Toán học Bài tập bất đẳng thức25348

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC A)Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: a3  b3  a  b      Cho a, b > chứng minh: Chứng minh: Cho a + b  chứng minh: ab  a2  b2 a  b a3  b3  2 a b Cho a, b > Chứng minh:   a b b a 1 Chứng minh: Với a  b  1:   2 1 ab 1 a 1 b Chứng minh: a2  b2  c2   a  b  c  ; a , b , c  R Chứng minh: a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e Chứng minh: x2  y2  z2  xy  yz  zx Chứng minh: ab c  ab  bc  ca ; a,b,c  10 Chứng minh: a2  b2  c2  a  b  c    3   11 Chứng minh: a2  b2  c2  ab  ac  2bc 12 Chứng minh: a2  b2   ab  a  b 13 Chứng minh: x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz 14 Chứng minh: x4  y4  z2   2xy(xy2  x  z  1) 16 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > B)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 17 Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a,b,c  15 Chứng minh: Nếu a + b  thì: a3  b3  18 Chứng minh: (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc ; a,b,c  19 Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 abc  với a , b , c  ThuVienDeThi.com m m  a  b 20 Cho a, b > Chứng minh:  1    1   2m  , với m  Z+  b  a bc ca ab 21 Chứng minh:    a  b  c ; a,b,c  a b c x6  y9  3x2 y3  16 ; x,y  23 Chứng minh: 2a4   3a2  1 a 22 Chứng minh: 24 Chứng minh: a2016  2016 a  1 ,a>0 Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   6abc a b c 1 1 1 10 Cho a , b, c > Chứng minh:        2 2 a b c  a b b c a c 11 Cho a , b  , chứng minh: ab  a b   b a  12 Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: b + c  16abc (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc 1 1 1  c)  1   1   1   64  a  b  c  15 Cho x > y > Chứng minh: x  3 x  y y 16 Chứng minh: x2  x8 a) b) c)  ,x  R  , x > x 1 x2  ab bc ca ab c 17 Chứng minh:    ; a, b, c  ab b c c a 13 14 a) b) 18 Chứng minh: x2 1 16x  y2 1 16y  a2  a2  1 , x , y  R a b c    ;a,b,c>0 b c a c ab 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1    3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a  b  c  d  44 abcd với a , b , c , d  19 Chứng minh: ThuVienDeThi.com (Côsi số) 4 b với a , b , c  , a  b  c  33 abc 22 Chứng minh: a  b  c  a 3 2 bc  b ac  c (Côsi số ) ab ; a , b , c > 23 Chứng minh: a  b  c  abc x 18 24 Cho y   , x > Định x để y đạt GTNN x x 25 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN x 1 3x 26 Cho y   , x  1 Định x để y đạt GTNN x 1 x 27 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN 2x  x 28 Cho y   , < x < Định x để y đạt GTNN 1 x x 29 Cho y  x3  x2 , x > Định x để y đạt GTNN x2  4x  , x > x Tìm GTNN f(x)  x2  , x > x Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x  Định x để y đạt GTLN 2 x Cho y  Định x để y đạt GTLN x 2 30 Tìm GTNN f(x)  31 32 33 34 35 36 37 38 Cho y  x2 x2  23 Định x để y đạt GTLN C)Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki Chứng minh: sinx  cos x  ThuVienDeThi.com Cho 3a – 4b = Chứng minh: Cho 2a – 3b = Chứng minh: Cho 3a – 5b = Chứng minh: Cho a + b = Chứng minh: Cho a + b  Chứng minh: D) ĐỀ THI ĐẠI HỌC 3a2 + 4b2  725 3a2 + 5b2  47 2464 7a2 + 11b2  137 a4 + b4  a2  b2  (CĐGT II 2003 dự bị) Cho số x, y, z CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:A = x + y 1 +z+   x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)Cho x, y hai số thực dương thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 A=  x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d    (x + 1)2   x  1  16 x  (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: ab c ab c ab c   9 a b c (CĐKTYTế1 2006) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = thì: ThuVienDeThi.com b c   a  3 a  b  c  3 3  3 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b c 3    2 2 b c c a a b 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) a2  b2  c2  Cho số a, b, c thoả:  ab  bc  ca  4 4 4 Chứng minh:   a  ;   b  ;   c  3 3 3 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1  1 1    2    pa pb pc a b c 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1    2 2 2 x y y z z x x y z 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb c a  logc  a b  loga b c  16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ với  > ta ln có: x +  – ≥ x Từ chứng minh với số dương a, b, c thì: a a3 b3  b  c3 c a b c   b c a b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b   b a   ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)    2 Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng: a  b3  c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: ThuVienDeThi.com b2  2a2 c2  2b2 a2  2c2    ab bc ca 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng: a3  b3  a  b      23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c Chứng minh BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: bc ca ab P=   2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh với số dương a, b, c ta có:  (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1 abc  26 (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện   Tìm giá trị nhỏ tổng x x y + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + + bc + ≥ ab(ac – + bc – 1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx >  xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + > (n + 1)n 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a  1 b  31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z khác 1  2  không: x y z x  y  z2 BĐT cuối  BĐT cần chứng minh 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c Cho số a, b, c khác Chứng minh:      b2 c2 a2 b c a 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng: ThuVienDeThi.com x  y  z  1    1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a2  b2  c2 (a, b, c cạnh ABC, R bán kính 2R đường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: S =  x 4y 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 a c b2  b  50   Chứng minh bất đẳng thức: tìm giá trị nhỏ biểu b d 50b a c thức: S =  b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1 1 1 1   a  b  c  h  h  h     a b c  39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z số dương x + y + z  Chứng minh rằng: 1 x2   y2   z2   82 x y z x y z 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính góc tam giác ABC, biết rằng: ThuVienDeThi.com y = sin5x + cosx 4p(p  a)  bc   A B C 33 sin sin sin  2  (1) (2) BC = a, CA = b, AB = c, p = 42 (Đại học khối A 2005) ab c 1    x y z 1   1 2x+y+z x  2y  z x  y  2z Cho x, y, z số dương thoả mãn : Chứng minh rằng: 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh với x  R, ta có: x x x  12   15   20  x x x        4 5       Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 1 x  y 1 y3  z3 1 z3  x3   3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2)  4x   4y   4z  y    Chứng minh với x, y > ta có: 1 x  1   1   256  x  y   Đẳng thức xảy nào? 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  Khi đẳng thức xảy ra? 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh  y  x  x y  y x  Đẳng thức xảy nào? 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Cho x, y, z số dương xyz = CMR: x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x ThuVienDeThi.com 50 (Đại học khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A =  x y 51 (Đại học khối B 2006) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x  12  y2  x  12  y2  y2 ThuVienDeThi.com ...    Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 1 x  y 1 y3  z3 1 z3  x3   3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối... minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  Khi đẳng thức xảy ra? 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh  y  x  x y  y x  Đẳng thức xảy nào? 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Cho x, y, z số... thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 a c b2  b  50   Chứng minh bất đẳng thức: tìm giá trị nhỏ biểu b d 50b a c thức: S =  b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích Gọi a, b,