a ) ( a2 − b2 ) ≤ ⇔ −3 ( b − a ) ( a + b) ≤ , ĐPCM a b Cho a, b > Chứng minh: + ≥ a + b («) b a («) ⇔ a a + b b ≥ a b + b a ⇔ ( a − b) a − ( a − b) b ≥ 15 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2 a ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca) b abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 4 c 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 14 Chứng minh: Nếu a + b ≥ thì: a3 + b3 ≥ ⇔ ( a − b) ( a − b ) ≥ ⇔ ab + bc + ca ; a,b,c ≥ 11 Chứng minh: a2 + b2 + ≥ ab + a + b a+b Cho a + b ≥ chứng minh: ≥ Cho a, b > chứng minh: Lời giải: (*) ⇔ 3 Tuyển tập Bất ✮✂ng th✱c Tr✴♥ ☎✶ Tùn❣ ( a − b ) ( a + b ) ≥ , ĐPCM 1 Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ («) 2 1+ ab 1+ a 1+ b DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a,b,c ≥ Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ (1+ abc ) với a , b , c ≥ m Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 + + ≤ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: với a , b , c , d ≥ (Côsi s✧✆ a a + b + c + d ≥ 44 abcd Trần Sĩ Tùng b m b a + Cho a, b > Chứng minh: 1+ + 1+ ≥ 2m + , với m ∈ Z b a bc ca ab + + ≥ a + b + c ; a,b,c ≥ Chứng minh: a b c Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ≥ 6abc a b c 1 1 1 10 Cho a , b > Chứng minh: + + ≤ + + 2 2 a b c a +b b +c a +c 11 Cho a , b ≥ , chứng minh: ab ≥ a b − + b a − 12 Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 29 Cho y = 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c 14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc 1 c) 1+ 1+ 1+ ≥ 64 a b c x+ ≥3 15 Cho x > y > Chứng minh: ( x − y) y 16 Chứng minh: x2 + b) x+8 x −1 ≥ , ∀x > bc + b ac + c 31 32 33 34 c) a2 + a2 + (Côs✝ ✞ số ✆ ab ; a , b , c > x3 + x2 , x > Định x để y đạt GTNN x + 4x + , x > x Tìm GTNN f(x) = x2 + , x > x Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) , ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN 2 x Định x để y đạt GTLN Cho y = x +2 30 Tìm GTNN f(x) = 35 ≥4 36 ab bc ca a+b+ c 17 Chứng minh: + + ≤ ; a, b, c > a+ b b+ c c+ a x2 23 Chứng minh: a + b + c ≥ abc x 18 24 Cho y = + , x > Định x để y đạt GTNN x x ,x > Định x để y đạt GTNN 25 Cho y = + x −1 3x 26 Cho y = + , x > −1 Định x để y đạt GTNN x +1 x 27 Cho y = + ,x > Định x để y đạt GTNN 2x − x + , < x < Định x để y đạt GTNN 28 Cho y = 1− x x ≥ ,∀x ∈ R với a , b , c ≥ , 3 x6 + y9 ≥ 3x2 y3 − 16 ; x,y ≥ ≥ 3a2 − Chứng minh: 2a4 + 1+ a ,a>0 Chứng minh: a1995 > 1995 ( a − 1) x2 + 22 Chứng minh: a + b + c ≥ a Chứng minh: a) a + b + c ≥ 33 abc 37 y2 , ∀x , y ∈ R 18 Chứng minh: + ≤ 4 1+ 16x 1+ 16y 38 Cho y = a b c + + ≥ ;a,b,c>0 19 Chứng minh: b+c a+c a+b 2 x2 ( x + )3 Định x để y đạt GTLN DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Chứng minh: 2a4 + Trần Sĩ Tùng 1+ a («) ⇔ a4 + a4 + a2 + 1+ ≥ 3a2 − («) 1+ a ⇔ ≥ 4a2 1+ a ≥ 44 a4 a4 ( a2 + 1) Chứng minh: a1995 > 1995 ( a − 1) («) 1+ a 1+ a ⇔ = 4a2 ÷ ,a>0 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 114243 + 1+ + ≥ 1995 a = 1995a Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ≥ 6abc ab ≥ 2b a − , ab ≥ 2a b − Tương tự: y ≥ 4( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ; z≥4 b−a a b − ≥0 1+ ab 1+ a2 1+ b2 ≥0 ⇔ ( b − a ) ( ab − 1) b − a a + ab2 − b − ba2 ⇔ ≥ ≥ , ĐPCM 1+ ab (1+ a2 )(1+ b2 ) (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) Vì : a ≥ b ≥ ⇒ ab ≥ ⇔ ab – ≥ a2 a2 a2 a2 − ab + b2 + − ac + c2 + − ad + d2 + − ae + e2 ≥ 4 4 2 Chứng minh: x2 + y + z2 ≥ xy + yz + zx ( x − y )2 + ( x − z )2 + ( y − z )2 ≥ a Chứng minh: ÷ a+ b+ c ≥ ab + bc + ca ; a,b,c ≥ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca a+ b+ c ≥ ÷ = ⇔ a+ b+ c ≥ b Chứng minh: ÷ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ 3 ( a2 + b2 + c ) = a2 + b2 + c2 + ( a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) ( y − 1) ( z − 1) 4( (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e) ⇔ ° ab ≥ a b − + b a − 12 Cho x, y, z > x + y + z = C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° x = ( x − 1) + = ( x − 1) + x + y + z − = ( x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 44 ( x − 1) b ( a − b) + ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 11 Cho a , b ≥ , chứng minh: ab ≥ a b − + b a − ° 1+ b2 a (b − a) 1 ab − a ab − b2 − ≥ 0⇔ + ≥0 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ≥ a6b6 c6 = 6abc a b c 1 1 1 10 Cho a , b > Chứng minh: + + ≤ + + 2 2 a b c a +b b +c a +c a a b b c c ≤ = ≤ = ≤ = ° , , 2 2 2ab 2b 2bc 2c a + c 2ac 2a a +b b +c a b c 1 1 1 + + ≤ + + ° Vậy: a + b2 b2 + c2 a2 + c2 a b c a = ( a − 1) + ≥ a − , b = ( b − 1) + ≥ b − − a a a a ⇔ − b + − c + − d + − e ≥ ĐPCM 2 2 2 2 a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c + c2a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: ° Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ≥ ( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R ⇔ 1994 soá ° + Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ ĐPCM ° ÷ 1+ a («) ⇔ a1995 > 1995a − 1995 ⇔ a1995 + 1995 > 1995a ⇔ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, a + a + a + 1+ Trần Sĩ Tùng x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ⇒ ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c 10 Chứng minh: ° a = ( a − b) + ( b − c ) + c ≥ 33 ( a − b)( b − c ) c a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ 3 a2 + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc DeThiMau.vn 2 Tuyển tập Bất đẳng thức ⇔ Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng a a − a ( b − c ) + b2 + c2 − 2bc ≥ ⇔ − ( b − c ) ≥ 2 11 Chứng minh: a2 + b2 + ≥ ab + a + b ⇔ 2a2 + 2b2 + − 2ab − 2a − 2b ≥ ⇔ a2 − 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + ≥ 2 2 2 12 Chứng minh: x + y + z ≥ 2xy − 2xz + 2yz ⇒ a + b + c ≥ 33 abc , a2 + b2 + c2 ≥ a2b2c2 ⇒ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c ) ≥ a3b3 c3 = 9abc 13 Chứng minh: x4 + y4 + z2 + ≥ 2x(xy2 − x + z + 1) ⇔ x4 + y4 + z2 + 1− 2x2 y2 + 2x2 − 2xz − 2x ≥ ⇔ ( x2 − y2 ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 2 3 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ 1+ 33 abc + a2b2c2 + abc = (1+ abc ) m 1 1 3 ⇒ a + b = 3 a − + ≥ 2 4 15 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2 a ab + bc + ca ≤ a + b + c < 2(ab + bc + ca) 2 2 2 ÷ ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇔ (a – b) + (a – c) + (b – c) ÷ a > b−c , b > a−c , c > a −b ÷ c > c − ( a − b) ⇒ c > ( b + c − a ) ( a + c − b) 2 ° m m b a ≥ 1+ + b a ⇒ a2b2c2 > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a ) ⇔ abc > ( a + b − c )( a + c − b)( b + c − a ) 2 2 2 4 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 2 2 4 2 ⇔ 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 2 2 2 2 ⇔ 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 2 2 2 2 ⇔ (2ab) – [(a + b ) – c ] > ⇔ [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > Vì a , b , c ba cạnh tam giác ⇒ c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > ≥ 4m = 2m + bc ca ab Chứng minh: + + ≥ a + b + c ; a, b, c > a b c ÷ Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số không âm: Chứng minh: x6 + y9 ≥ 3x2 y3 − 16 ; x,y ≥ («) («) ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2 y3 ⇔ ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ≥ 12x2 y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ≥ 3x2y3 = 12x2y3 DeThiMau.vn m b a = 2+ + a b ca ab a2bc + ≥2 = 2a b c bc bc ca ab ⇒ + + ≥ a+b+c a b c 2 m ≥ 2m + , với m ∈ Z bc ca abc2 bc ba b2ac + ≥2 = 2c , + ≥2 = 2b , a b ab a c ac b2 > b2 − ( a − c ) ⇒ b2 > ( b + c − a ) ( a + b − c ) c m m b a Cho a, b > Chứng minh: 1+ + 1+ b a b a 1+ + 1+ ÷ b a ⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 , b2 > a2 − 2ac + c2 , c2 > a2 − 2ab + b2 2 ⇒ a + b + c < 2(ab + bc + ca) abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ a2 > a2 − ( b − c ) ⇒ a2 > ( a + c − b)( a + b − c ) ÷ Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ≥ (1+ abc ) , với a , b , c ≥ ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc ÷ a + b + c ≥ 33 abc , ab + ac + bc ≥ a2b2c 14 Chứng minh: Nếu a + b ≥ thì: a + b ≥ 3 ° a + b ≥ ⇒ b ≥ – a ⇒ b = (1 – a) = – a + a – a Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ⇔ x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz ≥ ⇔ (x – y + z) ≥ Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a, b, c ≥ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số không âm: ⇒ a + b ≥ ab , b + c ≥ bc , a + c ≥ ac ⇒ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ≥ a 2b2c2 = 8abc ⇔ ( a − b) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ b Tuyển tập Bất đẳng thức II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 2 + Tuyển tập Bất đẳng thức ° Dấu “ = ” xảy ⇔ Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc Trần Sĩ Tùng x −1 2 = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x −1 x = x = −1(loaïi) Vậy: Khi x = y đạt GTNN 3x + , x > −1 Định x để y đạt GTNN 26 Cho y = x +1 3(x + 1) + − ÷ y= x+1 b) ° c) ( x + 1) ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : x+1 a + a + b + c a2bc 1+ = ≥ a a a ° ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 + − ≥2 − = 6− x +1 2 x+1 2 Dấu “ = ” xảy ⇔ −1 x = ( x + 1) 2 ⇔ = ⇔ ( x + 1) = ⇔ x +1 − 1(loaïi ) x = − 15 Cho x > y > Chứng minh: − y đạt GTNN − x ,x > Định x để y đạt GTNN 27 Cho y = + 2x − 2x − ÷ y= + + 2x − ÷ 1+ abc2 ≥ c c x+ ≥3 ( x − y) y ( x − y) y VT = ( x − y ) + y + ≥ 33 =3 ( x − y) y ( x − y) y 16 Chứng minh: a) x2 + 2 ≥ ⇔ x + ≥ x + ⇔ x + 1+ ≥ x + x +1 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 2x − 2x − + + ≥2 + = 2x − 2x − Dấu “ = ” xảy 4 ab2c ° ≥ b b 1 ÷ 1+ 1+ 1+ ≥ 64 a b c ° 1+ Vậy: Khi x = y= 2 ° 4a (1− a ) = (1− a ) ( 4a − 4a2 ) = (1− a ) 1− (1− 2a ) ≤ 1− a = b + c (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ bc.2 ac.2 ab = 8abc 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 a b c y= ° 2 b+ c b+ c 1− a ≥ bc ⇔ 16abc ≤ 16a = 16a = 4a (1− a ) ° 2x − , : 2x − b) 30 + c 30 + x = 2x − 2 = ⇔ ( 2x − 1) = 30 ⇔ ⇔ 2x − − 30 + (loaïi ) x = x+8 x −1 = 30 + 30 + y đạt GTNN x + , < x < Định x để y đạt GTNN 28 Cho y = 1− x x 12 = x − 1+ x −1 a2 + ⇔ x −1 x −1 a2 + a2 + =6 ≥4 ab bc ca a+b+ c + + ≤ ; a, b, c > a+ b b+ c c+ a ab ab ≤ = a + b ab ab bc bc , ≤ = b + c bc bc ac ac , ≤ = a + c ac ac ° a + b + c ≥ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ° ab bc ca + + ≤ a+ b b+ c c+ a ab + bc + ac a + b + c ≤ 2 DeThiMau.vn ≥2 Vì : a + b ≥ ab ⇒ Vậy: Khi x = x −1 ( a2 + 1) + ≥ ( a2 + 1) = 17 Chứng minh: ° x − 1+ Tuyển tập Bất đẳng thức 18 Chứng minh: ° ° ÷ x 1+ 16x4 y2 1+ 16y x2 1+ 16x x 1+ 16x = = + Trần Sĩ Tùng x 1+ ( 4x ) y2 1+ ( 4y ) y2 1+ 16y y + 4 1+ 16y ≤ ≤ ≤ x2 2.4x2 y2 2.4y ≤ , ∀x , y ∈ R = = Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a + b + c + d ≥ 44 abcd với a , b , c , d ≥ (Cơsi s✟✠ ÷ a + b ≥ ab , c + d ≥ cd ( ÷ a + b + cd ≥ ( ab + cd ) ≥ 2 a + b + c ≥ 33 abc b ÷ a+b+ c+ ⇔ a b c + + ≥ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b ° a + b + c = (X + Y + Z) Y+Z−X Z+X−Y X+Y−Z ° a= ,b= ,c= 2 a b c Y X Z X Z Y ° + + = + + + + + − 3 b + c a + c a + b X Y X Z Y Z ≥ [ + + − 3] = 2 Cách khác: a b c a b c ° + + = + 1 + + 1 + + 1 − b+ c a+ c a+ b b+ c a+ c a +b 1 = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] + + −3 b+ c a + c a + b ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a )] + + ≥ − = ° 2 b+ c a + c a + b 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 + + ≤ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ° ° (Cô✡☛ ☞ ✡ố ✠ a+b+ c a+b+ c ≥ 4.4 abc 3 a+ b+ c a+b+ c ≥ abc ⇔ 3 a+b+ c a+ b+ c ≥ abc 3 a+ b+ c ⇔ ≥ abc ⇔ a + b + c ≥ abc 22 Chứng minh: a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > ° a3 + abc ≥ 2a2 bc , b3 + abc ≥ 2b2 ac , c3 + abc ≥ 2c2 ab ° a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) ⇒ ( a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a2 bc + b2 ac + c ab ) , : a3 + b3 + c3 ≥ 3abc Vậy: a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab 23 Chứng minh: a + 33 b + 44 c ≥ 99 abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: VT = a + a + b + b + b + c + c + c + c ≥ 99 abc x 18 24 Cho y = + , x > Định x để y đạt GTNN x ° ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= x 18 x 18 + ≥2 =6 x x x 18 = ⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± , chọn x = x Vậy: Khi x = y đạt GTNN x ,x > Định x để y đạt GTNN 25 Cho y = + x −1 x −1 ÷ y= + + x −1 x −1 , : ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x−1 ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 − ab + a2 ) ≥ ( a + b) ab ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự b3 + c3 + abc ≥ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) c3 + a3 + abc ≥ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) ÷ VT ≤ với a , b , c ≥ , 19 Chứng minh: ° ) ab cd ≥ 44 abcd 1 1 a+b+c + + = ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c abc Dấu “ = ” xảy ⇔ y= 10 x −1 x −1 + + ≥2 + = x −1 2 x −1 2 11 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức 735 9 2 b ≤ + ( 3a2 + 5b2 ) ⇔ 3a + 5b ≥ 47 3 5 2464 2 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a + 11b ≥ 137 7a− 11b ÷ 3a − 5b = 11 , 7a , − , 11b : ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số 11 ° 3a− Dấu “ = ‘ xảy ⇔ ° x3 + x2 ° = a + b ≤ (1+ 1) ( a2 + b2 ) ⇔ a +b ≥2 ° ≤ ( a2 + b2 ) ≤ (1+ 1) ( a4 + b4 ) ⇔ a +b ≥2 2 4 Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: a2 + b2 ≥ ° (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) ⇔ a2 + b2 ≥ 1≤ a + b ≤ ° ° ° x 1− x 5− x (0 < x < 1) =5 ⇔ =5⇔x= 1− x x 1− x Vậy: GTNN y + x = 29 Cho y = 2464 25 ( 2 2 ° 7a− 11b ≤ + 7a + 11b ) ⇔ 7a + 11b ≥ 11 137 11 4 Cho a + b = Chứng minh: a + b ≥ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ° x (1− x ) + 5x x x −1 x 1− x f(x) = + = +5 +5≥ +5= 5+5 1− x x 1− x x 1− x x Trần Sĩ Tùng x3 + , x > Định x để y đạt GTNN x x xx + + ≥ 33 =3 2 x 22x x x x x Dấu “ = ‘ xảy ⇔ = = ⇔ x = 2 x Vậy: GTNN y x = = x+ = 30 Tìm GTNN f(x) = 5− x + 4x + , x > x x2 + 4x + 4 = x + + ≥ x + = x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ⇔ x = ⇔ x = (x > 0) x ° Vậy: GTNN y x = 2 31 Tìm GTNN f(x) = x2 + , x > x ° ° x2 + x 3 = x2 x2 x2 x2 1 + + + + ≥ 55 = 3 x x x 5 27 x = ⇔ x = ⇔ x = (x > 0) x x = ° Vậy: GTNN y 27 32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° Dấu “ = ‘ xảy ⇔ ° ° 16 11x 11 1 f(x) = –10x + 11x – = −10 x2 − ≤ − = −10 x − + 10 20 40 40 11 Dấu “ = “ xảy ⇔ x = 20 13 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN x 37 Cho y = Định x để y đạt GTLN x +2 x ° + x ≥ 2x2 = 2x ⇔ ≥ ⇒ y≤ 2 2+ x 2 11 y đạt GTLN 20 40 33 Cho y = x(6 – x) , ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x – x (vì ≤ x ≤ 6): ° V✪ y: Khi x = = x + ( − x ) ≥ x ( − x ) ⇒ x(6 – x) ≤ Dấu “ = “ xảy ⇔ x = – x ⇔ x = Vậy: Khi x = y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) ° ° ° Dấu “ = “ xảy ⇔ x = x > ⇒ x= ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN 38 Cho y = 5 ÷ Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm 2x + – 2x , −3 ≤ x ≤ : 2 121 (2x + 6)(5 – 2x) ≤ ° 11 = ( 2x + 6) + ( − 2x ) ≥ ( 2x + 6)( − 2x ) ⇒ ° Dấu “ = “ xảy ⇔ 2x + = – 2x ⇔ x = − 121 ° Vậy: Khi x = − y đạt GTLN 35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ Định x để y đạt GTLN ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) ÷ Áp dụng BĐT Cơsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x , − ≤ x ≤ : 625 ° ( 2x + 5) + (10 − 2x ) ≥ ( 2x + 5)(10 − 2x ) ⇒ (2x + 5)(10 – 2x) ≤ ° Dấu “ = “ xảy ⇔ 2x + = 10 – 2x ⇔ x = 625 ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN Định x để y đạt GTLN 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤ 2 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 5 ÷ Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm 2x + , – 2x , − ≤ x ≤ : 2 ° ° ° x2 ( x + )3 2 Định x để y đạt GTLN x2 ° x + = x2 + 1+ ≥ x2 1.1 ⇔ ( x2 + 2) ≥ 27x2 ⇒ ° Dấu “ = “ xảy ⇔ x = ⇔ x = ± ° Vậy: Khi x = ± y đạt GTLN ( x + 2) ≤ 27 27 III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 2 2 Chứng minh: (ab + cd) ≤ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki («) ⇔ a2b2 + 2abcd + c 2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 ⇔ a2d2 + c2b2 − 2abcd ≥ ⇔ ( ad − cb) ≥ Chứng minh: sinx + cos x ≤ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx : ° ( 2x + 1) + ( − 2x ) ≥ ( 2x + 1)( − 2x ) ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 15 DeThiMau.vn 2 2 3a + 4b ≤ ( + 4) ( 3a2 + 4b2 ) ⇔ 3a + 4b ≥ 725 2 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a + 5b ≥ 47 ÷ 2a − 3b = 3a − 5b ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , 3a , − , 5b: 3a + 4b = Dấu “ = “ xảy ⇔ 2x + = – 2x ⇔ x = 14 (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a + 4b ≥ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b : ° sinx + cos x = sinx + cos x ≤ Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng 2 a +b +c (a, b, c cạnh DABC, R 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm 4 giá trị nhỏ biểu thức: S= + x 4y 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 x+ y+ z≤ Chứng minh bất đẳng thức: a c b2 + b + 50 + ≥ b d 50b tìm giá trị nhỏ a c + b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) biểu thức: S = Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1 1 1 a + b + c h + h + h ≥ a b c 39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z số dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC có diện tích x2 + + y2 + + z2 + (CĐGT II 2003 dự bị) Cho số x, y, z CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 3 Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: A=x+y+z+ + + x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y hai số thực dương thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: A = + x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + (x + 1) x2 + x + 1 ≥ 16 (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: ≥ 82 x2 y2 z2 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin x + 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính góc tam giác ABC, biết rằng: (1) 4p(p − a) ≤ bc A B C 3−3 (2) sin sin sin = 2 a+b+ c BC = a, CA = b, AB = c, p = 42 (Đại học khối A 2005) 1 Cho x, y, z số dương thoả mãn : + + = x y z Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC a+ b+ c a+b+ c a+b+ c + + ≥9 a b c (CĐKTYTế1 2006) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 b c a thì: + b + c ≥ 3 a + b + c a 3 3 3 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = Chứng minh: a b c 3 + + ≥ 2 2 b +c c +a a +b 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) cosx 20 17 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 13 14 15 16 Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 2 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ bc ca ab biểu thức: P = + + 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh với số dương a, b, c ta có: a + b + c = Cho số a, b, c thoả: ab + bc + ca = 4 4 4 Chứng minh: − ≤ a ≤ ; − ≤ b ≤ ; − ≤ c ≤ 3 3 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 2 + + p−a p−b p−c a b c (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1 + + ≤ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ với α > ta ln có: xα + α – ≥ αx Từ chứng minh với số dương a, b, c thì: a3 + b3 + c3 ≥ ( (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ abc Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng: a + b3 > c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh a b c a b c rằng: +8 +8 ≥2 +2 +2 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng Cho số a, b, c khác Chứng minh: b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ≥ ab bc ca 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) a3 + b3 a + b ≥ a2 + b2 b c 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤ ≤ + + 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z minh rằng: Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng: + = Tìm giá trị nhỏ x y tổng x + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) c+1 c+1 c–1 c–1 Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: a +b ≥ ab(a +b ) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx > + xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) n+1 n Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: n > (n + 1) 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a + + b + 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z 1 khác không: + + ≥ x y z x + y + z2 BĐT cuối ⇒ BĐT cần chứng minh 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 26 (ĐH Y HN 2000) a b c + + b c a ) + c2 a ≥ a b c + + b c a 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 3 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền DABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c Chứng minh BĐT: 18 19 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng b d b d + < + =1 b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d Cộng vế theo vế BĐT ta đpcm (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 1 + 2 + + Ta có: (x + 1) x2 x ≥ 16 (1) Û (x + 1) x ≥ 16 1 + + ≤1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh với x ❰ R, ta có: Chứng minh rằng: x 1 2 (x + 1) + 1 ≥ (do x > 0) Û (x + 1) ≥ 4x Û (x – 1) ≥ (2) x (2) nên (1) chứng minh (CĐKTKTCN1 khối A 2006) b c a c a b Xét vế trái BĐT cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + a a b b c c b a c a c b = + + + + + + a b a c b c Do a, b, c > nên theo BĐT Cơsi ta có: b a b a b c b c c a c a + ≥ = 2; + ≥ = 2; + ≥2 =2 a b a b c b c b a c a c Khi đó: VT ≥ + + + = (đpcm) (CĐKTYTế1 2006) 2 y ≤ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 ≤ Þ – ≤ x ≤ 3 2 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – với – ≤ x ≤ f➣(x) = 3x + 6x – ; f➣(x) = Û x = x = – f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Ta có: x + y + z ≥ 3 xyz Û xyz ≥ 3 xyz Û (xyz) ≥ 27 Û xyz ≥ 3 Dấu "=" xảy Û x = y = z = x x 12 15 20 x x x + + ≥3 +4 +5 Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: Û Tuyển tập Bất đẳng thức 1+ x + y + y + z3 + z3 + x + + ≥3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) + 4x + + 4y + + 4z ≥ y Chứng minh với x, y > ta có: (1+ x ) 1+ 1+ ≥ 256 x y Đẳng thức xảy nào? 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Khi đẳng thức xảy ra? 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh ≤ y ≤ x ≤ x y − y x ≤ Đẳng thức xảy nào? 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Vậy minA = 3 10 (Học viện BCVT 2001) Ta có hàm số f(x) = x hàm nghịch biến nên: 1 (a – b) a − b ≤ 0, ∀a, b 3 a b b a ⇒ + b ≤ a + b , ∀a, b (1) a 3 3 b c b c Tương tự: b + c ≤ c + b (2) 3 3 Cho x, y, z số dương xyz = CMR: x2 y2 z2 + + ≥ + y 1+ z + x 50 (Đại học khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: 2 (x + y)xy = x + y – xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = + x y 51 (Đại học khối B 2006) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 24 ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y − 21 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng LỜI GIẢI f✍(t) = – ➲ y z BC = − + (y + z) = y2 + yz+z2 2 Với điểm A, B, C ta ln có: AB + AC ≥ BC 3 3 3 3 3 x + + ≥ x3 Tương tự: y + + ≥ y 3 ✌ ✌ ✌ 3 2(x + y + z ) ≥ x + ≥ 3x (1) y + ≥ 3y(2) (3) z + + ≥ z ✌ z + ≥ 3z Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) ➲ Cách 1: Theo BĐT Côsi: ≥ x + y + z ≥ 3 xyz > 1 + + ≥ x y z A ≥ 3 xyz + Từ đó: Đặt: t = 3 xyz xyz , điều kiện: < t ≤ Xét hàm số f(t) = 3t + xyz với < t ≤ t 22 ≥ , 9x y+ ≥ , 9y z+ xyz ≥3 ≥ 9z A≥5 4 x = 4x x = = 4y Dấu "=" xảy ✏ 4y ✏ y = x + y = x,y > (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta ln có: a c a c + < + =1 a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 23 DeThiMau.vn 1 1 1 1 ≥ 10 Từ đó: A= x + + y + 9y + z + 9z + x + y + z ≥ + 9x xyz 1 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = 3 (CĐSPHCM khối ABT 2006) Ta có: x + y = ✏ 4x + 4y – = 4 4 A= + = + 4x+ + 4y − ✌ A ≥ 4x + 4y – 4y x 4y x 4y x ✌ 3 1 < 0, ∀t ✎ 0; 3 Cách 2: x+ ⇒ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) x + y + z ≥ 3 x y z3 t Theo BĐT Côsi: ≥ x + y + z ≥ 3 xyz > ✏ 2 3(t − 1) Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = z z = x + xz + z2 x + + 2 AC = = Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy x = y = z = 2 t y x y = x2 + xy + y2 + + 2 AB = Bảng biến thiên: (C★GT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét điểm: y 3 y z Ax + ; z , B 0; y+ z , C − ;0 2 2 Ta có: Tuyển tập Bất đẳng thức Vậy Amin = Tuyển tập Bất đẳng thức a Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng c + + ≥ b c a Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3 a b c 3 a b c + + + ≥ + + + b 2 b c a c a 3 Mặt khác: + + a 3a b ≤ + a 3c c + = c 3a a (3) a b c a + b b + c b c 1 a 3 a + b + c ≤ a + b + c 3 3 3 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) (vì a + b + c = 1) Hay a b−1 b a −1 + ≤1⇔ ab ab Theo BĐT Côsi ta có: 3c a (4) 3 3 3c Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: b c 1 a a + b + c ≤ (a + b + c) a + b + c 3 3 3 3 a 2 b 2 c 2 a b c Suy ra: + + ≥ + + b c a b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*) ⇔ Tuyển tập Bất đẳng thức 3 c 2 b 2 1 1 1 1 1− + 1− ≤1 b b a a 1 + 1− 1 1 b b ≤ = 1− b b 2 (1) a b2 + c2 = a 1− a = a2 a(1− a2 ) (1) 3 2a2 + (1− a2 ) + (1− a2 ) 2 = Mà 2a (1 – a ) ≤ 3 2 2 ⇒ a (1 – a ) ≤ ⇒ a(1 – a ) ≤ (2) 27 3 1 + 1− 1 1 a a 1− ≤ = a a 2 Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh 1 1 b = 1− b = ⇔ a = b = Dấu “=” xảy ⇔ = 1− = a a 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do theo BĐT Cơsi ta có: 2 Từ (1), (2) suy ra: a a b +c ≥ 3 a b c 3 3 + ≥ (a + b2 + c2 ) = 2 c2 + a2 a2 + b2 2 2a = 1− a Dấu “=” xảy ⇔ 2b2 = 1− b2 ⇔ a = b = c = 2 2c = 1− c 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) a2 + b2 + c2 = (a + b)2 − 2ab = − c Ta có: ⇔ c(a + b) + ab = ab + bc + ca = Do đó: − 2a + − 2b + − 2c (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ =1 ⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ ⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ ⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 ⇔ 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳng thức xảy ⇔ – 2a = – 2b = – 2c ⇔ a = b = c = 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 Do a + b + c = nên b2 + c + a + b = S (S – 4P ≥ 0) Ta xem hệ phương trình a, b đặt ab = P S2 − 2P = − c2 (1) (2) cS+P =1 Từ (2) ⇒ P = – cS, thay vào (1) ta được: Ta hệ: a b a b a 3 b 3 a b + = ⇒ < , < ⇒ + > + = Từ giả thiết ta có: c c c c c c c c 28 25 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Trần Sĩ Tùng S = −c − 2 2 S – 2(1 – cS) = – c ⇔ S + 2cS + c – = ⇔ S = −c + 2 • Với S = – c – ⇒ P = + c(c + 2) = c + 2c + 2 BĐT: S – 4P ≥ ⇔ (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ ⇔ –3c – 4c ≥ ⇔ − ≤ c ≤ (3) • Với S = –c + ⇒ P = – c(–c + 2) = c – 2c + 2 BĐT: S – 4P ≥ ⇔ (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ ⇔ –3c + 4c ≥ ⇔ 0≤c≤ (4) 4 − ≤c≤ Từ (3), (4) ta được: 3 4 Tương tự ta chứng minh được: − ≤ a,b,c ≤ 3 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì: 1 + ≥ (1) x y x+y Dấu “=” xảy ⇔ x = y 1 4 + ≥ = Áp dụng (1) ta được: p−a p−b p−a+p−b c 1 4 + ≥ = p−b p− c p−b+p−c a 1 4 + ≥ = p−c p−a p−c+p− a b Cộng BĐT vế theo vế, ta được: 1 1 1 2 + + ≥ + + ⇔ đpcm a b c p− a p−b p−c Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c Tuyển tập Bất đẳng thức 1 1 x 1 1 ≤ + 2 ⇒ ≤ + 2 xy x 2 x y x +y y Tương tự ta có: y 1 1 z 1 1 ≤ + ; ≤ + 2 2 2 y +z z z +x x z y Suy ra: x x +y + x , y2 + z z +x ≤ x + y + z2 Vậy với ∀x ≥ α > f(x) ≥ hay xα + α – ≥ αx • BĐT cần chứng minh: y +z x3 = y2 y3 = z2 z3 = x2 Dấu “=” xảy ⇔ vaø vaø ⇔ x=y=z=1 x = y y = z z = x 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Trước a > 1, x > hàm số y = loga x đồng biến dương nghịch biến Do hàm số y = logxa = loga x Vì vai trị a, b, c nhau, nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được: VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ≥ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) • Xét f(x) = xα – αx + α – (x ≥ 0) –1 f′(x) = ⇔ x = f′(x) = α(xα – 1); 3 a 2 b 2 c 2 a b c + + ≥ + + b c a b c a Áp dụng BĐT chứng minh với α = , ta có: 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x , y ta có: x x ≤ = x + y ≥ x3 y2 = 2xy x ⇒ 2xy x xy x +y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương y 3 3 a 2 a b 2 b + ≥ ; + ≥ ; b 2 b 2 c c Mặt khác, theo BĐT Cơsi ta có: ta có: 26 27 DeThiMau.vn c 2 c + ≥ 2 a a Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng 31 (C✑SP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) y z2 x z2 x y BĐT cần chứng minh ⇔ 1+ + + + 1+ + + + 1 ≥ x x y y z z y z2 x z2 x y ⇔ + + + + + + ≥ x x y y z z 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: * * a2 + b a b2 c + c2 a ≥ 33 2 a + 1≥ ; b b b b + 1≥ ; c c a2 a2 b2 c2 =3 b2 c2 a2 b2 c a + 1≥ c a a b c ⇒ + + ≥ 2 + + − b c a b c a Kết hợp (1) (2) ta được: a2 b2 c2 a b c 2 + + ≥ 2 + + b b c a c a a2 b2 c2 (2) + + ≥ 2 2y Tương tự ta có: 2x Do đó: Hay: 1+ x x + 2x • Do (x – 1) ≥ nên x + ≥ 2x ⇔ + y + 1+ y 2y 1+ y z + ≤ 1+ x ≤ 1; 2z + z2 ≤1 2z + z2 ≤1 ≤3 ⇒ 2 b2 + 2a2 a3 + b3 a + b 3 ≥ ⇔ 4(a + b ) ≥ (a + b) 2 2 ⇔ (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 2 ⇔ (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ ⇔ (a + b)(a – b) ≥ BĐT cuối đúng, nên BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy ⇔ a = ± b 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 29 Ta có: (1) 1+ x 1+ y 1+ z • Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm ta có: 1 + + 1 1+ x 1+ y 1+ z ≥3 = (1+ x)(1+ y)(1+ z) (1+ x)(1+ y)(1+ z) b2 + 2a2 = ab đpcm ⇔ x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) ⇒ x2 + 2y2 ≥ (x + 2y) Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có: x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ (3x + 3y + 3z) = 3 Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z = ⇔a=b=c=3 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) a b c + + b c a b c a 33 (ĐH Hàng hải 1999) ⇒ c3 1 = + 2 a2b2 a2 b 1 Đặt x = ; y = ; z = a b c x,y,z > a,b,c > ⇔ giả thiết ab + bc + ca = abc x + y + z = Ta có: c2 + b3 Từ suy ra: > 20 (ĐHQG HN khối A 2000) a b c Đặt x = , y = , z = x, y, z > a+b+c Đ.kiện a + b + c = ⇔ xyz = = 1, theo BĐT Cơsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x + + ≥ 3x ⇒ x ≥ 3x – 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 3 ⇒ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z a b c a b c ⇒8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21 (ĐHQG HN khối D 2000) (1) Tuyển tập Bất đẳng thức a3 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) ≤2 ≤ (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ 1 + + 1+ x 1+ y 1+ z 32 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 27 (ĐH An Giang khối D 2000) c c c+1 c+1 c–1 c–1 Giả sử a ≥ b ≥ ⇒ a (a – b) ≥ b (a – b) ⇒ a +b ≥ ab(a +b ) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: = x + y + z + x + y + z ≥ xyz (1) Trần Sĩ Tùng a Ta có: = = = a b + a2c a2 (b + c) a2 + + b c b c bc bc 1 ;y= ; z= a b c a, b, c > x,y,z > x2 y2 z2 giả thiết ⇔ P = + + y+z z+x x+y abc = xyz=1 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Đặt x = x y z (y + z + z + x + x + y).P ≥ y + z + z + x + x + y y+z z+x x + y 1 ⇒ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) ⇒ P ≥ (x + y + z) ≥ 33 xyz = 2 ⇒P≥ Nếu P = x = y = z = ⇒ a = b = c = 3 Đảo lại, a = b = c = P = Vậy minP = 2 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ ( + 3 abc + a2b2c2 + abc = 1+ abc ) xy + yz + zx ≥ 3 x2y2z2 (2) Nhân BĐT (1) (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > (4) Cộng BĐT (3) (4) vế theo vế ta được: (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz ⇒ xy + yz + zx > 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) 4 Ta có: = 81, = 64 ⇒ > ⇒ BĐT cần chứng minh với n = n ( 2+ ) ⇒x+y≥ ( Giá trị ( n 2+ ) Vậy min(x + y) = ( ) = k=0 n 1 ⇒ 1+ < < n ⇒ (1) n 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + ), ta có: : x= : y x = y x ⇔ đạt ⇔ 2+ y = x + y = n n(n − 1) n(n − 1) (n − n + 1) + + n + n 2! n2 n! n 1 1 1 n − 1 =1+1+ 1− + + 1− 1− 1− < 2! n n! n n n 1 1 3, đpcm ⇔ n > ⇔ 1+ < n n n Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c > 26 (ĐH Y HN 2000) 18xyz (vì +xyz > 0) + xyz 2( + 3) A = a + + b + ≤ mà a + b = nên A ≤ 3( + 3) Dấu “=” xảy ⇔ 5+ 6 Vậy maxA = 30 (1+ 1)(a + 1+ b + 1) a+1= b+1 ⇔ a = b ⇔ a = b = a = b = 31 DeThiMau.vn ( a + b = 1) Tuyển tập Bất đẳng thức Đặt Q(t) = 9t + t ✒ Trần Sĩ Tùng Q✓(t) = – t2 Trần Sĩ Tùng 1 1 < 0, ∀t✔ 0; ✒Q(t) giảm 0; 9 9 1 ≤ + + (2) + x 1+ y 1+ z Kết hợp (1) (2) ta BĐT cần chứng minh 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) 3 Vì ≤ x, y, z ≤ nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z 3 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) Do ta chứng minh được: 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ (1) (*) 2 2 Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ ⇔ x + y – x y – ≤ (2) y = Dấu “=” (2) xảy ⇔ x = y = 2 Tương tự ta có: x +z –zx–1≤0 (3) 2 y +z –yz–1≤0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ Vậy (1) ⇒ (*) Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy ⇔ (x; y; z) ∈ {(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)} ⇔ 1 Q(t) ≥ Q = 82 Vậy P ≥ Q(t) ≥ 82 9 Dấu "=" xảy ✕ x = y = z = ✖ Cách 2: Ta có: ✒ 2 1 1 1 1 2 (x + y + z) + + + = 81(x + y + z) + + + – 80(x + y + z) x y z x y z 1 1 ≥ 18(x + y + z) + + – 80(x + y + z) ≥ 162 – 80 = 82 x y z Vậy P ≥ 82 Dấu "=" xảy ✕ x = y = z = 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) • Tìm max: y = sin x + Ta chứng minh: ⇔ 4 cosx ≤ sin x + cosx ≤ sin x + (1 – cosx) – sin x ≥ ⇔ cosx (1) , ∀x ∈ R (2) Tuyển tập Bất đẳng thức 35 (Đại học 2002 dự bị 1) (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ ⇔ (1 – cosx).[ – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ (3) Theo BĐT Côsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ x+ y+ z= ≤ ≤ Vậy BĐT (3) ⇒ (2) ⇒ y ≤ ⇔ x = k2π Vậy maxy = Tương tự trên, ta miny = – 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) cosx , đạt x = π + k2π (a + b + c)(b + c − a) (b + c)2 − a2 2bc(1+ cos A) ≤1 ⇔ ≤1⇔ ≤1 bc bc bc A A A ≤ ⇔ sin2 ≥ ⇔ sin ≥ (do < 4 2 Biến đổi vế trái (2) sau: A B C A B-C B+C sin sin sin = sin cos − cos ≤ 2 2 2 2 ⇔ cos2 A π < ) 2 b by + 1 1 a + b + c 2S = c cz ≤ 1 1 a + b + c (ax+by+cz) 1 abc a + b + c 2R = ab + bc + ca 2R a2 + b2 + c2 2R DABC a = b = c ⇔ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z M trùng với trọng tâm G DABC 36 (Đại học 2002 dự bị 3) 1 1 5.5 • Cách 1: S = + + + + ≥ =5 ≥ x x x x 4y x.x.x.x.4y x + x + x + x + 4y , ∀x Dấu “=” xảy cosx = cosx ≥ – sin x + a ax + ≤ • Tìm min: Ta có y = sin x + (1) ⇔ 1 32 < = 2 3 27 1 1 x = 4y x = ⇔ minS = ⇔ x = 4y y = x + y = (3) A A sin 1− sin = 2 2 36 33 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức • Cách 2: S = Trần Sĩ Tùng + = f(x), x − 4x 0 350 175 400 200 175 a = b = 53 Vậy minS = 175 c = d = 50 38 (Đại học 2002 dự bị 6) 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc 2 2S 2S 2S ; hb = ; hc = ⇒ = a b c 1 1 + + = (a + b + c) ⇒ hb hc 2S x2 = (5 − 4x)2 ⇔x=1 ; f′(x) = ⇔ f′(x) = − + x (5 − 4x) 0 < x < L✗p bảng xét dấu f′(x), suy minS = • Cách 3: + = x ≤ x + y + (3) + y x 4y x y 4 = x = 4y x = x x y y ⇔ Dấu “=” (3) xảy ⇔ ⇔ x + y = y = x + y = 4 5 (3) ⇔ ≤ + ≥5 ⇔ + x 4y x 4y 2 Vậy minS = 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 c > b (c, b ∈ N) nên c ≥ b + thành thử: 1 1 1 1 1 ⇒ + + + + (a + b + c) + + = a b c hb hc 2S a b c 1 1 Áp dụng BĐT Cơsi ta có: (a + b + c) + + ≥ a b c a c b + b2 + b + 50 + ≥ + = b d b 50 50b Vậy BĐT đề chứng minh a = Dấu “=” xảy ⇔ d = 50 c = b + S= Để tìm minS, ta đặt 1 1 1 , nên ta có: + + + + ≥ =3 a b c hb hc 39 (Đại học khối A 2003) r r r r r r Với u,v ta có: u + v ≤ u + v (*) S = b2 + b + 50 b 1 + + xét hàm số có biến số = 50b 50 b 50 r r 1 r 1 a = x; ; b = y; ; c = z; x z y r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ≥ a + b + c ≥ a + b + c Đặt liên tục x: f(x) = x 1 + + (2 ≤ x ≤ 48) 50 x 50 1 x2 − 50 − = ; 50 x 50x Bảng biến thiên: f′(x) = Vậy P = x + x2 = 50 f′(x) = ⇔ x=5 ≤ x ≤ 48 ✘ x2 + y + y2 + z + 1 1 Ta có: P≥ (x + y + z) + + + ≥ x y z với t = (3 xyz)2 b2 + b + 50 (2 ≤ b ≤ 48, b ∈ N) 50b 34 ✙ ≥ z2 ( 33 x+ y+z 0 ta có: a+b 1 1 ≤ ≤ + 4ab ≤ (a + b) ✚ ✚ a + b 4ab a + b 4 a b Dấu "=" xảy a = b Áp dụng kết ta có: 1 1 1 1 1 1 1 ≤ + + ≤ + + = + 2x+y+z 2x y + z x 2y 2z 2x y z ✚ 1 A A A 1 1 1 A 1 sin − sin = – sin − − = − sin − 2 4 2 2 2 2 A B C 1 1 1 Do (3) suy ra: sin sin sin ≤ − − = − (4 − 3) 2 2 2 8 y 1+ z y 1+ z + ≥2 =y 1+ z 1+ z A= Tuyển tập Bất đẳng thức (x + y)2 x x y 40 15 x x ✜ x 12 20 x + ≥ 2.4 2 x x (1) x 15 20 x + ≥ 2.5 (2) 37 DeThiMau.vn x 12 15 x + ≥ 2.3 (3) Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm Đẳng thức xảy ✢ (1), (2), (3) đẳng thức ✢ x = 44 (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: + x + y ≥ 3 1.x3 y3 = 3xy 3 + y + z3 ≥ yz Tương tự: Mặt khác ✣ xy + + yz + 3 zx ≥ 33 ≥3 3 xy 1+ z3 + x3 ≥ zx (2); yz + 1+ x + y ≥ xy ✢ 3 xy yz zx a + 3b + 1+ 1 = (a + 3b + 2) 3 (b + 3c).1.1 ≤ b + 3c + 1+ = (b + 3c + 2) 3 (c + 3a).1.1 ≤ c + 3a + 1+ = (c + 3a + 2) 3 1 Suy ra: a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ [ 4(a + b + c) + 6] ≤ + 6 = 3 3 a + b + c = Dấu "=" xảy ✢ ✢ a = b = c = 4 a + 3b = b + 3c = c + 3a=1 (3) ✤ xy yz zx Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy ✢ (1), (2), (3), (4) đẳng thức ✢ x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) x z= ✣ 3 a + 3b c + 3a ✣ ✣ ✣ Tương tự: Vậy 3+ ≥ y x 8 24 4x + y + z = 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ 1+ y x x x x3 + + ≥ 44 3 3 y y y y y3 =1+ + + ≥ 44 3 3x 3x 3x x x =1+ y + y + y ≥ 44 33 y3 ✣ ✣ y = b + 3c; = BĐT cần ch minh ✢ x + y + z ≤ 3 x = y = z3 = a + 3b = b + 3c = c + 3a=1 Dấu "=" xảy ✢ ✢ 3 a + b + c = a+b+c= ✢ a = b = c = 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: ≤ x ≤ ✣ x ≥ x 1 x y −y x ≤ ✢ x y ≤ +y x (1) 4 1 1 Theo BĐT Côsi ta có: y x + ≥ yx2 + ≥ yx2 = x y ✣ x y − y x ≤ 4 4 38 8 + 4x + + 4y + + 4z ≥ 4x + 4y + 4z ≥ 4x.4y.4z ≥6 b + 3c z + + ≥ z3 1.1 = 3z 3 (vì x + y + z = 3) ✣ ≥ 3(x + y + z) Vậy x + y + z ≤ x + 4z ≥ 4z 3+ ≥ ; 3 3 =2 y y= z = c + 3a x + y + z = 4(a + b + c) = x x = a + 3b; Ta có: x + + ≥ x3 1.1 = 3x; y + + ≥ 3 y3 1.1 = 3y; x 3+4 =1+1+1+4 ≥4 Ta có: Cách 2: Đặt x = (4) x (a + 3b).1.1 ≤ Ta có: (1) zx Tuyển tập Bất đẳng thức 36 1+ ≥ 164 y y y x3 y3 36 Vậy: (1+ x ) 1+ 1+ ≥ 256 3 = 256 x y 3 x y 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) ✤ Cách 1: Dấu "=" xảy ✢ 38 0 ≤ y ≤ x ≤ ⇔ x=x yx2 = x = y = 39 DeThiMau.vn ... b) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ b Tuyển tập Bất đẳng thức II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 2 + Tuyển tập Bất đẳng thức ° Dấu “ = ” xảy ⇔ Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 14 Cho: a , b , c >... khối D 2000) (1) Tuyển tập Bất đẳng thức a3 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) ≤2 ≤ (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ 1 + + 1+ x 1+ y 1+ z 32 DeThiMau.vn Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức 27... Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm Đẳng thức xảy ✢ (1), (2), (3) đẳng thức ✢ x = 44 (Đại học khối D 2005)